伽罗华域GF的简单计算

伽罗华域(Galois Field),也称为有限域,是一个包含有限个元素的代数结构,满足加法、减法、乘法和除法(除以零除外)运算。伽罗华域在编码理论、密码学、数字信号处理等领域有广泛的应用。它以法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华(Évariste Galois)的名字命名。

伽罗华域的基本概念

  1. 定义

    • 伽罗华域是一个有限的集合,包含有限个元素,并且在该集合上定义了加法和乘法运算,这些运算满足封闭性、结合性、分配性、存在单位元和逆元等性质。
  2. 符号表示

    • 伽罗华域通常用 GF(q) 表示,其中 q 是域中元素的数量。特别地,当 q 是一个素数的幂时,伽罗华域的元素数量为 q = p^n,其中 p 是一个素数,n$是一个正整数。
  3. 基本性质

    • 封闭性:对任意两个元素进行加法或乘法运算,结果仍然在域内。
    • 结合性:加法和乘法运算满足结合律。
    • 分配性:乘法对加法满足分配律。
    • 单位元:存在加法单位元(0)和乘法单位元(1)。
    • 逆元:每个元素都有加法逆元和乘法逆元(除零外)。

常见的伽罗华域

  1. GF(2)

    • 最简单的伽罗华域,包含两个元素:0 和 1。
    • 加法和乘法运算如下:
      • 加法:0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0(按位异或运算)
      • 乘法:0 × 0 = 0, 0 × 1 = 0, 1 × 0 = 0, 1 × 1 = 1
  2. GF(p)

    • 包含 p 个元素,其中 p 是一个素数。
    • 加法和乘法运算在模 p 意义下进行。
  3. GF(2^n)

    • 包含 2^n 个元素,常用于编码理论和密码学。
    • 元素可以表示为 n 位二进制数,运算通过特定的多项式进行模运算。

应用领域

  1. 编码理论

    • Reed-Solomon 编码:用于数据存储和传输中的错误检测和纠正。
    • BCH 编码:用于通信系统中的错误检测和纠正。
  2. 密码学

    • AES(高级加密标准):AES 加密算法使用 GF(256) 进行字节级的加密操作。
    • 公钥密码系统:如椭圆曲线密码学(ECC)等。
  3. 数字信号处理

    • 在数字信号处理和图像处理领域,伽罗华域用于数据压缩和纠错编码。

伽罗华域中的加减法

下面都以最常见的GF(256)举例

在有限域GF(256)中,加法和减法运算实际上是相同的,因为它们都可以通过按位异或(XOR)运算来实现。这是因为在二进制有限域中,异或运算具有自反性,即

加法运算 在GF(256)中,加法运算是按位异或(XOR)运算。给定两个元素a和b,以及他们的和c

计算如下

其中,

代表按位异或

进行二进制的按位异或

所以在GF(256)中

(10101010)170 + (11001100)204 = (01100110)102

而减法是完全相同的, 故在GF中 a+b = a - b

伽罗华域的乘法

乘法计算更加复杂一些, 乘法计算需要将进行乘法的元素转化成一个多项式

例如,给定元素a和b,和他们的乘积c

a,b,c可以转化成多项式a(x), b(x),c(x)

进行成算之后必定会超过有限域的最大值,故需要选定一个大于有限域的素数,对齐取模计算,这个素数也可以表示为一个多项式, 我们称为不可约多项式,这里GF(256)要取一个素数最常见的就是:

我们在计算乘法的时候就可以表示为:

这里的多项式怎么展开呢,例如a = 0x57, 转化成二进制则为01010111

假设b = 0x83,转换成二进制1000 0011 则也可以按位进行多项式展开:

计算c(x):

(下面还没理解透,先留个坑 T_T)

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