Eigen中Dense 模块简要介绍和实战应用示例（最小二乘拟合直线、协方差矩阵计算和稀疏求解等）

1、Dense简介

1️.Dense 模块概述

Eigen::Dense 模块是 Eigen 的核心模块之一，主要用于处理 密集矩阵（Dense Matrix）和向量（Dense Vector） 。它与 Eigen 的稀疏矩阵模块（Eigen::Sparse）互补。

特点：

1. 支持固定和动态大小

   • 固定大小：如 Matrix3d、Vector4f
   • 动态大小：如 MatrixXd、VectorXd
   • 优势：固定大小矩阵在编译期优化，速度快；动态大小矩阵灵活性高。

2. 面向表达式模板（Expression Templates）

   • Eigen 的运算不是立即计算，而是构建表达式树
   • 优点：减少临时变量、延迟计算、优化性能

3. 高性能

   • 内存连续（RowMajor 或 ColumnMajor，可选）
   • 支持 SIMD 向量化（如 SSE、AVX）
   • 适合线性代数、最小二乘、矩阵分解、几何变换等场景

4. 丰富的线性代数支持

   • 基本运算：加减、乘除、转置
   • 矩阵分解：LU、QR、SVD、Cholesky、EigenSolver
   • 特殊矩阵生成：零矩阵、单位矩阵、全1矩阵
   • 块操作：block()、row()、col()、segment()

5. 模板化设计

   • 数据类型可选：float、double、int 等
   • 支持矩阵和向量混合运算

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2️.Dense 模块核心类型

类型	描述	备注
Matrix<T, Rows, Cols>	通用矩阵	Rows 和 Cols 可固定或动态（用 Dynamic）
Vector<T, Size>	列向量	等价于 Matrix<T, Size, 1>
RowVector<T, Size>	行向量	等价于 Matrix<T, 1, Size>
Array<T, Rows, Cols>	元素逐一运算	用于逐元素加减乘除等
DiagonalMatrix<T, Size>	对角矩阵	可与矩阵相乘或求逆
Quaternion<T>	四元数	用于旋转表示
AngleAxis<T>	旋转轴角表示	可转换为旋转矩阵

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3.Dense 模块内部机制

1. 内存布局

   • 默认按列主序（ColumnMajor）
   • 可改为行主序（Matrix<T, Rows, Cols, RowMajor>）

2. 表达式模板

   • 避免临时矩阵
   • 支持链式运算 A + B + C 高效执行

3. 固定 vs 动态大小

   • 固定大小在编译期优化，适合小矩阵（如 2x2, 3x3）
   • 动态大小适合大矩阵（如点云处理、最小二乘）

4. SIMD 向量化

   • 自动利用 CPU SIMD 指令（SSE/AVX）
   • 速度可接近手写优化代码

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2、Eigen/Dense 基础

2.1 引入头文件

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

using namespace Eigen;
using namespace std;

• Eigen/Dense 会自动包含 Eigen 所有核心模块，适合大部分线性代数操作。
• 使用 using namespace Eigen 简化类型书写。

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2.2 向量类型

Eigen 中向量是矩阵的特殊情况，行向量或列向量。

Vector3d v1(1.0, 2.0, 3.0);   // 列向量 3x1, double 类型
Vector3f v2(1.0f, 2.0f, 3.0f); // float 类型
VectorXd vDynamic(5);           // 动态大小向量
vDynamic << 1, 2, 3, 4, 5;

• Vector3d → 3维 double 列向量
• VectorXd → 动态维度列向量
• << 可快速赋值

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2.3 矩阵类型

Matrix3d A; // 3x3 double 矩阵
MatrixXd B(2, 3); // 2x3 动态矩阵

A << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

B << 1, 2, 3,
     4, 5, 6;

• Matrix3d → 3x3 固定大小矩阵
• MatrixXd → 动态大小矩阵
• << 支持逐行填充

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2.4 矩阵操作

Matrix3d M;
M << 1, 2, 3,
     0, 1, 4,
     5, 6, 0;

// 转置
Matrix3d Mt = M.transpose();

// 逆矩阵
Matrix3d Minv = M.inverse();

// 矩阵乘法
Matrix3d R = M * Mt;

// 元素逐一操作
Matrix3d N = M.array() + 1.0; // 每个元素加1
Matrix3d P = M.array() * 2;   // 每个元素乘2

• matrix.array() → 逐元素操作
• matrix * matrix2 → 矩阵乘法
• matrix.inverse() → 求逆（仅对方阵有效）

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2.5 特殊矩阵生成

Matrix3d I = Matrix3d::Identity(); // 单位矩阵
MatrixXd Z = MatrixXd::Zero(2, 3); // 零矩阵
MatrixXd O = MatrixXd::Ones(2, 3); // 全1矩阵

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2.6 矩阵块操作

Matrix3d M;
M << 1,2,3,
     4,5,6,
     7,8,9;

// 提取子矩阵
Matrix2d sub = M.block<2,2>(0,0); // 左上角2x2块

// 改变子矩阵
M.block<2,2>(1,1) = Matrix2d::Identity();

• block<rows,cols>(i,j) → 固定大小块
• block(i,j,rows,cols) → 动态块

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2.7 特征值与奇异值分解

Matrix3d A;
A << 1, 2, 3,
     0, 1, 4,
     5, 6, 0;

// Eigen值分解（仅对方阵）
EigenSolver<Matrix3d> es(A);
cout << "Eigenvalues:\n" << es.eigenvalues() << endl;
cout << "Eigenvectors:\n" << es.eigenvectors() << endl;

// 奇异值分解
JacobiSVD<MatrixXd> svd(A, ComputeFullU | ComputeFullV);
cout << "U:\n" << svd.matrixU() << endl;
cout << "S:\n" << svd.singularValues() << endl;
cout << "V:\n" << svd.matrixV() << endl;

• EigenSolver → 特征值与特征向量
• JacobiSVD → 奇异值分解，用于非方阵或最小二乘

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3、Eigen 实战示例

示例1：最小二乘拟合直线

int n = 5;
VectorXd x(n), y(n);
x << 0, 1, 2, 3, 4;
y << 1, 3, 7, 13, 21;

// 构造 A*x = b
MatrixXd A(n,2);
A.col(0) = VectorXd::Ones(n);
A.col(1) = x;

VectorXd coeff = A.colPivHouseholderQr().solve(y);
cout << "y = " << coeff(1) << " * x + " << coeff(0) << endl;

• 用 colPivHouseholderQr() 进行最小二乘求解
• 输出拟合直线参数

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示例2：旋转矩阵 + 向量变换（机器人/SLAM常用）

Matrix3d R;
R = AngleAxisd(M_PI/4, Vector3d::UnitZ()).toRotationMatrix();
Vector3d t(1, 2, 3);
Vector3d p(1, 0, 0);

// 变换
Vector3d p_trans = R * p + t;
cout << "Transformed point: " << p_trans.transpose() << endl;

• AngleAxisd → 构造绕某轴旋转的旋转矩阵
• R*p + t → 坐标变换

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示例3：点云质心和协方差矩阵

MatrixXd points(3,5);
points << 1,2,3,4,5,
          0,1,0,1,0,
          2,3,4,5,6;

// 计算质心
Vector3d centroid = points.rowwise().mean();

// 去质心
MatrixXd centered = points.colwise() - centroid;

// 协方差矩阵
Matrix3d cov = (centered * centered.transpose()) / (points.cols() - 1);
cout << "Covariance matrix:\n" << cov << endl;

• 常用于 PCA、点云处理、SLAM

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示例4：动态稀疏求解（大规模线性系统）

MatrixXd A = MatrixXd::Random(1000, 500);
VectorXd b = VectorXd::Random(1000);

// 最小二乘解
VectorXd x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
cout << "Residual norm: " << (A*x - b).norm() << endl;

• 大规模系统可直接用 Eigen 的 QR 或 SVD 求解
• 高性能场景可使用稀疏模块（Eigen/Sparse）

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4、️总结与应用场景

Dense 模块特点

• 面向密集矩阵、向量运算
• 支持固定和动态维度
• 支持矩阵运算、分解、块操作
• 高度模板化，性能优秀

实战应用

• 机器人/SLAM：位姿变换、最小二乘优化、点云协方差计算
• 计算机视觉：PCA、SVD、特征提取
• 数值计算：大规模线性方程求解、矩阵分解、特征值问题

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