伽罗华域(Galois Field),也称为有限域,是一个包含有限个元素的代数结构,满足加法、减法、乘法和除法(除以零除外)运算。伽罗华域在编码理论、密码学、数字信号处理等领域有广泛的应用。它以法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华(Évariste Galois)的名字命名。
伽罗华域的基本概念
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定义:
- 伽罗华域是一个有限的集合,包含有限个元素,并且在该集合上定义了加法和乘法运算,这些运算满足封闭性、结合性、分配性、存在单位元和逆元等性质。
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符号表示:
- 伽罗华域通常用 GF(q) 表示,其中 q 是域中元素的数量。特别地,当 q 是一个素数的幂时,伽罗华域的元素数量为 q = p^n,其中 p 是一个素数,n$是一个正整数。
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基本性质:
- 封闭性:对任意两个元素进行加法或乘法运算,结果仍然在域内。
- 结合性:加法和乘法运算满足结合律。
- 分配性:乘法对加法满足分配律。
- 单位元:存在加法单位元(0)和乘法单位元(1)。
- 逆元:每个元素都有加法逆元和乘法逆元(除零外)。
常见的伽罗华域
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GF(2):
- 最简单的伽罗华域,包含两个元素:0 和 1。
- 加法和乘法运算如下:
- 加法:0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0(按位异或运算)
- 乘法:0 × 0 = 0, 0 × 1 = 0, 1 × 0 = 0, 1 × 1 = 1
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GF(p):
- 包含 p 个元素,其中 p 是一个素数。
- 加法和乘法运算在模 p 意义下进行。
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GF(2^n):
- 包含 2^n 个元素,常用于编码理论和密码学。
- 元素可以表示为 n 位二进制数,运算通过特定的多项式进行模运算。
应用领域
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编码理论:
- Reed-Solomon 编码:用于数据存储和传输中的错误检测和纠正。
- BCH 编码:用于通信系统中的错误检测和纠正。
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密码学:
- AES(高级加密标准):AES 加密算法使用 GF(256) 进行字节级的加密操作。
- 公钥密码系统:如椭圆曲线密码学(ECC)等。
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数字信号处理:
- 在数字信号处理和图像处理领域,伽罗华域用于数据压缩和纠错编码。
伽罗华域中的加减法
下面都以最常见的GF(256)举例
在有限域GF(256)中,加法和减法运算实际上是相同的,因为它们都可以通过按位异或(XOR)运算来实现。这是因为在二进制有限域中,异或运算具有自反性,即
加法运算 在GF(256)中,加法运算是按位异或(XOR)运算。给定两个元素a和b,以及他们的和c
计算如下
其中,
代表按位异或
进行二进制的按位异或
所以在GF(256)中
(10101010)170 + (11001100)204 = (01100110)102
而减法是完全相同的, 故在GF中 a+b = a - b
伽罗华域的乘法
乘法计算更加复杂一些, 乘法计算需要将进行乘法的元素转化成一个多项式
例如,给定元素a和b,和他们的乘积c
a,b,c可以转化成多项式a(x), b(x),c(x)
进行成算之后必定会超过有限域的最大值,故需要选定一个大于有限域的素数,对齐取模计算,这个素数也可以表示为一个多项式, 我们称为不可约多项式,这里GF(256)要取一个素数最常见的就是:
我们在计算乘法的时候就可以表示为:
这里的多项式怎么展开呢,例如a = 0x57, 转化成二进制则为01010111
假设b = 0x83,转换成二进制1000 0011 则也可以按位进行多项式展开:
计算c(x):
(下面还没理解透,先留个坑 T_T)