Paper:NSG（Navigating Spreading-out Graph）

参考文献

Fast approximate nearest neighbor search with the navigating spreading-out graph

论文阅读：NSG - 数据库 | Songlin = Life (songlinlife.github.io)

性能提升方向

提高 ANNS 性能可以从四个方面进行考虑，1）保证图的连通性。2）更低的平均出度。3）减少查询路径长度。4）降低索引的尺寸。

MRNG（Monotonic Relative Neighborhood Graph）

这是论文中定义的索引结构，单调相对近邻图，属于MSNET。

RNG

关于RNG的定义

图片来源:ANNS:HNSW算法详解 - 数据库 | Songlin = Life (songlinlife.github.io)

RNG 图就是下面这个月牙里面不能有其他节点，if 𝑥 and 𝑦 are connected by edge 𝑒 ∈ 𝐸, then ∀𝑧 ∈ 𝑉 , with 𝛿 (𝑥, 𝑦) < 𝛿 (𝑥, 𝑧), or 𝛿 (𝑥, 𝑦) < 𝛿 (𝑧, 𝑦)

RNG的搜索路径可能较长（图a），不是单调搜索网络

MRNG

先构建RNG图，找到p到q的路径上的所有点，如果说p和这些点都不相连，则将q作为p的邻接结点。（下图是由图b得来）

NSG索引构建

m是最大出度

用已有算法构建一个KNN图
确定一个质心c，以c为查询向量，贪婪搜索随机向量r，将返回结果作为Navigating Node(n)
对于图中的每一个结点v，通过贪婪搜索算法，得到一条路径(单调？)，将路径上的每一个结点（和v的邻居？）都放到邻居候选集中，按距离排序
利用MRNG选边策略为v挑选m个邻居。添加最近结点和没有冲突的结点 5. 最后还要从导航节点出发构建一棵DFS树，确保图的连通。当DFS终止时，对于未链接到树的结点，将他们链接到近似最近邻（用贪婪算法获得）

定理及其证明

定理1

Theorem 1. Given a finite point set S of n points, randomly distributed in space Ed and a monotonic search network G constructed on S, a monotonic path between any two nodes p, q in G can be found by Algorithm 1 without backtracking.

就是说用这个算法1(贪婪算法)，一定能在一个图中无回溯地找到p、q两点的单调搜索路径(q是查询向量，p是入口向量)

这个定理相当于：对于t次迭代，如果满足 $∀ i ∈ { 1 , . . . , t } , d ( v i , q ) > d ( v i + 1 , q ) \forall i \in \{1,...,t\} , d(v_i,q)> d(v_{i+1},q)$ ∀i∈{1,...,t},d(vi,q)>d(vi+1,q)，那么就说明找到的路径是单调路径。

数学归纳法证明：

t=1时，存在路径 $v 1 = p → r → q v_1=p \rightarrow r \rightarrow q$ v1=p→r→q是单调路径。根据算法定义，r是v1的邻居,且 $δ ( v 1 , q ) ⩾ δ ( r , q ) δ(v_1,q) \geqslant δ(r,q)$ δ(v1,q)⩾δ(r,q)
如果r= $v 2 v_2$ v2,那么从 $v 1 v_1$ v1到 $v 2 v_2$ v2关于q是单调的。否则，由于 v2 是通过算法 1 找到的，无需回溯，因此 v2 是 v1 的邻居中距离 q 最近的节点。因此，δ(v2, q) ≤ δ(r, q) < δ(v1, q)。
假设t=m时， $v 1 , v 2 , . . . , v m v_1,v2,...,v_m$ v1,v2,...,vm是单调路径。t=m+1时，同上可证

定理二

定理二指出，对于 MSNET，任意两点之间的路径长度为 $O ( n 1 / d log ⁡ ( n 1 / d ) / Δ r ) O\left(n^{1 / d} \log \left(n^{1 / d}\right) / \Delta r\right)$ O(n1/dlog(n1/d)/Δr)