一、性质
||=|A|：方阵的行列式值等于转置之后的行列式值。
|kA|=|A| ：方阵数乘后的行列式值等于方阵转化行列式值乘数的阶次方(
)。
|-A|=|A|： 等同上式子（k = -1）。
|AB|=|A||B|： 方阵A、B相乘之后行列式值等于分别行列式值的乘积。
||=
：方阵的m次幂的行列式值等于方阵行列式值的m次幂（同上式子）。
|E|=1：单位矩阵的行列式值等于1
注释：
|A| 表示方阵A转化为行列式（行列式计算数值结果）
例如：存在矩阵 A如图，求|2A| 和 |A|A
解：|2A| 是方阵数乘后的行列式值（数值），则可以运用 **|kA|=|A|**公式计算
|2A| = |A| =
* 3 *
*（5-0）=120
|A|A 表示 方阵A的行行列式值乘方阵A，则结果为方阵（方阵的数乘）
|A|A = 3 **（5-0） * A= 15A （每个元素都乘15）
二、伴随矩阵
1、定义
每个元素的代数余子式值放入原本元素位置，得到新的矩阵进行转置，最后矩阵为原本矩阵的伴随矩阵（A的伴随矩阵记作A*）。
例如：
解：依次求出元素代数余子式：
=
* (4-3)= 1,
=
*(8-3)= - 5,
=
*(2-1)= 1,
=
*(4-1)= - 3,
=
*(4-1)= 3,
=
*(1-1)= 0,
=
*(3-1)= 2,
=
*(3-2)= - 1,
=
*(1-2)= - 1,
放入原本元素位置后转置就是 =
方式，所以：
注意：代数余子式是取消行列式该元素所在行列，剩下的元素组成的低一阶行列式。
行列式的值等于某行或某列所有元素 乘以 该元素的代数余子式 的结果累加。
2、性质
性质1：矩阵与伴随矩阵的积满足交换率且值等于矩阵的行列式值乘以单位矩阵
A=
A=|A|E
证明：设一个方阵A为 对角矩阵 ，那么 伴随矩阵A* 也是 对角 矩阵 ，且A*中的元素与A的元素对应（转置对主对角线无效），其他为零，则相乘后的矩阵的每一位元素都是方阵A的行列式值，等价于行列式值与单元矩阵相乘。
性质2：伴随矩阵的行列式值等于原矩阵行列式值的阶次-1次方。
||=
证明：同上面 A= |A|E 以及 矩阵的公因式与行列式的公因式区别，A矩阵的行列式值乘以单位矩阵等于A矩阵的行列式值得阶数次方乘以单位矩阵的行列式值（设E为三阶矩阵，2E =
）；所以 |A|E =
|E| =
，|
|=
/
=
。
三、逆矩阵
对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB = BA = E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作。
性质：方阵A可逆的充分必要条件为： |A| 0 ，
=1/|A| *
四、初等变化
进行某行某列的变化，将数据复杂的矩阵变化成单位矩阵或三角矩阵等特殊矩阵。
使用行列式的性质：
交换两行或两列（变化结果符号）
某一行（列）乘以一个非零常数（新的结果为行列式值乘以该数）
某一行（列）加减另一行（列）的倍数
五、矩阵标准型
1、行阶梯形矩阵
非零行在零行之上；主元下方元素为零；每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
阶梯要求：宽度可加，高度不可加（行可以多个数字，但列只能一位）；下一个阶梯在右侧。例如 小孩子爬楼梯，每次只能爬一个台阶，但台阶宽度可增加，高度不可增加；每次爬台阶脚下必须有着力点，不能虚空。
2、简化行阶梯形矩阵
简化要求，将主元变为 1 且主元上下方元素都为0。
例子：
有矩阵A
，通过 初等变化 形成
最后的矩阵就是所有阶梯都是1，且该阶梯上下元素都是0。