尺取法(又称为双指针、Two Pointers)是算法竞赛中一个常)用的优化技巧,用来解决序列的区间问题,操作简单,容易编程。如果区间是单调的,也常常用二分法求解,所以很多问题用尺取法和二分法都行。另外,尺取法的操作过程和分治算法的步骤很相似,有时也用在分治中。
概念
什么是尺取法?为什么尺取法能用来优化?考虑下面的应用背景:
(1)给定一个序列,有时需要它是有序的,先排序;
(2)问题和序列的区间有关,且需要操作两个变量,可以用两个下标(指针)i和j扫描区间。
对于上面的应用,一般的做法是用i和j分别扫描区间,有二重循环,复杂度为O(n^2^)。
以反向扫描(即i与j的方向相反,后文有解释)为例,代码如下：
cpp
for(int i = 0; i<n; i++) //i从头扫到尾
for(intj=n-1; n-1; j>= 0; j-- ){ //j从尾扫到头
...
}
下面用尺取法优化上述算法。
实际上,尺取法就是把二重循环变为一个循环,在这个循环不中同时处理i和j。复杂度也就从O(n^2^)变为O(n)。仍以上面的反向扫描为例,代码如下:
cpp
//用while实现
int i = 0, j = n - 1;
while (i<j){
//i和j在中间相遇,这样做还能防止i和j越界
i++;//i从头扫到尾
j--;//j从尾扫到头
}
//用for实现
for(inti= 0, j=n-1;i<j;i++,j--){
//满足题意的操作
}在尺取法中,i和j有以下两种扫描方向:
(1)反向扫描。i和j方向相反,让i从头到尾,j从尾到头,在中间相会。
(2)同向扫描。i和j方向相同,都从头到尾,速度不同,如让j跑在i前面。
把同向扫描的i、j指针称为"快慢指针",把反向扫描的i、j指针称为"左右指针",更加形象。其中,"快慢指针"在序列上产生了一个大小可变的"滑动窗口",有灵活的应用,如寻找区间、数组去重、多指针问题。
反向扫描
用下面的几个应用说明反向扫描的编码方法。
一、找指定和的整数对
这个问题是尺取法中最经典,也最简单直接的应用。
为了说明尺取法的优势,下面给出4种解题方法。
(1)用二重循环暴力搜索,枚举所有的取数方法,复杂度为0(n^2^),超时。暴力法不需要排序。
(2)二分法。首先对数组从小到大排序,复杂度为O(nlog~2~n);然后从头到尾处理数组中的每个元素a[i],在大于a[i]的数中二分查找是否存在一个等于m-a[i]的数,复杂度也为O(nlog~2~n)。两部分相加,总复杂度仍然为O(nlog~2~n)。
(3)哈希。分配一个哈希空间s,把n个数放进去。逐个检查a[]中的几个数,如a[i],检查m-a[i]在s中是否有值,如果有,那么存在一个答案。复杂度为O(n)。哈希方法很快,但是需要一个额外的很大的哈希空间。
(4)尺取法。这是标准解法。首先对数组从小到大排序;然后设置两个变量i和j,分别指向头和尾,i初值为0,j初值为n-1,然后让i和j逐渐向中间]移动,检查a[i]+a[j],如果大于m,就让j减1;如果小于m,就让i加1,直至a[i]+a[j]=m。排序复杂度为O(nlog~2~n),检查的复杂度为O(n),总复杂度为O(nlog~2~n)。
尺取法代码如下,注意可能有多个答案。
cpp
// 函数用于找到数组中两数之和等于给定值 m 的两个数
void find_sum(int a[], int n, int m) {
// 先对数组进行排序，时间复杂度为 O(n log₂ n)
sort(a, a + n);
// i 指向数组头部，j 指向数组尾部
int i = 0, j = n - 1;
while (i < j) {
int sum = a[i] + a[j];
// 如果两数之和大于 m，j 指针向前移动
if (sum > m) j--;
// 如果两数之和小于 m，i 指针向后移动
else if (sum < m) i++;
// 如果两数之和等于 m，输出这两个数，然后 i 指针向后移动继续寻找可能的其他答案
else {
cout << a[i] << " " << a[j] << endl;
i++;
}
}
}在本题中,尺取法不仅效率高,而且不需要额外的空间。
把题目的条件改变一下,可以变化为类似的问题,如判断一个数是否为两个数的平方和。
二、判断回文串
给一个字符串,判断它是否为回文串。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 主函数
int main() {
int n;
cin >> n; // n 为测试用例个数
while (n--) {
string s;
cin >> s; // 读一个字符串
bool ans = true;
int i = 0, j = s.size() - 1; // 双指针，i 指向字符串头部，j 指向字符串尾部
while (i < j) {
if (s[i]!= s[j]) { // 如果对应位置字符不相等
ans = false;
break;
}
i++;
j--; // 移动双指针
}
if (ans)
cout << "yes" << endl;
else
cout << "no" << endl;
}
return 0;
}稍微改变条件,类似的题目如下。
(1)不区分大小写,忽略非英文字母,判断是否为回文串1。
(2)允许删除(或插入,本题只考虑删除)最多一个字符,判断是否能构成回文字符串
解题思路:设反向扫描双指针为i和j,如果s[i]和s[j]相同,则执行i++和j--;如果s[i]和s[j]不同,那么或者删除s[i],或者删除s[j],看剩下的字符串是否是回文串。
同向扫描
下面给出同向扫描的几个经典应用。
一、寻找区间和
这是用尺取法产生滑动窗口的典型例子。
指针i和j(i<j)都从头向尾扫描,判断区间[i,j]数组元素的利1是否等于s
如何寻找区间和等于5的区间?如果简单地对i和j做二重循环,复杂度为O(n^2^)
用尺取法,复杂度为O(n),操作步骤如下:
(1)初始值i=0,j=0,即开始都指向第1个元素a[0]。定义sum是区间[i,j]数组元素的和,初始值sum=a[0]。
(2)如果sum=s,输出一个解。继续,把sum减掉元素a[i],并把i向后移动一位。
(3)如果sum>s,让sum减掉元素a[i],并把i向后移动一位。
(4)如果sum<s,把j向后移动一位,并把sum的值加上这个新元素。
在上面的步骤中,有两个关键技巧:
(1)滑动窗口的实现。
窗口就是区间[i,j],随着i和j从头到尾移动,窗口就"滑动"扫描了整个序列,检索了所有数据。i和j并不是同步增加的,窗口像一只蚯蚓伸缩前进,它的长度是变化的,这个变化正对应了对区间和的计算。
(2)sum的使用。
如何计算区间和?暴力的方法是从a[i]到a[j]累加,但是这个累加的复杂度为O(n),超时。如果利用sum,每次移动i或j时,只需要把sum加或减一次,就得到了区间和,复杂度为O(1)。这是"前缀和"递推思想的应用。
cpp
// 函数用于在给定整数数组中找到连续子数组使得其和等于给定值 s
void findsum(int *a, int n, int s) {
int i = 0, j = 0;
int sum = a[0];
while (j < n) { // 下面代码中保证 i <= j
// 如果当前和大于等于给定值 s
if (sum >= s) {
// 如果当前和等于给定值 s，输出子数组的起始和结束位置
if (sum == s)
printf("%d %d\n", i, j);
sum -= a[i];
i++;
// 防止 i 超过 j
if (i > j) {
sum = a[i];
j++;
}
}
// 如果当前和小于给定值 s
if (sum < s) {
j++;
// 更新 sum
sum += a[j];
}
}
}"滑动窗口"的例子还有:
(1)给定一个序列以及一个整数M,在序列中找M个连续读递增的元素,使它们的区间和最大;
(2)给定一个序列以及一个整数K,求一个最短的连续子序列,其中包含至少K个不同的元素。
二、数组去重
数组去重是很常见的操作,方法也很多,尺取法是其中优秀的算法。
问题描述:给定数组a ,长度为n,把数组中重复的数去掉。
下面给出两种解法:哈希和尺取法。
（1)哈希
哈希函数的特点是有冲突,利用这个特点去重。把所有数插入哈希表,用冲突过滤重复
的数,就能得到不同的数。缺点是哈希把数据的值本身看作地址,如果数据值过大,需要的
空间也非常大。
（2)尺取法
(1)将数组排序,排序后重复的整数就会挤在一起。
(2)定义双指针i和j,初始值都指向a[0]。i和j都从头到尾扫描数组a[]。i指针走得快,逐个遍历整个数组;j指针走得慢,它始终指向当前不重复部分的最后一个数。也就是说,j用于获得不重复的数。
(3)扫描数组。快指针执行i++,如果此时a[i]不等于慢指针j指向的a[j],就执行j++,并且把a[i]复制到慢指针j的当前位置a[j]。
(4)i扫描结束后,a[0]~a[j]就是不重复数组。
三、多指针
有时两个窗口指针不够用,需要更多的指针。例2.4是三指针的例子。
如果用暴力法统计数对,复杂度为O(n^2^),超时。下面试试尺取法。
对输入样例排序后得{445778),其中第1个4和后面两个7是两对,第2个4和后面两个7也是两对,共4对。如果仅使用i和j两个指针,无法实现.
如何解决?可以把后面两个7看作一个整体,一起统计数对。用两个指针j和k指示这种区间,[j,k]区间内每个数都相同,这个区间可以产生,一j个数对。细节见下面的代码。使用3个指针:i是主指针,从头到尾遍历几个数;j和k是辅助指针,用于查找数字相同的区间[j,k]。
第10行的尺取法代码只有一个for循环,且j和k随着i递增,所以复杂度为O(n)。
另外,第8行的排序复杂度为O(nlog~2~n)。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
int a[N];
// 主函数
int main() {
int n, c;
cin >> n >> c;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
sort(a + 1, a + 1 + n);
long long ans = 0;
// 使用三个指针 i、j、k 进行遍历和查找
for (int i = 1, j = 1, k = 1; i <= n; i++) {
// 用 j 指针查找第一个与 a[i]之差大于等于 c 的位置
while (j <= n && a[j] - a[i] < c)
j++;
// 用 k 指针查找第一个与 a[i]之差大于 c 的位置
while (k <= n && a[k] - a[i] <= c)
k++;
// 如果 a[j]-a[i]==c 且 a[k - 1]-a[i]==c 且 k - 1 >= 1，则更新答案
if (a[j] - a[i] == c && a[k - 1] - a[i] == c && k - 1 >= 1)
ans += k - j;
}
cout << ans;
return 0;
}