FIR滤波器的几种常见窗口法计算方法
1. 矩形窗口（Rectangular Window）
矩形窗口直接截断理想脉冲响应，无额外的平滑效果。它简单但会引入较大的旁瓣效应。
w n = 1 , 0 ≤ n ≤ N − 1 wn = 1, \quad 0 \le n \le N-1 wn=1,0≤n≤N−1
2. 汉宁窗口（Hanning Window）
汉宁窗口使用平滑的余弦函数，有效减少旁瓣效应。
w n = 0.5 ( 1 − cos ( 2 π n N − 1 ) ) , 0 ≤ n ≤ N − 1 wn = 0.5 \left(1 - \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)\right), \quad 0 \le n \le N-1 wn=0.5(1−cos(N−12πn)),0≤n≤N−1
3. 汉明窗口（Hamming Window）
汉明窗口是汉宁窗口的变种，进一步减少旁瓣效应，适用于大多数实际应用。
w n = 0.54 − 0.46 cos ( 2 π n N − 1 ) , 0 ≤ n ≤ N − 1 wn = 0.54 - 0.46 \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right), \quad 0 \le n \le N-1 wn=0.54−0.46cos(N−12πn),0≤n≤N−1
4. 布莱克曼窗口（Blackman Window）
布莱克曼窗口具有更好的旁瓣抑制效果，适用于需要高频率分辨率的情况。
w n = 0.42 − 0.5 cos ( 2 π n N − 1 ) + 0.08 cos ( 4 π n N − 1 ) , 0 ≤ n ≤ N − 1 wn = 0.42 - 0.5 \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) + 0.08 \cos\left(\frac{4\pi n}{N-1}\right), \quad 0 \le n \le N-1 wn=0.42−0.5cos(N−12πn)+0.08cos(N−14πn),0≤n≤N−1
5. 凯撒窗口（Kaiser Window）
凯撒窗口具有可调参数 β \beta β，通过调整 β \beta β 可以在主瓣宽度和旁瓣抑制之间进行权衡。
w n = I 0 ( π β 1 − ( 2 n N − 1 − 1 ) 2 ) I 0 ( π β ) , 0 ≤ n ≤ N − 1 wn = \frac{I_0\left(\pi \beta \sqrt{1 - \left(\frac{2n}{N-1} - 1\right)^2}\right)}{I_0(\pi \beta)}, \quad 0 \le n \le N-1 wn=I0(πβ)I0(πβ1−(N−12n−1)2 ),0≤n≤N−1
其中 I 0 I_0 I0 是零阶修正贝塞尔函数， β \beta β 为窗口的形状参数。
应用窗口函数设计FIR滤波器的步骤
- 定义理想脉冲响应
假设我们设计一个理想的低通滤波器，其理想的脉冲响应为：
h d n = sin ( 2 π f c ( n − N − 1 2 ) ) π ( n − N − 1 2 ) , n ≠ N − 1 2 h_dn = \frac{\sin\left(2\pi f_c \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\right)}{\pi \left(n - \frac{N-1}{2}\right)}, \quad n \neq \frac{N-1}{2} hdn=π(n−2N−1)sin(2πfc(n−2N−1)),n=2N−1
当 n = N − 1 2 n = \frac{N-1}{2} n=2N−1 时，
h d N − 1 2 = 2 f c h_d\left\\frac{N-1}{2}\\right = 2 f_c hd2N−1=2fc
- 选择窗口函数
选择适当的窗口函数 w n wn wn。
- 应用窗口函数
将窗口函数应用到理想的脉冲响应上：
h n = h d n ⋅ w n , 0 ≤ n ≤ N − 1 hn = h_dn \cdot wn, \quad 0 \le n \le N-1 hn=hdn⋅wn,0≤n≤N−1
示例
假设我们使用汉明窗口设计一个低通FIR滤波器：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义滤波器参数
N = 51 # 滤波器长度
fc = 0.25 # 归一化截止频率（f_c = f_c_actual / f_s）
# 理想脉冲响应
n = np.arange(N)
hd = np.sinc(2 * fc * (n - (N - 1) / 2))
# 汉明窗口
w = 0.54 - 0.46 * np.cos(2 * np.pi * n / (N - 1))
# 应用窗口函数
h = hd * w
# 频率响应
H = np.fft.fft(h, 1024)
H = np.fft.fftshift(H) # 移动零频到中心
H_dB = 20 * np.log10(np.abs(H))
# 绘制时域和频域响应
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.stem(n, h, use_line_collection=True)
plt.title('时域脉冲响应')
plt.xlabel('样本点')
plt.ylabel('幅度')
plt.subplot(2, 1, 2)
f = np.linspace(-0.5, 0.5, len(H))
plt.plot(f, H_dB)
plt.title('频域响应')
plt.xlabel('归一化频率')
plt.ylabel('幅度 (dB)')
plt.grid()
plt.show()