函数的概念及图像

注: 判断两函数是否相同,只看定义域和对应法则。

1. 函数的定义

一般的,在一个变化过程中有两个变量 x,y。**如果对于x在某个变化范围内的每一个确定值,按照某个对应法则,都有唯一确定的值y和他对应。**那么y就是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量。可以记作 y = f(x) 其中,f表示对应法则。

2. 函数的表示方法
  • 解析法:用等式表示两个变量间函数关系的方法。如 y = 2x + 3;
  • 列表法:用表格表示两个变量间函数关系的方法。
  • 图像法:用图像表示两个变量间函数关系的方法。
3. 常见的函数定义域
  1. f(x) 是整数时,定义域是全体实数。
  2. f(x) 是分式函数时,分母不能为0。
  3. f(x) 是偶次方根时,被开方数大于等于0。若为奇次方根,则被开方数无要求。0的0次方无意义
  4. 对数函数的真数大于0。
  5. 对数函数或指数函数的底数大于0且不等于1。
  6. 在y = tan x 中, x ≠ kΠ + Π/2 (k 属于Z)。
  7. 若是有几个式子构成的,则定义域为这几个式子定义域的交集。
4. 函数的单调性
1. 函数单调性的定义

在一个区间上,如果自变量X的任意两个值,x1、x2,当x1 < x2时,都有 f(x1) 小于 f(x2)那么称f(x)在此区间上是增函数;但若 f(x1) > f(x2),那么称该函数在此区间上是减函数。

如果函数y = f(x) 在某区间上是增函数/减函数,就说 f(x) 在此区间上具有单调性,在此区间叫做f(x)的单调区间。

2. 函数单调性的图像特征
3. 函数单调性的判断方法
  1. 设x1,x2是定义域活区间D上的任意两个值,且x1<x2。
  2. 做差 f(x1) - f(x2),并将差的形式化简,目标是有利于判断结果的正负号。
  3. 判断 f(x1) - f(x2) 的正负。
  4. 得出结论。
5. 函数的奇偶性
1.函数奇偶性的定义

设y = f(x),在其定义域内任取一点,且 -x 也在其定义域内。

  1. 若 f(x) = f(-x),则称函数f(x)为偶函数。
  2. 若 f(-x) = -f(x) 则成函数f(x)为奇函数。
2. 函数奇偶性的图像特征
  • 奇函数的图像关于原点对称。
  • 偶函数的图像关于y轴对称。
3. 奇偶性四则运算
  1. 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
  2. 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
  3. 奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶函数
  4. 奇函数 * 奇函数 = 偶函数
  5. 偶函数 * 偶函数 = 偶函数
  6. 奇函数 * 偶函数 = 奇函数
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