【高中数学/指数、对数】已知9^m=10,a=10^m-11,b=8^m-9,则ab两数和0的大小关系是？（2022年全国统考高考真题）

普兰店拉马努金2024-07-11 11:14

【问题】

已知9^m=10,a=10^m-11,b=8^m-9,则（）

A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

【解答】

首先注意到10^log10_11-11=0,8^log8_9-9=0，

问题就转化为log8_9,log9_10,log10_11谁大谁小的问题，

再进一步，转化为函数y=logx_x+1=ln(X+1)/lnX是增函数还是减函数的问题。

回忆y=lnX图线，斜率是越来越平缓，

故y=ln(X+1)/lnX，在x越来越大时，比值会接近1，

也就是说，y=ln(X+1)/lnX的图线，在x>1时，回是一条从高处下落，渐渐趋近于y=1的曲线，这个函数是减函数，如下图所示：

至此，我们可以判断：log8_9>log9_10>log10_11

所以a=10^log9_10-11>10^log10_11-11=0,即a>0

0=8^log8_9-9>8^log9_10-9=b,0>b

因此，最终得出a>0>b的结论，选择项选A

此外，由于可以把函数计算器带入高考考场，考生可以利用换底公式计算得log8_9=1.0567>log9_10=1.0479>log10_11=1.0413,从而轻松知道三个数的大小，继而解题。

【绘制上图用到的代码】

复制代码 
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body οnlοad="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="y=logx_x+1函数图像";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const ScaleUnit=50;                // 缩放比例

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<TIME_END){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    var obj=new Object;

    obj.curve1={
        name:"曲线:y=ln(x+1)/lnx",
        xEnd:11,
        x:0,
        y:0,
        color:"maroon",
        setY:function(x){
            this.y=Math.log(x+1)/Math.log(x);// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};
            
            if(x<1){
                this.pts0.push(coord);    
            }else{
                this.pts1.push(coord);    
            }
        },
        "pts0":[],
        "pts1":[],
    };

    

    // 随时间更新位置
    obj.update=function(t){
        // 记录曲线1的xy值
        if(obj.curve1.x<obj.curve1.xEnd){
            obj.curve1.x+=0.01;
            obj.curve1.setY(obj.curve1.x);
        }    

    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 曲线一名称
        drawText(ctx,this.curve1.name,-130,225,this.curve1.color,18);
        // 曲线一当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve1.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve1.y.toFixed(3),-130,205,this.curve1.color,18);

        var value=Math.log(9)/Math.log(8);
        var text="a="+value.toFixed(3);
        drawText(ctx,text,430,185,this.curve1.color,18);

        var value=Math.log(10)/Math.log(9);
        var text="b="+value.toFixed(3);
        drawText(ctx,text,430,165,this.curve1.color,18);

        var value=Math.log(11)/Math.log(10);
        var text="c="+value.toFixed(3);
        drawText(ctx,text,430,145,this.curve1.color,18);

        // 绘制曲线一
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts0);
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts1);

        paintPoint(ctx,8,Math.log(9)/Math.log(8),"a","black");
        paintPoint(ctx,9,Math.log(10)/Math.log(9),"b","black");
        paintPoint(ctx,10,Math.log(11)/Math.log(10),"c","black");
       
    };

    // 画背景
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="white";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,4,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.stroke();
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit+9,y*ScaleUnit-5,color,12);
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
        }
    }     
    ctx.stroke();        
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();

      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    const AXISY_COLOR="black";

    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        if(x==0){
            continue;
        }

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,AXISY_COLOR,12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    const AXISY_COLOR="black";
        
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        var text=y/ScaleUnit+"";
        var metrics = ctx.measureText(text);
        var textWidth = metrics.width;

        drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="lightgrey";    

    // 分十格
    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    // 十小格间的分割线
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="grey";
    ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线

    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"/* aqua湖绿色*/,
        "black"/* black黑色*/,
        "blue"/* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"/* green 绿色*/,
        "grey"/* grey 草木灰*/,
        "lime"/* lime 亮绿色*/,
        "maroon"/* maroon 棕色*/,
        "navy"/* navy 海军蓝*/,
        "orange"/* orange 橙色*/,
        "purple"/* purple 紫色*/,
        "red"/* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"/* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"/* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,        
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}

// JS开立方
function kaiLiFang(x){
    if(x>0){
        return Math.pow(x,1/3);
    }else{
        return -Math.pow(-x,1/3);
    }
}
//-->
/**************************************
人的希望就像一颗恒星，
每到深夜又会重放光芒，
无论你因为环境影响，
还是为自身条件所限，
被动或主动放弃过它多少次，
它一直都在那，
静静地看着你。
**************************************/
</script>

END

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