目录
[一. 空间分集（space diversity）](#一. 空间分集（space diversity）)
[二. 系统模型](#二. 系统模型)
[三. 尝试性译码](#三. 尝试性译码)
[3.1 选择性合并算法（selection combining）](#3.1 选择性合并算法（selection combining）)
[3.2 简单相加](#3.2 简单相加)
[四. 最大比合并算法](#四. 最大比合并算法)
[4.1 合并信号](#4.1 合并信号)
[4.2 设计权重值w](#4.2 设计权重值w)
[五. 波束赋形](#五. 波束赋形)
[5.1 小结](#5.1 小结)
[5.2 与波束赋形的关系](#5.2 与波束赋形的关系)
[六. 译码](#六. 译码)
[七. 写在最后](#七. 写在最后)
一. 空间分集（space diversity）
在接收端实现空间分集最常见有两种：一个叫选择性合并（selection combining）；另一个就是本文的主题叫最大比合并。
其实最大比合并算法可以看成在接收端实现波束赋形（generalized beamforming）。
二. 系统模型
假定某个无线系统有一根发射天线（Tx），两根接收天线（Rx）.发送端射出数据s。当然这个数据需要进行调制，比如QAM调制（Quadrature Amplitude Modulation）。
来看一个例图。
我们仅仅考虑一个时隙。
那么很明显第一根天线会收到r1,第二根天线会收到r2。发射天线与第一根天线之间为平坦衰落的信道增益h1，同理，发射天线与第二根天线之间为平坦衰落的信道增益h2.
由此接收端Rx会受到两个信号，如下等式：
上式子中h1和h2为信道增益（channel gain），通常会被建模为复数高斯分布。
三. 尝试性译码
3.1 选择性合并算法（selection combining）
选择性合并算法的流程如下：
第一步：探测到达每根天线的信号功率
第二步：选择信噪比（SNR）最高的天线
第三步：译码
从以上步骤可以看出，选择性合并算法抛弃了低信号能量的天线，这很浪费。
3.2 简单相加
如果把所有天线的信号都加在一起会怎么样？
首先，信道增益h1和h2都服从复高斯分布。如果写成极坐标的形式，那么h1和h2的模长（magnitude）就服从瑞丽分布（Rayleigh），相位（phase）在0到2π之间服从均匀分布。简单加在一起是没有任何意义的，所有的东西包括噪声都被扩大两倍，每个东西都被平均掉了。
四. 最大比合并算法
4.1 合并信号
我们可以尝试对接收到的信号r1和r2进行线性组合。
首先对r1乘以权重值w1.接着对r2乘以权重值w2.最后相加在一起，可得：
一般化，如果接收天线数是NR根的话，那么合并后的信号可以综合性写为：
需要注意的是，上面式子中的wi也都是复数。并且在设计算法时要求该复数不会放大噪声。
其实这个式子就有点波束赋形的味道了。
4.2 设计权重值w
信道增益h和权重因子w都有两大要素，第一个是模长，第二个是相位。回忆起极坐标的运算，相乘时，模长是直接相乘：
相位是相加：
也就是可以得到：
站在接收者的角度，怎么样设计权重因子对我们更有利呢？
首先，接收者通过信道估计过程（借助训练序列或者周期性的导频符号）可以得到信道增益h的值。
可以设计权重因子w来抵消相位的偏移。
换句话说，权重因子w的相位恰好与信道增益的相位相反。那么此时，合并后的信号则变为：
很明显，此时式子就简单多了。
抵消相位可以看一个简单的极坐标图：
接下来我们可以考虑权重因子的模长了。
如果不做任何改变，让权重因子的模长就是简单的1，那么这个方案也被称之为相等增益合并算法（equal gain combining）。
很明显，这个方法不是最优的。
我们希望信噪比SNR较优的天线能占比更大一些，也就是给予更多的权重。
怎么实现？
可以让权重因子与信道增益同样模长。也就是：
这个过程可以简单看如下图：
简单总结就是两者互为共轭复数，也就是：
那么原来的合并信号则可以化简为：
观察这个表达式，这不就是广义的波束赋形嘛，只不过是在接收端实现的。
在信号处理决策中，最大比合并算法是最优的，很好的实现了分集增益效果。
五. 波束赋形
5.1 小结
共轭复数（complex conjugate）是相位相反，模长相等。
最优的权重因子wj其实就是信道增益hj的共轭复数，如下：
当然，在实际应用中要实现功率归一化（power normalization），也就是保证系数平方和为1.那么每个因子的前面还要乘以如下标量：
5.2 与波束赋形的关系
物理层波束赋形中也利用了共轭复数的思想。但两者之间还是有细微的区别。
在经典的波束赋形场景中，权重wi的共轭性质是相对于到达波的角度来讲的。以此来保证波束朝着特定的方向传输。
在最大比合并算法中，权重因子wj的共轭性质是根据整个平坦衰落的信道增益hj来选择的。在接收端，这便出现了分集（diversity）的思想。
六. 译码
根据权重因子wj的选择，现在待解调（demodulation）的信号为：
备注：如上图，一根发射天线，两根接收天线
复数乘以其共轭复数即为模的平方。
因为噪声值通常很小，可以暂时忽略。那么最后译码出的信号为：
当然，也可以从图形的方式来理解如何译码一个带噪声的信号。
举一个16-QAM的例子。
图中五角星代表16-QAM中的星座点。蓝色小球代表带噪声的信号。黄色的五角星代表最近的星座点。
因为噪声是服从均值为0的高斯分布。所以，离其最近距离的星座点就是最后解调的信号。
七. 写在最后
内容与图片参考自书籍《Wireless Communications From the Ground Up》。