概念
原函数
设函数 F ( x ) F(x) F(x)在区间 I I I上可导，对区间 I I I上的每一点都有 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)，则称函数 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上的一个原函数
- 提到原函数一般要指明区间，不加特别说明的情况下一般默认为 f ( x ) f(x) f(x)的定义域
- 如果 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上存在原函数，那么它的原函数连续且不唯一
F ( x ) = x 2 , f ( x ) = 2 x , x 2 是 2 x 的一个原函数 F ( x ) = ln x ( x > 0 ) , f ( x ) = 1 x ( x ≠ 0 ) , ln x 是 1 x 在 x > 0 上的一个原函数 F ( x ) = ln ∣ x ∣ ( x ≠ 0 ) , f ( x ) = 1 x ( x ≠ 0 ) , ln x 是 1 x 在 x ≠ 0 上的一个原函数 F ( x ) = x 2 , f ( x ) = 2 x , F ′ ( x ) = f ( x ) , x 2 是 2 x 在 x ∈ R 上的一个原函数 F ( x ) = x 2 + C , C 为任意常数 , f ( x ) = 2 x , F ′ ( x ) = f ( x ) , x 2 + C 是 2 x 在 x ∈ R 上的全体原函数 \begin{array}{} F(x)=x^2,f(x)=2x,x^2是2x的一个原函数 \\ F(x)=\ln x(x>0),f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0),\ln x是 \frac{1}{x}在x>0上的一个原函数 \\ F(x)=\ln |x|(x\ne0),f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0),\ln x是 \frac{1}{x}在x\ne0上的一个原函数 \\ F(x)=x^{2},f(x)=2x,F'(x)=f(x),x^{2}是 2x在x\in R上的一个原函数 \\ F(x)=x^{2}+C,C为任意常数, \\ f(x)=2x,F'(x)=f(x),x^{2}+C是 2x在x\in R上的全体原函数 \end{array} F(x)=x2,f(x)=2x,x2是2x的一个原函数F(x)=lnx(x>0),f(x)=x1(x=0),lnx是x1在x>0上的一个原函数F(x)=ln∣x∣(x=0),f(x)=x1(x=0),lnx是x1在x=0上的一个原函数F(x)=x2,f(x)=2x,F′(x)=f(x),x2是2x在x∈R上的一个原函数F(x)=x2+C,C为任意常数,f(x)=2x,F′(x)=f(x),x2+C是2x在x∈R上的全体原函数
不定积分
函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上的所有原函数组成的集合，成为 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上的不定积分，记作 ∫ f ( x ) d x \int f(x) \, dx ∫f(x)dx
∫ 2 x d x = x 2 + C 1 ∫ 2 x d x = x 2 + C 2 ∫ 2 x d x − ∫ 2 x d x = C \begin{array}{} \int 2x \, dx=x^2+C_{1} \\ \int 2x \, dx=x^2+C_{2} \\ \int 2x \, dx -\int 2x \, dx =C \end{array} ∫2xdx=x2+C1∫2xdx=x2+C2∫2xdx−∫2xdx=C
- 若 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上的一个原函数，那么 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C , C ∈ R \int f(x) \, dx=F(x)+C,C \in R ∫f(x)dx=F(x)+C,C∈R
- 求导数与求不定积分互为逆运算
- 不定积分运算时出现任意常数时，一般的运算为 C ± C = C , C 2 = C C\pm C=C,C^{2}=C C±C=C,C2=C
性质
基本性质
设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均存在原函数
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x \int [f(x)\pm g(x)] \, dx=\int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x ( k ∈ R , k ≠ 0 ) \int kf(x) \, dx=k\int f(x) \, dx(k \in R,k \ne 0) ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k∈R,k=0)
( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) 或 d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) d x \left( \int f(x) \, dx \right)'=f(x)或 d \int f(x) \, dx=f(x)dx (∫f(x)dx)′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx
∫ F ′ ( x ) d x = F ( x ) + C 或 ∫ d F ( x ) d x = F ( x ) + C \int F'(x) \, dx=F(x)+C或 \int dF(x) \, dx=F(x)+C ∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)dx=F(x)+C
k为与积分变量无关的常数或变量(非零)
- 当 k = 0 k=0 k=0时， ∫ k f ( x ) d x = ∫ 0 f ( x ) d x = C \int kf(x) \, dx=\int 0f(x) \, dx=C ∫kf(x)dx=∫0f(x)dx=C，而 k ∫ f ( x ) d x = 0 ⋅ [ F ( x ) + C ] = 0 k\int f(x) \, dx=0\cdot[F(x)+C]=0 k∫f(x)dx=0⋅[F(x)+C]=0，两边是不相等的
- 不定积分满足线性性质
方法
公式法
∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C ( a ≠ − 1 ) \int x^{a} \, dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C(a\ne-1) ∫xadx=a+11xa+1+C(a=−1)
∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x} \, dx=\ln|x|+C ∫x1dx=ln∣x∣+C
∫ a x d x = 1 ln a a x + C ( a > 0 且 a ≠ 1 ) \int a^{x} \, dx=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C(a>0且a\ne 1) ∫axdx=lna1ax+C(a>0且a=1)
∫ e x d x = e x + C \int e^{x} \, dx=e^{x}+C ∫exdx=ex+C
∫ cos x d x = sin x + C \int \cos x \, dx=\sin x+C ∫cosxdx=sinx+C
∫ sin x d x = − cos x + C \int \sin x \, dx =-\cos x+C ∫sinxdx=−cosx+C
∫ sec 2 x d x = tan x + C \int \sec^2x \, dx=\tan x+C ∫sec2xdx=tanx+C
∫ csc 2 x d x = − cot x + C \int \csc^2x \, dx=-\cot x+C ∫csc2xdx=−cotx+C
∫ sec x tan x d x = sec x + C \int \sec x\tan x \, dx=\sec x+C ∫secxtanxdx=secx+C
∫ csc x cot x d x = − csc x + C \int \csc x\cot x \, dx=-\csc x+C ∫cscxcotxdx=−cscx+C
∫ 1 1 + x 2 d x = arctan x + C \int \frac{1}{1+x^{2}} \, dx=\arctan x+C ∫1+x21dx=arctanx+C
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C \int \frac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }} \, dx=\arcsin x+C ∫1−x2 1dx=arcsinx+C
第一换元积分法(凑微分)
设 f ( u ) f(u) f(u)有一个原函数 F ( u ) F(u) F(u)， u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)可导，
∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = ∫ f [ φ ( x ) ] d φ ( x ) = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F [ φ ( x ) ] + C \begin{array}{} \int f[\varphi(x)]\varphi'(x) \, dx=\int f[\varphi(x)] \, d\varphi(x)= \\ \int f(u) \, du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C \end{array} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C
理论依据： d φ ( x ) = φ ′ ( x ) d x d\varphi(x)=\varphi'(x)dx dφ(x)=φ′(x)dx（双向）
d ( x 2 ) = 2 x d x , d ( x 3 ) = 3 x 2 d x , d ln x = 1 x d x 2 x d x = d ( x 2 + C ) , 3 x 2 d x = d ( x 3 + C ) , 1 x d x = d ( ln x + C ) \begin{array}{} d(x^{2})=2xdx,d(x^{3})=3x^{2}dx,d\ln x=\frac{1}{x}dx \\ 2xdx=d(x^{2}+C),3x^{2}dx=d(x^{3}+C), \frac{1}{x}dx=d(\ln x+C) \end{array} d(x2)=2xdx,d(x3)=3x2dx,dlnx=x1dx2xdx=d(x2+C),3x2dx=d(x3+C),x1dx=d(lnx+C)
∫ e 2 2 x d x = ∫ e x 2 d x 2 = ∫ e t d t = e t + C = e 2 + C \int e^{2}2x \, dx=\int ex^{2} \, dx^{2} =\int e^{t} \, dt=e^{t}+C=e^{2}+C ∫e22xdx=∫ex2dx2=∫etdt=et+C=e2+C
∫ e x 2 + 1 2 x d x = ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = ∫ e t d t = e t + C = e x 2 + 1 + C \int e^{x^{2}+1}2x \, dx=\int e^{x^{2}+1} \, d(x^{2}+1)=\int e^{t} \, dt=e^{t}+C=e^{x^{2}+1}+C ∫ex2+12xdx=∫ex2+1d(x2+1)=∫etdt=et+C=ex2+1+C
例
∫ ( 7 x − 9 ) 99 d x = ∫ ( 7 x − 9 ) 99 1 7 ⋅ d ( 7 x − 9 ) = 1 7 ∫ t 99 d t = 1 7 ⋅ 1 100 ⋅ t 100 = 1 100 ( 7 x − 9 ) 100 + C \begin{array}{} \int (7x-9)^{99} \, dx \\ =\int (7x-9)^{99} \frac{\,1}{7}\cdot d(7x-9) \\ =\frac{1}{7}\int t^{99} \, dt \\ =\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{100} \cdot t^{100} \\ =\frac{1}{100} (7x-9)^{100}+C \end{array} ∫(7x−9)99dx=∫(7x−9)9971⋅d(7x−9)=71∫t99dt=71⋅1001⋅t100=1001(7x−9)100+C
d ( 7 x − 9 ) = 7 d x d(7x-9)=7dx d(7x−9)=7dx
d x = 1 7 d ( 7 x − 9 ) dx=\frac{1}{7}d(7x-9) dx=71d(7x−9)
- 第一换元积分法就是凑微分
- 何时使用凑微分是难点，关键是熟悉凑微分公式
- 把哪一项凑微分，原则是欺软怕硬，把容易积分的项凑微分
遇到分母三角函数偶次幂时，考虑弦化切割
常用的凑微分公式
arctan x + arctan 1 x = π 2 \arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} arctanx+arctanx1=2π
x d x = d ( 2 3 x 3 2 ) \sqrt{ x }dx=d\left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right) x dx=d(32x23)
d x x = 2 d x \frac{dx}{\sqrt{ x }}=2d\sqrt{ x } x dx=2dx
( ln x + 1 ) d x = d x ln x (\ln x+1)dx=dx\ln x (lnx+1)dx=dxlnx
ln x d x = d ( x ( ln x − 1 ) ) \ln xdx=d(x(\ln x-1)) lnxdx=d(x(lnx−1))
x ( ln x − 1 ) = d ln x x(\ln x-1)=d\ln x x(lnx−1)=dlnx
( x sec 2 x + tan x ) d x = d x tan x (x\sec^{2}x+\tan x)dx=dx\tan x (xsec2x+tanx)dx=dxtanx
( x + 1 ) e x d x = d x e x (x+1)e^{x}dx=dxe^{x} (x+1)exdx=dxex
∫ f ( x 3 2 ) x d x = 2 3 ∫ f ( x 3 2 ) d ( x 3 2 ) \int f\left( x^{\frac{3}{2}} \right)\sqrt{ x } \, dx=\frac{2}{3}\int f(x^{\frac{3}{2}}) \, d(x^{\frac{3}{2}}) ∫f(x23)x dx=32∫f(x23)d(x23)
∫ f ( x ) x d x = 2 ∫ f ( x ) d x \int \frac{f(\sqrt{ x })}{\sqrt{ x }} \, dx=2\int f(\sqrt{ x }) \, d\sqrt{ x } ∫x f(x )dx=2∫f(x )dx
∫ ( x ln x ) ( ln x + 1 ) d x = ∫ f ( x ln x ) d ( x ln x ) \int (x\ln x)(\ln x+1) \, dx=\int f(x\ln x) \, d(x\ln x) ∫(xlnx)(lnx+1)dx=∫f(xlnx)d(xlnx)
∫ f ( x ln x − x ) ln x d x = ∫ f ( x ln x − x ) d ( x ln x − x ) \int f(x\ln x-x)\ln x \, dx=\int f(x\ln x-x) \, d(x\ln x-x) ∫f(xlnx−x)lnxdx=∫f(xlnx−x)d(xlnx−x)
∫ f ( x tan x ) ( x sec 2 x + tan x ) d x = ∫ f ( x tan x ) d ( x tan x ) \int f(x\tan x)(x\sec^{2}x+\tan x) \, dx=\int f(x\tan x) \, d(x\tan x) ∫f(xtanx)(xsec2x+tanx)dx=∫f(xtanx)d(xtanx)
∫ f ( x e x ) ( x e x + e x ) d x = ∫ f ( x e x ) d ( x e x ) \int f(xe^{x})(xe^{x}+e^{x}) \, dx=\int f(xe^{x}) \, d(xe^{x}) ∫f(xex)(xex+ex)dx=∫f(xex)d(xex)
第二换元积分法(三角换元)
a x + b \sqrt{ ax+b } ax+b ， t = a x + b t=\sqrt{ ax+b } t=ax+b
a 2 − x 2 \sqrt{ a^{2}-x^{2} } a2−x2 ， x = a sin t x=a\sin t x=asint
1 + tan 2 x = sec 2 x 1+\tan^{2}x=\sec^{2}x 1+tan2x=sec2x
sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin ^{2}x+\cos^{2}x=1 sin2x+cos2x=1
sec 2 x − 1 = tan 2 x \sec^{2}x-1=\tan^{2}x sec2x−1=tan2x
x 2 − a 2 \sqrt{ x^{2}-a^{2} } x2−a2 ， x = a sec t x=a\sec t x=asect
a 2 + x 2 \sqrt{ a^{2}+x^{2} } a2+x2 ， x = a tan t x=a\tan t x=atant
分部积分法
分部积分公式
∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int uv' \, dx=uv-\int u'v \, dx ∫uv′dx=uv−∫u′vdx
或
∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u \, dv=uv-\int v \, du ∫udv=uv−∫vdu
让幂函数去求导，变成常数1
∫ sin 2 x d x = ∫ 1 − cos 2 x 2 d x = 1 2 x − sin 2 x 4 + C \int \sin^{2}x \, dx=\int \frac{1-\cos2x}{2} \, dx= \frac{1}{2}x-\frac{\sin2x}{4}+C ∫sin2xdx=∫21−cos2xdx=21x−4sin2x+C
ln x \ln x lnx和 arctan x \arctan x arctanx求完导之后都是幂函数
有时候需要凑1来积分，或者使用省略的公式
u ( x ) u(x) u(x)的选取原则， 反、对 > 幂 > 指、三 反、对>幂>指、三 反、对>幂>指、三
( 1 1 − x ) ′ = 1 ( 1 − x ) 2 \left( \frac{1}{1-x} \right)'= \frac{1}{(1-x)^{2}} (1−x1)′=(1−x)21
∫ x 1 − x 2 d x = − 1 − x 2 + C \int \frac{x}{\sqrt{ 1-x^{2} }} \, dx=-\sqrt{ 1-x^{2} }+C ∫1−x2 xdx=−1−x2 +C
常考题型
有理函数的积分
有理函数
形如 P n ( x ) Q m ( x ) \frac{Pn(x)}{Qm(x)} Qm(x)Pn(x)的分式称为有理函数，其中 P n ( x ) Pn(x) Pn(x)为 n n n次多项式， Q m ( x ) Qm(x) Qm(x)为 m m m次多项式
有理函数积分计算的基本思想是拆分
待定系数法
拆分的方法大致分成三种
- 分母形如 ( x + a ) f ( x ) (x+a)f(x) (x+a)f(x)，则对应拆出一项 A x + a \frac{A}{x+a} x+aA
- 分母形如 ( x + a ) 2 f ( x ) (x+a)^{2}f(x) (x+a)2f(x)，则对应拆出两项 A x + a + B ( x + a ) 2 \frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^{2}} x+aA+(x+a)2B
- 分母形如 ( x 2 + a x + b ) f ( x ) (x^{2}+ax+b)f(x) (x2+ax+b)f(x)，则对应拆出一项 A x + B x 2 + a x + b \frac{Ax+B}{x^{2}+ax+b} x2+ax+bAx+B， x 2 + a x + b x^{2}+ax+b x2+ax+b为无实根的二次多项式
拆成一次项，二次项
特殊值求系数
裂项
若分子可拆分为分母的两项的和或差，可直接裂项
当两项次数不同时，可考虑分子分母同时乘以 x x x
可化为有理函数的积分
1. 三角有理式
三角有理式，将有理函数中的 x x x换为三角函数，即三角有理式
降幂公式
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x \begin{array}{} \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x \\ =2\cos^{2}x-1 \\ =1-2\sin^{2}x \end{array} cos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x
sin 2 x = 2 sin x cos x \sin 2x=2\sin x\cos x sin2x=2sinxcosx
是偶数次的三角有理式，用降幂，二倍角公式
是奇数次的三角有理式，拆出一个凑微，剩下的用诱导公式
∫ sin n x cos m x d x \int \sin^{n}x\cos^{m}x \, dx ∫sinnxcosmxdx
- n和m均为偶数，用倍角公式进行降幂化简被积函数后再积分
- n，m中至少有一个为奇数，则将奇次幂因子拆出一个一次幂因子并与 d x dx dx凑微分，剩下的偶次幂因子用诱导公式转化为同一种三角函数
sin x = − d cos x \sin x=-d\cos x sinx=−dcosx
cos x d x = d sin x \cos xdx=d\sin x cosxdx=dsinx - 没有奇数次幂，可以分子分母同乘，创造一个奇数次幂
∫ sin n x cos m x d x \int \frac{\sin^{n}x}{\cos^{m}x} \, dx ∫cosmxsinnxdx - 分母是两项，分母不能提奇数次幂因子的话，把分子拆成分母和分母的导数的线性组合
∫ c sin x + d cos x a sin x + b cos x d x \int \frac{c\sin x+d\cos x}{a\sin x+b\cos x} \, dx ∫asinx+bcosxcsinx+dcosxdx - 万能公式
t = tan x 2 t=\tan \frac{x}{2} t=tan2x
sin x = 2 t 1 + t 2 \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}} sinx=1+t22t
cos x = 1 − t 2 1 + t 2 \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} cosx=1+t21−t2
2. 指数有理式
仅含有指数函数 a x a^{x} ax的不定积分，直接令 t = a x t=a^{x} t=ax，可将其化成有理式函数的不定积分
只要遇到指数，就用t代换
如果有多个指数，就让t等于底数最小的
3. 根式
令t等于根式，再反解x
- 如果根号下为一次函数 a x + b \sqrt{ ax+b } ax+b ，则直接令整个根式为 t t t
- 如果根号下为二次函数，则利用三角代换
a 2 − x 2 ，令 x = a sin t \sqrt{ a^{2}-x^{2} }，令x=a\sin t a2−x2 ，令x=asint
a 2 + x 2 ，令 x = a tan t \sqrt{ a^{2}+x^{2} }，令x=a\tan t a2+x2 ，令x=atant
x 2 − a 2 ，令 x = a sec t \sqrt{ x^{2}-a^{2} }，令x=a\sec t x2−a2 ，令x=asect - 如果根号下为普通的二次函数(含一次项)，则先对其配方，再作对应的三角代换
∫ 1 x 2 ± a 2 d x = ln ∣ x ± x 2 ± a 2 ∣ + C \int \frac{1}{\sqrt{ x^{2} \pm a^{2} }} \, dx=\ln|x\pm \sqrt{ x^{2}\pm a^{2} }|+C ∫x2±a2 1dx=ln∣x±x2±a2 ∣+C
分部积分法的使用
变量代换法可以结合分部积分法进行使用，对于代换进 d x dx dx里的 d φ ( t ) d\varphi(t) dφ(t)，可以不将其计算出来，直接进行分部积分
遇到反三角函数，可以考虑先换个元，进而转换成三角函数，令 t = arcsin x t=\arcsin x t=arcsinx
公式
1 sin x = csc x , cos x sin x = cot x , ( csc x ) ′ = − csc x cot x , sin 2 x + cos 2 x = 1 \frac{1}{\sin x}=\csc x,\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x,(\csc x)'=-\csc x\cot x,\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 sinx1=cscx,sinxcosx=cotx,(cscx)′=−cscxcotx,sin2x+cos2x=1
( tan x ) ′ = sec 2 x , tan x = sin x cos x , ( cos x ) ′ = − sin x , ( − sin x ) d x = d cos x (\tan x)'=\sec^{2}x,\tan x= \frac{\sin x}{\cos x},(\cos x)'=-\sin x,(-\sin x)dx=d\cos x (tanx)′=sec2x,tanx=cosxsinx,(cosx)′=−sinx,(−sinx)dx=dcosx
( cot x ) ′ = − csc 2 x , ( ln sin x ) ′ = cos x sin x , 1 + cot 2 x = csc 2 x (\cot x)'=-\csc^{2}x,(\ln \sin x)'=\frac{\cos x}{\sin x},1+\cot^{2}x=\csc^{2}x (cotx)′=−csc2x,(lnsinx)′=sinxcosx,1+cot2x=csc2x
遇到 ∫ e t d t 2 − b a \int e^{t} \, d \frac{t^{2}-b}{a} ∫etdat2−b，化成 ∫ e t 2 a t d t \int e^{t} \frac{2}{a}t \, dt ∫eta2tdt再用分部
d x = 1 2 x d\sqrt{ x }=\frac{1}{2\sqrt{ x }} dx =2x 1
∫ e x sin x d x = e x 2 ( sin x − cos x ) + C \int e^{x}\sin x \, dx=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C ∫exsinxdx=2ex(sinx−cosx)+C
∫ e x cos x d x = e x 2 ( cos x + sin x ) + C \int e^{x}\cos x \, dx=\frac{e^{x}}{2}(\cos x+\sin x)+C ∫excosxdx=2ex(cosx+sinx)+C
使用不定积分的关键是先将积分式 ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x \int u(x)v'(x) \, dx ∫u(x)v′(x)dx中的 v ′ ( x ) d x v'(x)dx v′(x)dx的部分凑成 d v ( x ) dv(x) dv(x)，相当于要计算 v ′ ( x ) v'(x) v′(x)的一个原函数，这个积分的计算通过一次凑微可得
若遇到 ∫ e a x + b d x \int e^{\sqrt{ ax+b } }\, dx ∫eax+b dx或 ∫ sin a x + b d x \int \sin\sqrt{ ax+b } \, dx ∫sinax+b dx或 ∫ c o a a x + b d x \int coa\sqrt{ ax+b } \, dx ∫coaax+b dx
令 a x + b = t \sqrt{ ax+b }=t ax+b =t，微分要计算(求导)
若遇到 ∫ arctan a x + b d x \int \arctan \sqrt{ ax+b }\, dx ∫arctanax+b dx或 ∫ arcsin a x + b d x \int \arcsin \sqrt{ ax+b } \, dx ∫arcsinax+b dx或 ∫ ln ( C + a x + b ) d x \int \ln(C+\sqrt{ ax+b }) \, dx ∫ln(C+ax+b )dx
令 a x + b = t \sqrt{ ax+b }=t ax+b =t，微分不必计算，直接用分部积分
若遇到 a x + b c x + d \sqrt{ \frac{ax+b}{cx+d} } cx+dax+b 则令整个根式等于t，反解出x即可，一般要结合分部积分法
分部法除了和换元结合还和乘法公式结合
∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C \int f'(x) \, dx=f(x)+C ∫f′(x)dx=f(x)+C
除法公式，乘法公式或可以两项相消的
如果发现一个不定积分是有两项构成的，其中一项根本没法积，就可以考虑利用公式，也可以用分部积分法