一、红黑树概念与性质
【概念】
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或
Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树 确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡 的。AVL树 是严格平衡。
【红黑树的性质】
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每个结点不是红色就是黑色
-
根节点是黑色的
-
如果一个节点是红色 的，则它的两个孩子结点是黑色 的
-
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
-
每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
二、红黑树节点定义
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED) // 颜色默认给成红色
{}
};
思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？
答：优先插入红色不一定能破坏红黑树的性质，如果破坏性质可以通过调整红黑树的颜色来进行修改，但是插入黑色直接破坏红黑树的性质。
三、红黑树的插入操作
- 按照二叉搜索的树规则插入新节点(左子树<根<右子树）
2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时 ，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
cur为当前节点，p(parent)为父节点，g(grandfather)为祖父节点，u(uncle)为叔叔节点.
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
//.......
//二叉搜索树插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
//第一个节点根节点给黑的
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
// 新增节点。颜色红色给红色
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//............
// 维护新增节点
private:
Node* _root = nullptr;
}
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
如果g变为红色节点，若g是根节点，则将g调整为黑色，若不是根节点，则g变cur继续向上调整
情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑 (单旋)
1、如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4：每条路径黑色节点个数相同。
2、如果u节点存在，则其是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的因为性质4，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋。
情况二、无论u存不存在是不是黑色，p、g变色--p变黑，g变红
情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑(双旋)
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，针对g进行右单旋，cur变黑，g变红；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转 ，针对g为左单旋，cur变黑，g变红。
代码实现：
// 维护节点
while (parent && parent->_col == RED)
{
//1. parent 存在且为黑，则停止循环
//2. parent 存在且为红，继续循环
//3. parent 不存在，cur就为根了，出去后把根变成黑色
Node* grandfather = parent->_parent;
// 左子树
// g
// p u
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
// u 存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// u存在且为黑或不存在 -> 旋转+变色
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
//c
// 单旋
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
// 双旋
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
//右子树
// g
// u p
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
//情况一、u存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
//情况二、u不存在或且为黑
else
{
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
// g
// u p
// c
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
//情况一，都把根变黑
_root->_col = BLACK;
return true;
}
四、红黑树的验证
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检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
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检测其是否满足红黑树的性质
// 先找一个基准值 bool IsBalance() { if (_root == nullptr) { return true; } if (_root->_col == RED) { return false; } int refNum = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == BLACK) { ++refNum; } cur = cur->_left; } return Check(_root, 0, refNum); } bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) { if (root == nullptr) { cout << blackNum << endl; if (refNum != blackNum) { cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl; return false; } return true; } if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) { cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << '\n'; return false; } if (root->_col == BLACK) { blackNum++; } return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum); }