最短路径问题

最短路径问题

最短路问题是图论中一种重要的算法,本章将包括:

目录

一.概念

1.概念

一张图中n条点和m条边,边都有权值,权值可正可负。边可能有向,可能无向,给定起点s和终点t,在所有能链接s和t的路径中,寻找所经权值最小的路径,此为最短路径问题。

2.解决方案

最容易想到的方法是暴力法,枚举所有路径,再进行大小比较,但明显不可行,一定会超时。

更好的方法即为在寻路的过程中,动态规划将要走的最短路径,此也为下文的算法思路和方法。

二. \(Flord\) 算法

\(Flord\) 算法是最简单的最短路径算法,甚至短于暴力搜索。

1.算法思想

求 \(i\) 到 \(j\) 的最短路径,对于其他所有点,每个点 \(k\) 都尝试一遍能否 \(i\) 借道 \(k\) 到 \(j\) 会不会更短。

对于这样的思路,我们可以用动态规划来解决,定义 \(dp[k][i][j]\) ,表示 \(k\) 阶段 \(i\) 到 \(j\) 的最短路,不难发现 \(dp[k][i][j]\) 是由 \(dp[k-1][i][j]\) 推出,1.若不变,则直接继承。2.若变,则是其加借道的权值即可。由是,我们便可推出其状态转移方程:

\[dp[k][i][j]=min(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]) \]

由状态转移方程可知, \(dp[k][i][j]\) 的值只与 \(dp[k-1][i][j]\) 有关,由是,我们可利用滚动数组将 \(dp\) 数组降维,来到二维,得到新的状态转移方程:

\[dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]) \]

综上,可得出 \(Flord\) 算法的核心代码。

2.代码详解

cpp 复制代码
for(int k=1;k<=n;k++){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]);
        }
    }
}

由于使用了滚动数组,所以 \(k\) 循环必须在 \(i\) , \(j\) 循环之外。

3.算法应用及局限性

对于 \(Flord\) 算法来说,其能一次跑出所有点对之间的最短路,我们称这种求所有点对之间的最短路的问题为多源最短路问题,对比其他算法来说,解决多源最短路问题, \(Flord\) 算法 \(O(n^3)\) 的均摊复杂度是最优秀的。

当然,对于求一组点对之间的最短路的单源最短路问题, \(Flord\) 算法 \(O(n^3)\) 的复杂度便难以接受。

综上, \(Flord\) 算法适合解决 \((n<300)\) 的小图上的最短路问题。

二. \(Djikstra\) 算法

\(Djikstra\) 算法基于 \(BFS\) 可以说" \(Djikstra\) = \(BFS\) +贪心"

1.算法思想

对于 \(Djikstra\) 算法来说,主要为点之间的扩展,对于我们将要处理的点来说,我们将其所有邻居加入优先队列中。再在优先队列中选择最小(队首的)的那条边进行处理,优先队列中存放的是各点到起点的距离。

经过手动模拟,可以得出,若一个点 \(A\) 在之前的处理中已确定到起点的最小值,则后续的处理与其无关,即对于一个点,若其已被确定,则其不会再入队。

2.代码详解

cpp 复制代码
void dijkstra(int s){             //s为起点
    for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=inf;done[i]=false;}
    //初始化,dis[i]表示i点到起点的距离,done[i]表示i点已确定。
    dis[s]=0;            //起点到自己的距离为0
    priority<node>q;     //优先队列,小根堆
    q.push(node(s,0));
    while(!q.empty()){
        node u=q.top();             //弹出距离最小的点
        q.pop();
        if(done[u.id]) continue;    //若此点已确定
        done[u.id]=true;
        for(int i=0;i<=e[u.id].size();i++){
            edge y=e[u.id][i];
            if(done[u.to]) continue;
            if(dis[v.to]>y.w+u.dis){  //若通过此点更短
                dis[y.to]=y.w+u.dis;
                q.push(node(y.to,dis[y.to]));
            }
        }
    }
}

3.算法特征及其局限性

\(Djikstra\) 算法是较为高效,稳定的最短路径算法,每次得出一条最短路径,所以稳定,每次只更新一个点,所以高效。

当然, \(Djikstra\) 算法也并非完美无缺,其也有其局限性,那就是对于其将要处理的图来说,其不能出现权值为负的情况,若有负边权,则贪心不成立,即不能保证"全局最优解由局部最优解组成"的最优性定理,导致 \(Djikstra\) 算法出现错误。

三. \(Bellman-ford\) 算法

\(Bellman-ford\) 算法是一种简单的单元最短路算法。

1.算法思路

我们通过多次推出,来松弛(指修改到各点的最短距离)各点的最短距离,也就是说通过一步步地推出最远的点的最近路径。

对于我们进行的每一次松弛来说,对每一条线段进行遍历,看线段端点经过此线段能否比之前距起点的距离更近,若是,则更新。由于考虑回退边的存在,所以共进行 \(n\) 次操作。

2.代码详解

\(Bellman-ford\) 算法的主代码较少:

cpp 复制代码
for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
            dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i]

注:保证在主代码之前初始化 \(dis\) 数组,除 \(dis[s]\) 之外,全部初始化为 \(INF\) 。

3.算法特性

由算法思路得, \(Bellman-ford\) 算法遍历 \(n\) 条边 \(m\) 条边,其复杂度为 \(O(mn)\) ,虽然其能处理 \(Djikstra\) 处理不了的负边权问题,但当 \(n\) 与 \(m\) 都很大时, \(Bellman-ford\) 算法的效率将会十分糟糕,不过这也引出了我们的的第四种算法 \(SPFA\) 。

四. \(SPFA\) 算法

\(SPFA\) 算法基于 \(Bellman-ford\) 算法的队列优化版。

1.算法思想

既然其是 \(Bellman-ford\) 算法的优化,那么基本的思想不会改变,我们需要找到如何优化 \(Bellman-ford\) ,对于 \(Bellman-ford\) 的每一次松弛来说,我们需要遍历每一条边,其实并没有必要,对于一个其邻居已经确定的点来说,重复遍历它的每条边是无意义的,我们只需对发生变化的点的邻居进行维护即可,队列完全适合,于是这便是 \(SPFA\) 算法。

2.代码详解

CPP 复制代码
bool inq[maxn];              //inq[i]表示i已在队列中
void spfa(int s){            //s为起点
    for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=inf;inq[i]=false;}  //dis[i]为i到起点的距离
    dis[s]=0;
    queue<int>q;
    q.push(s);
    inq[s]=true;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        inq[u]=false;
        for(int i=0;i<e[u].size();i++){
            int v=e[u][i].to,w=e[u][i].w;
            if(dis[u]+w<dis[v]){
                dis[v]=dis[u]+w;
                if(!inq[v]){                //若v不在队列中
                    inq[v]=true;
                    q.push(v);              //入队
                }
            }
        }
    }
}

3.特征及性质

\(SPFA\) 算法节点的入队数量决定了 \(SPFA\) 算法的效率,由于不能确定重新入队的节点数量,所以 \(SPFA\) 不稳定,最差情况下为 \(O(mn)\) ,此时我们便应选择稳定的 \(Djikstra\) 算法来解决问题。

当给定的图如下图时:

\(SPFA\) 的复杂度将十分糟糕,不如 \(Djikstra\) 。当然, \(SPFA\) 也有自己的优点,即允许负边权的存在。其也可用来判断负环。

五.总结

这四种算法各有千秋。

问题 边权 算法 复杂度
非负数 \(Djikstra\) \(O((m+n)log_2n)\)
单源最短路 允许有负数 \(Bellman-ford\) \(<O(mn)\)
允许有负数 \(SPFA\) \(O(mn)\)
多远最短路 允许有负数 \(Flord\) \(O(n^3)\)

其中,求多源最短路,则使用 \(Flord\) ,若求单源最短路且无负边权,则推荐使用稳定的 \(Djikstra\) 。若有负边权,则使用 \(SPFA\) ,\(Bellman-ford\) 的应用场景很少,一般不会用到,可用来做小图的小码量选择。