【C++】---AVL树详解

伤心男孩拯救世界（Code King）2024-08-12 18:15

【C++】---AVL树详解

一、AVL树的概念

1、二叉搜索树的缺点

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

2、AVL树的概念

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 (需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度 。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。

二、AVL树的定义

由于要实现AVL树的增删改查，所以定义AVL树的节点，就需要定义parent，否则插入节点时，不知道要链接到树里面哪个节点下面。

1、AVL树的节点定义（以key_value模型为例）

cpp 复制代码 
template <class K ,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;// 结点
	int _bf ; // 平衡因子
// 构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{

	}
};

2、AVL树的定义

cpp 复制代码 
template<class K,class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
		//构造函数
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}
 
	void _Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Destroy(root->_left);
		_Destroy(root->_right);
 
		delete root;
	}
 
    //重载operator[]
	V& operator[](const K& key)
	{
		pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));
		return ret.first->_kv.second;
	}
 
	//析构函数
	~AVLTree()
	{
		_Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}
 
private:
	Node* _root;
};

三、AVL树的插入

1、插入节点

（1）插入的时候首先要判断特殊情况，如果这个树为空，我们就要这个插入的节点当做树的根。

（2）如果树不为空，分为以下三种情况：

  1. 插入的kv.first比cur的大，kv往右走
  2. 插入的kv.first比cur的小，kv往左走
  3. 相等，插入失败 （因为 二叉搜索树不允许数据冗余）
cpp 复制代码 
	// insert插入
	bool insert(const pair<K, V> kv)
	{
		//1. 处理特殊情况
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;// 用cur来遍历整个树
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		// 走到此处 说明cur走到要插入的位置了
		cur = new Node(kv);
		// 这就是要保存cur的parent的原因 便于插入后的双向链接
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;// 双向链接
	}

2、控制平衡

（1）更新平衡因子

一个节点的平衡因子是否需要更新，取决于它的左右子树的高度是否发生变化。插入一个节点，如果它的父亲的平衡因子需要更新，那么它所在这条路径的从父亲到根的所有节点的平衡因子都需要更新。因此

①如果新增节点是父亲的左子树，那么parent->_bf--

②如果新增节点是父亲的右子树，那么parent->_bf++

更新后：

    a.如果parent->_bf=0，则停止更新

    b.如果parent->_bf==1||-1，需要继续往上更新（说明以parent为根的子树高度变了，由0变成了1或-1，有可能导致parent的parent的平衡因子=2或=-2）

    c.如果parent->_bf=2||-2已经不平衡了，那么需要旋转处理
cpp 复制代码 
		// 更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 左单旋
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					LS_rotation(parent);
				}
				// 右单旋
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RS_rotation(parent);
				}
				// 右左双旋
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					/*RS_rotation(parent->_right);
					LS_rotation(parent);*/

					RL_rotation(parent);
				}
				// 左右双旋
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					/*LS_rotation(parent->_left);
					RS_rotation(parent);*/
					LR_rotation(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;

（2）旋转

旋转处理有4种：右单旋、左单旋、右左单旋、左右单旋

注意：目前以平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度 为标准

①右单旋

右单旋顾名思义就是根的左子树高度太高了，需要往右边旋转。

右单旋还有一个特征就是父亲的平衡因子为-2，父亲的左孩子的平衡因子为-1

cpp 复制代码 
	// 右单旋
	else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
	{
		RS_rotation(parent);
	}


右单旋 的 代码块：

cpp 复制代码 
// 右单旋
	void RS_rotation(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		//
		parent->_left = subLR;
		//
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//
		subL->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		//
		if (parent == _root)
		{
			subL = _root;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}
②左单旋

左单旋顾名思义就是根的右子树高度太高了，需要往左边旋转。

左单旋还有一个特征就是父亲的平衡因子为2，父亲的右孩子的平衡因子为1

cpp 复制代码 
// 左单旋
	if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
	{
		LS_rotation(parent);
	}


左单旋 代码：

cpp 复制代码 
// 左单旋
	void LS_rotation(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		//
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		//
		subR->_left = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		//
		if (parent == _root)
		{
			subR = _root;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
③左右单旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋 再右单旋

cpp 复制代码 
// 左右双旋
	else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
	{
		/*LS_rotation(parent->_left);
		RS_rotation(parent);*/
		LR_rotation(parent);
	}



cpp 复制代码 
// 左右双旋 ： 最主要的是 更新平衡因子
	void LR_rotation(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		// 我们以 subLR 的平衡因子为标准：有三种情况
		// 1、如果在subLR的左边插入 那么最后旋转的结果 ：insert的这个subL的右边！
		// 2、如果在subLR的右边插入 那么最后旋转的结果 ：insert的这个parent的左边！

		// 3、subLR本身就是自增！

		int bf = subLR->_bf;

		// 旋转
		LS_rotation(parent->_left);
		RS_rotation(parent);
		// 更新平衡因子
		// (1)在subLR的左边插入：bf==-1
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}

		// (2)在subLR的右边插入：bf==1
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		// (3)subLR 是自增! bf==0
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}

		else
		{
			assert(false);
		}
	}
④右左单旋

新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋 再左单旋

cpp 复制代码 
// 右左双旋
	else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
	{
		/*RS_rotation(parent->_right);
		LS_rotation(parent);*/

		RL_rotation(parent);
	}


cpp 复制代码 
// 右左双旋 ： 最主要的是 更新平衡因子
	void RL_rotation(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		//
		int bf = subRL->_bf;

		RS_rotation(parent->_right);
		LS_rotation(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);

		}

	}

（3）完整 四个旋转的详细图如下：




（4）完整 更新平衡因子（规律）图解如下：





四、AVL树的查找

查找比较简单：

（1）如果key比当前节点大，那就继续向右查找；

（2）如果key比当前节点小，那就继续向左查找；

（3）如果key恰好等于当前节点，找到了

cpp 复制代码 
// find函数
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (key < cur->_kv.first)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_kv.first)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

五、AVL树的高度

计算树高度肯定要递归计算：

（1）计算左右子树的高度

（2）谁的高度大，那AVL树的高度就为较高子树的高度+1

cpp 复制代码 
int _Hight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		return max(_Hight(root->_left), _Hight(root->_right)) + 1;
	}

六、判断是否为AVL树（即：判断是否平衡）

检查树是否是AVL树：

（1）获取左右子树高度

（2）根据左右子树高度计算平衡因子

（3）当平衡因子<=2 || -2时就是平衡的

cpp 复制代码 
bool _Is_Blance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int _leftHight = _Hight(root->_left);
		int _rightHight = _Hight(root->_right);
		// 不平衡
		if (abs(_leftHight- _rightHight) >= 2)
		{
			return false;
		}

		// 顺变检查一下 平衡因子是否正确！
		if ((_rightHight - _leftHight) != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		return _Is_Blance(root->_left)
			&& _Is_Blance(root->_right);
	}

七、AVL树的遍历

遍历也很简单：递归遍历左子树和右子树即可

cpp 复制代码 
// 中序遍历：
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}


// 中序遍历 写在私有上面
	void _InOrder(const Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

八、时间复杂度

AVL树的操作时，需要找到位置，因此时间复杂度为高度次 ，时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。

相关推荐
誓约酱3 分钟前
(动画)Qt控件 QLCDNumer
开发语言·c++·git·qt·编辑器
夫琅禾费米线3 分钟前
leetcode2650. 设计可取消函数 generator和Promise
开发语言·javascript·leetcode·ecmascript
@小博的博客14 分钟前
C++初阶学习第十三弹——容器适配器和优先级队列的概念
开发语言·数据结构·c++·学习
Dola_Pan17 分钟前
C语言：函数指针精讲
c语言·开发语言
离歌漠18 分钟前
C#调用C++ DLL方法之P/Invoke
c++·c#·p/invoke
尘浮生18 分钟前
Java项目实战II基于SpringBoot的共享单车管理系统开发文档+数据库+源码）
java·开发语言·数据库·spring boot·后端·微信小程序·小程序
xiaowu08018 分钟前
MFC线程-通过CWinThread派生类实现
c++·mfc
兵哥工控26 分钟前
MFC工控项目实例三十一模拟量转化为工程量
c++·mfc
凤枭香31 分钟前
Python Scikit-learn简介
开发语言·python·机器学习·scikit-learn
ThetaarSofVenice34 分钟前
Java从入门到放弃 之 泛型
java·开发语言
热门推荐
01【音视频 | opus】opus编解码库(opus-1.4)详细介绍以及使用——附带解码示例代码02PyTorch机器学习实现液态神经网络03【HarmonyOS】HUAWEI DevEco Studio 下载地址汇总04ICLR24大模型提示(1/11) | BadChain：大型语言模型的后门思维链提示05Coze扣子平台完整体验和实践（附国内和国际版对比）06(欧拉)openEuler系统添加网卡文件配置流程、(欧拉)openEuler系统手动配置ipv6地址流程、(欧拉)openEuler系统网络管理说明07优化手机性能，解决卡顿问题：关闭这3个微信开关，释放内存空间08玄机平台应急响应—webshell查杀09RAG 实践- Ollama+RagFlow 部署本地知识库10IT专业入门，高考假期预习指南