二阶
\\\sum_{i=l}\^{r} \\sum\^{i}_{j=1} a_j \\
\=\\sum_{i=l}\^{r} (r-i+1) a_i \\
\=(r+1)\\sum_{i=l}\^{r} a_i+\\sum_{i=l}\^{r} i \\cdot a_i \\
这个很好理解，因为对于第 \(i\) 个数，他加了 \((r-i+1)\) 次
三阶
正常拆解
\\\sum_{i=l}\^{r} \\sum\^{i}_{j=1} \\sum_{k=1}\^{j} a_k \\
\=\\sum_{i=l}\^{r} \\sum_{j=1}\^{i} (i-j+1) a_j \\
\=\\sum_{i=l}\^{r} {\\Large (}(i+1) \\cdot \\sum_{j=1}\^{i} a_j - \\sum_{j=1}\^{i} j \\cdot a_j{\\Large )} \\
\=\\sum_{i=l}\^{r} {\\Large (} (i+1) \\cdot \\sum_{j=1}\^{i} a_j {\\Large )} - \\sum_{i=l}\^{r} \\sum_{j=1}\^{i} j \\cdot a_j \\
直接拆开可得（可用数学归纳法）：
\\\sum\^{r}_{i=l} \\frac{(r-i+1)(r+i+2)}{2} a_i - \\sum_{i=l}\^{r} i \\cdot (r-i+1) a_i \\
合并，得：
\\\sum\^{r}_{i=l} \\frac{(r-i+1)(r-i+2)}{2} a_i \\
展开，得：
\\\sum\^{r}_{i=l} \\frac{r\^2+i\^2-2ri-3i+2}{2} a_i \\
即：
\\\frac{1}{2}\\sum\^{r}_{i=l} i\^2 \\cdot a_i -\\frac{2r+3}{2} \\sum\^{r}_{i=l} i \\cdot a_i + \\frac{r\^2+2}{2}\\sum\^{r}_{i=l} a_i \\
即维护 \(\sum^{r}{i=l} i^2 \cdot a_i\)，\(\sum^{r}{i=l} i \cdot a_i\)，\(\sum^{r}_{i=l} a_i\) 即可
另一种方法
令
\b_i=\\sum_{j=1}\^i a_j \\
然后原式化为：
\\\sum_{i=l}\^{r} \\sum\^{i}_{j=1} b_j \\
同2阶，展开：
\(r+1) \\cdot \\sum_{i=l}\^{r} b_i - \\sum_{i=l}\^{r} i \\cdot b_i \\
然后把
\b_i=\\sum_{j=1}\^i a_j \\
代入得：
\(r+1) \\cdot \\sum_{i=l}\^{r} \\sum_{j=1}\^i a_j - \\sum_{i=l}\^{r} i \\cdot \\sum_{j=1}\^i a_j \\
其中 \(\sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^i a_j\) 是不是很眼熟！
展开得：
\(r+1) \\cdot \\sum_{i=l}\^{r} (r-i+1) a_i - \\sum_{i=l}\^{r} i \\cdot (r-i+1) a_j \\
然后就是同第一种方法得到答案啦！