回溯题解——子集【LeetCode】二进制枚举法

78. 子集

✅ 一、算法逻辑讲解（逐步通顺解释）

这段代码的目标是：给定一个不含重复元素的整数数组 nums，返回其所有可能的子集（幂集）。

步骤解析：

1. 1 << len(nums)：

   • 这是 2^n 的简写方式，表示子集的总数。

   • 因为一个长度为 n 的集合一共有 2^n 个子集。

2. for i in range(1<<len(nums)):

   • i 从 0 到 2^n - 1。

   • 每个数字 i 的二进制表示就是一个子集的"选取方案"，每一位表示该位置元素选不选。

     • 例如：nums = [a, b, c]，i = 5 = 0b101 表示选 a 和 c（第0和第2位是1）。

3. [x for j, x in enumerate(nums) if i >> j & 1]：

   • 枚举 nums 中的每个元素 x 及其下标 j。

   • 如果 i 的第 j 位是 1，就说明这个元素被选入子集。

   • i >> j & 1 是判断第 j 位是否为1的经典写法。

4. 将生成的子集 subsets 加入答案列表 ans 中。

5. 返回所有子集的列表。

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⭐ 二、核心思路

核心点是：用位运算枚举所有子集。

• 将每一个子集的选取用一个 n 位二进制数表示（0 表示不选，1 表示选）。

• 枚举 0 到 2^n - 1，每个整数的二进制形式唯一表示一个子集。

• 位运算用于高效判断哪些元素被选中。

这是一种非常高效、简洁的生成子集的方式，尤其适用于集合元素较少（如 n ≤ 20）的场景。

class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        ans = []
        for i in range(1<<len(nums)):
            subsets = [x for j,x in enumerate(nums) if i>>j&1]
            ans.append(subsets)
        return ans

⏱ 三、时间复杂度分析

时间复杂度：O(n * 2^n)

• 一共有 2^n 个子集。

• 每个子集最多需要扫描 n 个元素来判断是否包含（通过 i >> j & 1 判断）。

• 所以总的复杂度是：O(n * 2^n)。

比如 nums = [1,2,3]，就需要计算 2^3 = 8 个子集，每个最多判断 3 个位置。

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💾 四、空间复杂度分析

空间复杂度：O(n * 2^n)（输出结果空间）

• 每个子集可能长度为 n，最多有 2^n 个子集。

• 所以总的空间用于保存输出结果是 O(n * 2^n)。

额外空间（不含输出）：O(n)

• 每次生成一个子集使用一个列表（临时变量 subsets），最多长度为 n。

• 所以辅助空间是 O(n)。