MATLAB进阶：应用微积分

zzz小张同学2024-08-31 11:07

今天我们继续学习matlab中的应用微积分

求导（微分）

1、数值微分

n维向量x=(xi，x,... x)的差分定义为n-1维向量△x=(X2-X1，X3-X2，...，Xn- Xn-1)。

diff(x)

如果x是向量，返回向量x的差分如果x是矩阵，则按各列作差分。

diff(x,k)

k阶差分，即差分k次。

原理：

函数f(x)在点x= xo的导数为：

代码为：

复制代码

clear;
定义x,y
x=[1 1.1 1.2 1.3]; y=x.^3;
标准答案
3*x.^2
ans =
3.0000 3.6300 4.3200 5.0700
差分做法
dy=diff(y)/diff(x)

dy =
3.3100 3.9700 4.6900

我们看出差分法做导数求近似解的误差较大，是因为原式中△x是无限趋近于0的。

而此差分法的精度仅为0.1，故误差较大，在一般求导过程中，我们不会使用此方法，而是使用matlab中其他内置函数。

2、数值梯度微分

Fx=gradient(F,x)

返回向量F表示的一元函数沿x方向的导函数F'(x).其中x是与F同维数的向量.

$Fx,Fy$ =gradient(F,x,y)

返回矩阵F表示的二元函数的数值梯度(F' x,F'y),当F为m*n矩阵时,x,y分别为n维和m维的向量。

代码为：

Matlab 复制代码

clear;
定义x,y
x=[1 1.1 1.2 1.3]; y=x.^3;
标准答案
3*x.^2
ans =
3.0000 3.6300 4.3200 5.0700

数值梯度做法
dy = gradient(y, x); % 使用 x 作为间距

dy =
3.3100  3.6400  4.3300  4.6900

可以看到，gradient(F,x)函数两端与标准答案比起来是有一定误差的，但是在函数体中间误差并没有很大。所以我们可以用这个函数来近似的求原函数的导数。

求积分

1、梯形积分法

z=trapz(x,y)

返回积分的近似值，其中x表示积分区间的离散化向量; y是与x同维数的向量,表示被积函数。

原理如图：

即：取函数上若干点作为基准点，将图像切割成若干梯形后面积求解。

但是此种解法只能用来求近似解，求得的解误差较大。

如：

Matlab 复制代码

clear; 
x=-1:0.1:1;
y=exp(-x.^2);
trapz(x,y)

2、高精度积分法

z=integral (Fun,a,b)

fun 是被积函数，可以是函数句柄、匿名函数或内联函数。
a 和 b 是积分的下限和上限。
z 是积分的结果。

此函数简单易用，不再过多解释。

今天就到这里明天我们继续学习