完结篇:tarjan 求割点、点双连通分量、割边(桥)(附 40 道很好的 tarjan 题目)。
tarjan 求割点
还是求强联通分量的大致思路捏.
算法思路:
我们把图中的点分为两种: 每一个联通子图搜索开始的根节点 和 其他点。
判断是不是割点的方式如下:
-
对于根节点 :
记一下在跑 tarjan 过程中从这个点出发的未被搜索到的子节点的数量 \(child\),如果 \(child\ge 2\),那么这个点为割点,否则就不是割点;
- 证明(很简单,建议自己先想一想为什么或者手模个图,实在不懂再看证明):
设根节点为点 \(u\),如果 \(child\) 为 1 的话,说明根节点的不同子树上的点可以不经过点 \(u\) 而互相到达,也就是说即使删了 \(u\) 点,图中所有点照样可以互相到达,则 \(u\) 不为割点。反之,同样也易证得为割点。
-
对于其他点 :
判断一个点 \(u\) 有没有一个子节点 \(v\) 使得
low[v] >= dfn[u]
,若存在,则 \(u\) 为割点,否则不为割点。- 证明:
因为我们在无向图中跑 tarjan 时,已经特判父节点或边的编号来避免走"回头路"了(详见上文求边双部分),所以如果满足判断条件时,说明 \(v\) 通过返祖边只能到达 \(u\) 及其子树部分,并不能到达 \(u\) 的祖先节点,所以若 \(u\) 点删去,那么 \(v\) 点便与 \(u\) 以上部分断开了,此时显然 \(u\) 为割点。
会判断这两类点是不是割点之后就做完了,相信大家也知道该怎么求了。看代码吧!
算法代码:
相比于求边双部分增加了数组 cut[x]
来判断 \(x\) 是不是割点,若为 true 则 \(x\) 是割点,否则不是。
void tarjan(int x, int p){
low[x] = dfn[x] = ++th;
s[++top] = x; int child = 0;
for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]){
int y = to[i];
if(y == p) continue;
if(!dfn[y]){
tarjan(y, x);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if(low[y] >= dfn[x]){
child++;
if(p != 0 or child > 1) cut[x] = 1;
}
}
else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
为什么 p == 0
说明 \(x\) 为根节点呢,大家肯定知道啦!
因为主函数中是这么写的:
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i, 0);
tarjan 求点双连通分量
我该先写求点双好呢还是先写求割边好呢,这俩都是需要割点的相关知识的,啊选择困难症(
但是的但是,学会求割点之后那求点双(简称 BCC)就很简单啦 啦啦小魔仙,玛卡巴卡,卡巴露露,摇身变!
算法思路:
性质:无向连通图中割点一定属于至少两个BCC,非割点只属于一个BCC
如此图:2 号点是个割点,其他点则不是。有红、蓝两个 BCC。
有一条显然的结论:每个点双,它在 dfs 时最先被发现的点一定是割点或者 dfs 树的树根。
证明:这很显然吧?!根据割点的定义自己理解一下,不证明。算了,还是简单说一下吧:我们知道割点是 BCC 的交点,即 BCC 通过割点连接,从一个 BCC 到另一个 BCC 一定是从经过割点开始的,所以证得。
那么这条结论其实就等价于 每个 BCC 都在其最先被发现的点(一个割点或根节点)的子树中。那么我们在上文求割点方法基础上每找到一个割点(或根节点)后,其子树(包含自己)便是一个点双连通分量了。
实现:
我们还是维护一个栈,存点,每当搜索到一个点时就将该点入栈,找到割点(就是找到一个 BCC)时将栈顶到该割点所有元素依次出栈,(但注意:割点并不出栈,因为上文已说一个割点属于两个 BCC,它还需要来更新另一个 BCC,所以先不出栈,特判就行。)那么出栈的元素以及割点就是所求的点双了。
算法演示:
如上图中,我们以 1 为根开始搜索;
搜索到 2 节点时,继续递归 2 -> 3 -> 4;发现 \(low_4 = 2 < dfn_3\),那么 3 号点则不是割点,回溯;
而 \(low_3 = dfn_2\),所以 \(2\) 号点是割点,那么将此时栈中从栈顶到 \(2\) 号点所有元素出栈形成点双;
此时栈从栈尾到栈顶依次是:1,2,3,4。那么便是 2,3,4 构成一个点双(但 2 还在栈中)。
继续回溯到 2 -> 1;发现 1 号点是根节点,也将栈中元素出栈(这时 1 是根节点,所以 1 也出栈),那么 1,2 就又构成了一个点双。
算法代码:
void tarjan(int x, int p){
low[x] = dfn[x] = ++th;
s[++top] = x;
if(!p and !head[x]){ // 特判孤点
BCC[++bcc].emplace_back(x);
top--; return;
}
for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]){
int y = to[i];
if(y == p) continue;
if(!dfn[y]){
tarjan(y, x);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if(low[y] >= dfn[x] or !p){ //是割点或者根节点
++bcc;
do BCC[bcc].emplace_back(s[top]);
while(s[top--] != y);
BCC[bcc].emplace_back(x);
}
}
else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
例题:
【模板】点双连通分量
板子题练练手。注意这题需要判孤点情况。
tarjan 求割边(桥)
太简单啦!
和割点差不多,改一条:low[y] > dfn[x]
,并且不需要特判根节点了(因为 边 != 点)。
解释:(在判边保证不走回头路的条件下)\(low_y = dfn_x\) 时,说明不通过从 \(x -> y\) 这条路径, \(y\) 也照样可以回到 \(x\) 节点,那么就保证从 \(y\) 到 \(x\) 有两条路径可走了,所以 \(x->y\) 这条路不是割边。
那么完了!
算法代码:
cut[i] = true;
表示 \(i\) 这条路为割边。
void tarjan(int x, int p){
low[x] = dfn[x] = ++th;
s[++top] = x;
for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]){
int y = to[i];
if(y == p) continue;
if(!dfn[y]){
tarjan(y, x);
low[x] = min(low[x], low[y]);
if(low[y] > dfn[x]){
cut[i] = true;
}
}
else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
题目练习:
这有个很好的tarjan 题单,从模板到进阶,题都很好,推荐给大家。
所含题目如下
P1656 炸铁路
P1455 搭配购买
P3916 图的遍历
P2835 刻录光盘
P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易
P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S
P8436 【模板】边双连通分量
P8287 「DAOI R1」Flame
P2002 消息扩散
P2341 [USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎的牛 G
P3387 【模板】缩点
P3388 【模板】割点(割顶)
P8435 【模板】点双连通分量
P1407 [国家集训队]稳定婚姻
P2194 HXY烧情侣
P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools
P2812 校园网络【[USACO]Network of Schools加强版】
P2941 [USACO09FEB]Surround the Islands S
P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G
P3398 仓鼠找 sugar
P2169 正则表达式
P3627 [APIO2009] 抢掠计划
P2656 采蘑菇
P4306 [JSOI2010]连通数
P5676 [GZOI2017]小z玩游戏
P1656 炸铁路
P1455 搭配购买
P3916 图的遍历
P2835 刻录光盘
P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易
P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S
P8436 【模板】边双连通分量
P8287 「DAOI R1」Flame
P2002 消息扩散
P2341 [USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎的牛 G
P3387 【模板】缩点
P3388 【模板】割点(割顶)
P8435 【模板】点双连通分量
P1407 [国家集训队]稳定婚姻
P2194 HXY烧情侣
P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools
P2812 校园网络【[USACO]Network of Schools加强版】
P2941 [USACO09FEB]Surround the Islands S
P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G
P3398 仓鼠找 sugar
P1262 间谍网络
P4742 [Wind Festival]Running In The Sky
P8867 [NOIP2022] 建造军营
P3469 [POI2008]BLO-Blockade
P2515 [HAOI2010]软件安装
P5058 [ZJOI2004]嗅探器
P7687 [CEOI2005] Critical Network Lines
P7924 「EVOI-RD2」旅行家
P5236 【模板】静态仙人掌
P3225 [HNOI2012]矿场搭建
P4716 【模板】最小树形图
P4126 [AHOI2009]最小割
P6335 [COCI2007-2008#1] STAZA
P4637 [SHOI2011]扫雷机器人
P5236 【模板】静态仙人掌
P4716 【模板】最小树形图
P4436 [HNOI/AHOI2018]游戏
End
历时多天,终于把这两篇 tarjan 写完了。
tarjan 都学了,那下一章包得是圆方树的啦(
\(敬请期待......\)