多项式环及Rq的含义

多项式环是一个在抽象代数中非常重要的概念,它扩展了我们对多项式运算的理解。

前提:常见的数集 N,Z,R,Q,C -CSDN博客

什么是"环" (Ring)?

在数学中,一个"环"是一个集合,在这个集合上定义了两种二元运算,通常称为"加法"和"乘法",并且这些运算满足一些特定的性质,类似于整数的加法和乘法。 这些性质包括:

  • 加法:满足结合律、交换律,有加法单位元(零元),每个元素有加法逆元。

  • 乘法:满足结合律,有乘法单位元(幺元,如果是有单位元的环),但不一定满足交换律。

  • 分配律:乘法对加法满足分配律(a×(b+c)=a×b+a×c)。

最简单的例子就是整数集 Z,它在普通的加法和乘法下构成一个环。

什么是"多项式环" (Polynomial Ring)?

"多项式环"是环的一种特殊类型,它的元素是多项式。

如果 R 是一个环(例如,整数环 Z 或实数环 R),那么 R[x] 表示所有以 x 为变量,并且系数取自环 R 的多项式集合。在这个集合上,多项式的加法和乘法按照我们熟悉的规则定义。

例如,Z[x] 是所有系数为整数的多项式集合,如 。这些多项式在加法和乘法下构成一个多项式环。

例如,Z[x] 是所有系数为整数的多项式集合,如。这些多项式在加法和乘法下构成一个多项式环。

是什么意思?

总结:

是一个特殊的多项式环,它的特点是:

  • 系数:所有多项式的系数都在模 q 的意义下进行运算。

  • 多项式次数:所有多项式的次数都被限制在 n−1 及以下,因为任何 xn 都可以被替换为 −1。

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