深度学习 - 梯度下降优化方法

梯度下降的基本概念

梯度下降（Gradient Descent）是一种用于优化机器学习模型参数的算法，其目的是最小化损失函数，从而提高模型的预测精度。梯度下降的核心思想是通过迭代地调整参数，沿着损失函数下降的方向前进，最终找到最优解。

生活中的背景例子：寻找山谷的最低点

想象你站在一个山谷中，眼睛被蒙住，只能用脚感受地面的坡度来找到山谷的最低点（即损失函数的最小值）。你每一步都想朝着坡度下降最快的方向走，直到你感觉不到坡度，也就是你到了最低点。这就好比在优化一个模型时，通过不断调整参数，使得模型的预测误差（损失函数）越来越小，最终找到最佳参数组合。

梯度下降的具体方法及其优化

1. 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）

生活中的例子 ：

你决定每次移动之前，都要先测量整个山谷的坡度，然后再决定移动的方向和步幅。虽然每一步的方向和步幅都很准确，但每次都要花很多时间来测量整个山谷的坡度。

公式 ：
θ : = θ − η ⋅ ∇ θ J ( θ ) \theta := \theta - \eta \cdot \nabla_{\theta} J(\theta) θ:=θ−η⋅∇θJ(θ)

其中：

• θ \theta θ是模型参数
• η \eta η是学习率
• ∇ θ J ( θ ) \nabla_{\theta} J(\theta) ∇θJ(θ)是损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)关于 θ \theta θ的梯度

API ：
TensorFlow：

optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.01)

PyTorch：

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

批量梯度下降过程图像python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 损失函数: y = x^2
def loss(x):
    return x ** 2

# 损失函数的梯度: dy/dx = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# 批量梯度下降
def batch_gradient_descent(start, learning_rate, iterations):
    x = start
    path = [x]
    for i in range(iterations):
        grad = gradient(x)
        x = x - learning_rate * grad
        path.append(x)
    return path

# 参数
start = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# 运行梯度下降
path = batch_gradient_descent(start, learning_rate, iterations)

# 绘制图像
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = loss(x)
plt.plot(x, y, label='Loss Function')
plt.scatter(path, [loss(p) for p in path], color='red', label='Batch Gradient Descent Path')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.title('Batch Gradient Descent')
plt.show()

• 从图像可知，批量梯度下降每次使用整个训练集计算梯度并更新参数，适用于小规模数据集，收敛稳定，但计算开销大。

2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）

生活中的例子 ：

你决定每一步都只根据当前所在位置的坡度来移动。虽然这样可以快速决定下一步怎么走，但由于只考虑当前点，可能会导致路径不稳定，有时候会走过头。

公式 ：
θ : = θ − η ⋅ ∇ θ J ( θ ; x ( i ) , y ( i ) ) \theta := \theta - \eta \cdot \nabla_{\theta} J(\theta; x^{(i)}, y^{(i)}) θ:=θ−η⋅∇θJ(θ;x(i),y(i))

其中 ( x ( i ) , y ( i ) ) (x^{(i)}, y^{(i)}) (x(i),y(i))是当前样本的数据

API ：
TensorFlow 和 PyTorch 中的API与批量梯度下降相同，具体行为取决于数据的加载方式。例如在训练时可以一批数据包含一个样本。

随机梯度下降过程图像python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 损失函数: y = x^2
def loss(x):
    return x ** 2

# 损失函数的梯度: dy/dx = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# 随机梯度下降
def stochastic_gradient_descent(start, learning_rate, iterations):
    x = start
    path = [x]
    for i in range(iterations):
        grad = gradient(x)
        x = x - learning_rate * grad * np.random.uniform(0.5, 1.5)  # 模拟随机样本的影响
        path.append(x)
    return path

# 参数
start = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# 运行梯度下降
path = stochastic_gradient_descent(start, learning_rate, iterations)

# 绘制图像
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = loss(x)
plt.plot(x, y, label='Loss Function')
plt.scatter(path, [loss(p) for p in path], color='red', label='SGD Path')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.title('Stochastic Gradient Descent')
plt.show()

• 随机梯度下降每次使用一个样本计算梯度并更新参数，计算效率高，适用于大规模数据集，但收敛不稳定，容易出现抖动。

3. 小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）

生活中的例子 ：

你决定每次移动之前，只测量周围一小部分区域的坡度，然后根据这小部分区域的平均坡度来决定方向和步幅。这样既不需要花太多时间测量整个山谷，也不会因为只看一个点而导致路径不稳定。

公式 ：
θ : = θ − η ⋅ ∇ θ J ( θ ; B ) \theta := \theta - \eta \cdot \nabla_{\theta} J(\theta; \mathcal{B}) θ:=θ−η⋅∇θJ(θ;B)

其中 B \mathcal{B} B是当前小批量的数据

API ：
TensorFlow 和 PyTorch 中的API与批量梯度下降相同，但在数据加载时使用小批量。

小批量梯度下降过程图像python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 损失函数: y = x^2
def loss(x):
    return x ** 2

# 损失函数的梯度: dy/dx = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# 小批量梯度下降
def mini_batch_gradient_descent(start, learning_rate, iterations, batch_size=5):
    x = start
    path = [x]
    for i in range(iterations):
        grad = gradient(x)
        x = x - learning_rate * grad * np.random.uniform(0.8, 1.2)  # 模拟小批量样本的影响
        path.append(x)
    return path

# 参数
start = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# 运行梯度下降
path = mini_batch_gradient_descent(start, learning_rate, iterations)

# 绘制图像
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = loss(x)
plt.plot(x, y, label='Loss Function')
plt.scatter(path, [loss(p) for p in path], color='red', label='Mini-Batch Gradient Descent Path')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.title('Mini-Batch Gradient Descent')
plt.show()

• 小批量梯度下降每次使用一个小批量样本计算梯度并更新参数，平衡了计算效率和稳定性。

4. 动量法（Momentum）

生活中的例子 ：

你在移动时，不仅考虑当前的坡度，还考虑之前几步的移动方向，就像带着惯性一样。如果前几步一直往一个方向走，那么你会倾向于继续往这个方向走，减少来回震荡。

公式 ：
v : = β v + ( 1 − β ) ∇ θ J ( θ ) v := \beta v + (1 - \beta) \nabla_{\theta} J(\theta) v:=βv+(1−β)∇θJ(θ)
θ : = θ − η v \theta := \theta - \eta v θ:=θ−ηv

其中：

• v v v是动量项
• β \beta β是动量系数（通常接近1，如0.9）

API ：
TensorFlow：

optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.01, momentum=0.9)

PyTorch：

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9)

动量法图像python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 损失函数: y = x^2
def loss(x):
    return x ** 2

# 损失函数的梯度: dy/dx = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# 动量法
def momentum_gradient_descent(start, learning_rate, iterations, beta=0.9):
    x = start
    v = 0
    path = [x]
    for i in range(iterations):
        grad = gradient(x)
        v = beta * v + (1 - beta) * grad
        x = x - learning_rate * v
        path.append(x)
    return path

# 参数
start = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# 运行梯度下降
path = momentum_gradient_descent(start, learning_rate, iterations)

# 绘制图像
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = loss(x)
plt.plot(x, y, label='Loss Function')
plt.scatter(path, [loss(p) for p in path], color='red', label='Momentum Path')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.title('Momentum Gradient Descent')
plt.show()

• 动量法通过引入动量项加速收敛并减少震荡，适用于深度神经网络训练。

5. RMSProp

生活中的例子 ：

你在移动时，会根据最近一段时间内每一步的坡度情况，动态调整步幅。比如，当坡度变化剧烈时，你会迈小步，当坡度变化平缓时，你会迈大步。

公式 ：
s : = β s + ( 1 − β ) ( ∇ θ J ( θ ) ) 2 s := \beta s + (1 - \beta) (\nabla_{\theta} J(\theta))^2 s:=βs+(1−β)(∇θJ(θ))2
θ : = θ − η s + ϵ ∇ θ J ( θ ) \theta := \theta - \frac{\eta}{\sqrt{s + \epsilon}} \nabla_{\theta} J(\theta) θ:=θ−s+ϵ η∇θJ(θ)

其中：

• s s s是梯度平方的加权平均值
• ϵ \epsilon ϵ是一个小常数，防止除零错误

API ：
TensorFlow：

optimizer = tf.keras.optimizers.RMSprop(learning_rate=0.001)

PyTorch：

optimizer = torch.optim.RMSprop(model.parameters(), lr=0.001)

RMSProp图像python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 损失函数: y = x^2
def loss(x):
    return x ** 2

# 损失函数的梯度: dy/dx = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# RMSProp
def rmsprop_gradient_descent(start, learning_rate, iterations, beta=0.9, epsilon=1e-8):
    x = start
    s = 0
    path = [x]
    for i in range(iterations):
        grad = gradient(x)
        s = beta * s + (1 - beta) * grad**2
        x = x - learning_rate * grad / (np.sqrt(s) + epsilon)
        path.append(x)
    return path

# 参数
start = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# 运行梯度下降
path = rmsprop_gradient_descent(start, learning_rate, iterations)

# 绘制图像
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = loss(x)
plt.plot(x, y, label='Loss Function')
plt.scatter(path, [loss(p) for p in path], color='red', label='RMSProp Path')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.title('RMSProp Gradient Descent')
plt.show()

• RMSProp动态调整学习率，通过对梯度平方的加权平均值进行调整，适用于处理非平稳目标。

6. Adam（Adaptive Moment Estimation）

生活中的例子 ：

你在移动时，结合动量法和RMSProp的优点，不仅考虑之前的移动方向（动量），还根据最近一段时间内的坡度变化情况（调整步幅），从而使移动更加平稳和高效。

公式 ：
m : = β 1 m + ( 1 − β 1 ) ∇ θ J ( θ ) m := \beta_1 m + (1 - \beta_1) \nabla_{\theta} J(\theta) m:=β1m+(1−β1)∇θJ(θ)
v : = β 2 v + ( 1 − β 2 ) ( ∇ θ J ( θ ) ) 2 v := \beta_2 v + (1 - \beta_2) (\nabla_{\theta} J(\theta))^2 v:=β2v+(1−β2)(∇θJ(θ))2
m ^ : = m 1 − β 1 t \hat{m} := \frac{m}{1 - \beta_1^t} m^:=1−β1tm
v ^ : = v 1 − β 2 t \hat{v} := \frac{v}{1 - \beta_2^t} v^:=1−β2tv
θ : = θ − η m ^ v ^ + ϵ \theta := \theta - \eta \frac{\hat{m}}{\sqrt{\hat{v}} + \epsilon} θ:=θ−ηv^ +ϵm^

其中：

• m m m和 v v v分别是梯度的一阶和二阶动量
• β 1 \beta_1 β1和 β 2 \beta_2 β2是动量系数（通常分别取0.9和0.999）
• m ^ \hat{m} m^和 v ^ \hat{v} v^是偏差校正后的动量项
• t t t是时间步

API ：
TensorFlow：

optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.001)

PyTorch：

optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

Adam图像python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 损失函数: y = x^2
def loss(x):
    return x ** 2

# 损失函数的梯度: dy/dx = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# Adam
def adam_gradient_descent(start, learning_rate, iterations, beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-8):
    x = start
    m = 0
    v = 0
    path = [x]
    for t in range(1, iterations + 1):
        grad = gradient(x)
        m = beta1 * m + (1 - beta1) * grad
        v = beta2 * v + (1 - beta2) * grad**2
        m_hat = m / (1 - beta1**t)
        v_hat = v / (1 - beta2**t)
        x = x - learning_rate * m_hat / (np.sqrt(v_hat) + epsilon)
        path.append(x)
    return path

# 参数
start = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# 运行梯度下降
path = adam_gradient_descent(start, learning_rate, iterations)

# 绘制图像
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = loss(x)
plt.plot(x, y, label='Loss Function')
plt.scatter(path, [loss(p) for p in path], color='red', label='Adam Path')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.title('Adam Gradient Descent')
plt.show()

• Adam结合动量法和RMSProp的优点，自适应调整学习率，适用于各种优化问题。

综合应用示例

假设我们在使用TensorFlow和PyTorch训练一个简单的神经网络，以下是如何应用这些优化方法的示例代码。

TensorFlow 示例：

import tensorflow as tf

# 定义模型
model = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(128, activation='relu', input_shape=(784,)),
    tf.keras.layers.Dense(10, activation='softmax')
])

# 编译模型并选择优化器
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.001)
model.compile(optimizer=optimizer, loss='sparse_categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])

# 准备数据
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
x_train, x_test = x_train / 255.0, x_test / 255.0

# 训练模型
model.fit(x_train, y_train, epochs=10, batch_size=32)

PyTorch 示例：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torchvision import datasets, transforms
from torch.utils.data import DataLoader

# 定义模型
class SimpleNN(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(SimpleNN, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(784, 128)
        self.fc2 = nn.Linear(128, 10)

    def forward(self, x):
        x = torch.relu(self.fc1(x))
        x = self.fc2(x)
        return x

model = SimpleNN()

# 选择优化器
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()

# 准备数据
transform = transforms.Compose([transforms.ToTensor(), transforms.Normalize((0.5,), (0.5,))])
train_dataset = datasets.MNIST(root='./data', train=True, transform=transform, download=True)
train_loader = DataLoader(train_dataset, batch_size=32, shuffle=True)

# 训练模型
for epoch in range(10):
    for batch in train_loader:
        x_train, y_train = batch
        x_train = x_train.view(x_train.size(0), -1)  # Flatten the images

        optimizer.zero_grad()
        outputs = model(x_train)
        loss = criterion(outputs, y_train)
        loss.backward()
        optimizer.step()

综合对比

优化方法	优点	缺点	可能出现的问题	适用场景
批量梯度下降（Batch GD）	收敛稳定，适用于小规模数据集	每次迭代计算开销大，速度慢	难以处理大规模数据，容易陷入局部最优	小规模数据集，适合精确收敛
随机梯度下降（SGD）	计算效率高，适用于大规模数据集	路径不稳定，波动较大	收敛路径抖动大，不稳定	大规模数据集，在线学习，快速迭代
小批量梯度下降（Mini-Batch GD）	平衡了计算效率和收敛稳定性	需要选择合适的小批量大小，计算量仍然较大	小批量大小选择不当可能影响收敛效果	大规模数据集，适合批量计算
动量法（Momentum）	加速收敛，减少震荡	需要调整动量系数，增加了参数选择的复杂性	动量系数选择不当可能导致过冲	深度神经网络训练，加速收敛
RMSProp	动态调整学习率，适应非平稳目标	需要调整参数β和ε，参数选择复杂	参数选择不当可能影响收敛效果	非平稳目标，复杂优化问题
Adam	结合动量法和RMSProp优点，自适应调整学习率，收敛快	需要调整多个参数，计算复杂性高	参数选择不当可能影响收敛效果	各种优化问题，特别是深度学习模型训练

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