详解二分查找

二分法详解

大家好，我是Weekoder！

这是我的第一篇文章，如果有做的不好的地方，请见谅，我会尽力改正。

本文中的图片截取于网络视频，非恶意搬运。

二分法，是一个高效的算法，查找一个数的时间复杂度只需要\(O(\log n)\)，大大优化了朴素算法（从头到尾地遍历）\(O(n)\)的线性复杂度。稍后我会对它的对数复杂度做分析。

举个例子，当你要在一个长度为\(2\times 10^9\)（20亿）的数组中里查找一个数时，朴素算法\(O(n)\)的复杂度肯定会超时 ，更别说去寻找多个数了。但如果使用二分法 进行查找，查找一次只需大约运行30次！真是恐怖的差别。

那么，到底该怎么实现二分法，实现二分法又有什么条件呢？这是我们接下来要解决的问题。

二分法的理论概念

二分法，是指在有序序列 中通过折半 的方式快速锁定目标的位置，在不断的二分下，最终找到答案。别急，我第一次看到的时候也是一头雾水。那么，我们来分析一下这段话。

• 折半是具体怎样折半？

这个问题很好地引入了二分法的实现。我们来看一段伪代码。

int left = 0, right = n + 1;
while (还没有结束) {
    int mid = (left + right) / 2;
    if (...)
		left = mid;
    else
		right = mid;
}

可以看到，我们先定义了两个指针 left 和 right （其实就是类似于 for 循环中的 i 和 j ，不是什么很深奥的东西，不要像我一开始一样被误导了），分别指向数组的第一个元素的前一个位置 和最后一个元素的后一个位置 ，它们之间就是答案所在的范围 。在while循环中间，又定义了一个 mid ，它指向的是left和right的中间 ，最好是写作\(mid=(left+right)>>1\)（位运算，等同于除以2）。然后，当触发了某个条件，left会指向mid ，否则会让right指向mid 。请思考这样做的含义。等等，这不就是相当于把答案的范围折半 了吗？于是，我们就顺利地完成了折半的操作。总结一下，就是每次计算 left 和 right 的中间，并在某种判断条件下让 left 或 right 指向 mid，也就是折半。

现在，让我们换一种角度 思考。不是去思考left和right之间是什么 ，而是去思考left和right之前是什么，即1--left和right--n这两个区间。请认真再反复思考这句话的含义。

我们现在来看这样一张图片：left 指向蓝色区域（下标 1 --left ）从左往右的最后一个元素4，而 right 指向红色区域（下标 right --n(8)）从右往左的最后一个元素5。

这样就好理解了，蓝色区域 1 --left 可以理解为是 left 扩展的区域 ，而红色区域 right --n 可以理解为是 right 扩展的区域 。也就是说，二分查找其实就是在不断扩展 left 和 right ，最后根据情况返回 left 或 right。 为什么是根据情况返回 left 或 right 呢？因为在实际情况中，有可能要求返回 left ，也有可能要求返回 right ，但肯定是不会直接像"请返回 left"这样直接告诉你的。接下来我们逐一来补全伪代码中未完成的部分。

• 为什么非得是在有序序列中？无序不行吗？

这是实现二分法的条件：数组需要有序 。可以是单调不递减（从小到大）或单调不递增（从大到小）。为解决这个疑问，我们来补全伪代码中while循环里的if条件，也就是让 left 或 right 指向 mid 时 是让 left 还是 right 指向 mid 的条件。

我们来看为什么朴素算法的效率低下 。从我们之前扩展 的角度来看，朴素算法相当于是两个指针在一个个缓慢扩展，直到遇到对方区域才停止。

可以看到，这样的效率是很低下的。

那么，二分是怎样对扩展优化的呢？

答案是每次计算中间值 mid ，判断 mid 属于哪种颜色，并直接让 left 或 right 指向 mid，于是就一下子扩展了很多。 这里假设 mid 现在指向的区域是蓝色的 ，那么我们就会让 left 直接指向 mid。 这意味着什么？ 既然蓝色区域已经扩展到 mid 了，那么就说明 mid 之前的数也必须是蓝色的 ，这样这个操作才合法，才是正确的。那我们怎么保证 mid 之前的数是蓝色的呢？ 很简单，只要让数组有序就行了，这样就能保证 mid 之前的数全部小于现在 mid 指向的数，也就全部是蓝色的了。 同理，只要数组有序， right

之前的数也全部都大于 right 现在指向的数，这个扩展操作也能成功。

总结一下，数组需要有序是因为这样二分时扩展的优化才能合法，并且我们又解决了一个问题：while循环里的if条件是在判断 mid 是属于什么颜色的。 我们把这个判断称为\(IsBlue\)（属于蓝色区域）。

现在更新伪代码为：

int mid = (left + right) >> 1;
if (IsBlue(mid))
    left = mid;
else
    right = mid;

• 不断地二分具体是要分几次？

到这里，我们终于把伪代码补全了。具体要分几次取决于while循环的条件。

我们知道，二分法其实就是不断扩展 left 和 right 的过程 ，而我们观察上一幅图，当 left 和 right 处于什么关系时 ，扩展就完成了？答案也呼之欲出了：\(left+1=right\) 。

于是，我们完成伪代码的最后更新：

int left = 0, right = n + 1;
while (left + 1 != right） {
    int mid = (left + right) / 2;
    if (IsBlue(mid))
		left = mid;
    else
		right = mid;
}
return left or right;

至此，二分法的概念和实现就讲得差不多了。

那么，我们也就知道了，因为二分查找其实是在不断折半 ，所以总时间复杂度刚好是 \(O(\log n)\)。

二分法的细节处理

• 细节1

为什么left的初始值为0，right的初始值为n+1？不能等于1和n吗？

设想一下，如果整个数组都是红色 ，那么 left 一开始就会指向红色区域，造成错误；同理，如果整个数组都是蓝色，那么 right 一开始就会指向蓝色区域，同样会造成错误，所以将指针初始化为 \(0\) 和 \(n+1\)。

• 细节2

在更新指针时，能写成 \(left=mid+1\) 或者 \(right=mid-1\)吗？

我们来看一个例子：

设想一下，这个时候如果 \(left=mid+1\)，会发生什么？没错，left 会指向红色区域，导致错误。同理，如果 mid 指向红色区域的最后一个元素，right 也会指向蓝色区域，导致错误。所以，将 left 和 right 直接指向 mid 更合适。

二分法的实现与建模

做一道例题就明白了。

给定一个有序 整数数组 \(a[]\) 和一个整数数组 \(x[]\) 以及它们的长度 \(aLen\) 和 \(xLen\)。\((0\le a_i\le 2\times 10^6,0\le x_i\le 10^8,aLen,xLen\le 10^6)\)

现在定义 \(f(i)\) 为第一个符合 \(a_j\ge x_i\) 的 \(j\)，如果没有，返回 \(0\)。

试求出 \(f(1,2,3,...xLen-1,xLen)\)。保证有解。

数组又是有序的，又要查找多个数，很容易想到效率高的二分查找 。那我们做题时该怎么建模呢？放心，一点也不难。我们只需要把伪代码中的 \(IsBlue\) 条件和到底是要返回 left 还是 right 搞清楚就行了。现在我们来划分红蓝区域。

首先，题目要求我们返回的是第一个 符合条件的数，我们来看一下能不能把蓝色区域定义为大于等于 \(x_i\) 的数。显然是不可以的，因为蓝色区域是从左到右 的，指向的是最后一个大于等于 \(x_i\) 的元素，所以要把红色区域定义为大于等于 \(x_i\) 的数，蓝色区域就是小于 \(x_i\) 的元素。\(IsBlue\) 的条件就是 \(a[mid]<x_i\)，最后返回 right。给出代码如下。

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5; // 数组大小
int a[N], x[N], aLen, xLen; // a数组，x数组，它们的大小
void bin_search(int x) { // 写成函数方便快捷
    int l = 0, r = aLen + 1; // 指针初始化要在边界外
    while (l + 1 != r) { // 当扩展还未结束
        int mid = (l + r) >> 1; // 计算中间值，>> 位运算，等同于除以2
        if (a[mid] < x) // 当处于蓝色区域
	    	l = mid; // 蓝色区域扩展
        else // 否则就是红色区域
            r = mid; // 红色区域扩展
    }
    if (a[r] == x) cout << r << " "; // 如果查找的答案符合
    else cout << 0 << " "; // 没有找到，输出0
    return ; // 函数最好都要写返回
}
int main() {
    cin >> aLen >> xLen; // 输入数组大小
    for (int i = 1; i <= aLen; i++) cin >> a[i]; // 输入a数组
    for (int i = 1; i <= xLen; i++) cin >> x[i]; // 输入x数组
    for (int i = 1; i <= xLen; i++) // 循环输出f(i)
		bin_search(x[i]); // 二分查找函数
    return 0; // 大功告成！
}

可以输入样例自测。

输入样例：

5 3

2 5 7 9 11

6 2 15

输出样例：

3 1 0

总结一下二分法的总体建模思路，就是确定红蓝区域 以及返回 left 还是 right，并套用模板求解。当然，有一些细节也要处理，比如指针的初始值，扩展时防止跑到对面区域等。

最后

怎么样，你是否看懂了二分法的所有过程并理解了呢？其实二分法的思想很简单，但实现的过程中总会遇到一些麻烦。所以我才写了我的第一篇文章，想帮助大家理解二分法并能熟练运用它。希望你喜欢。

再见！