矩阵基础知识

矩阵定义

矩阵的定义

1.矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示，例如 AA 、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为：

其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。

矩阵的维度

1.矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n，其中 m是行数，n 是列数，m不一定与n相等。例如，一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。

矩阵和行列式的区别

	矩阵	行列式
符号	()或[]	\| \|
形状	方阵或非方阵	方阵
本质	数表	数
属性	A	\|A\|是A诸多属性中的一种

同型矩阵

1.设矩阵 AA 和 BB 分别为：

如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么A 和 B 就是同型矩阵。

2.矩阵相等

如果A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n矩阵，并且对于所有 i 和 j，都有 aij=bij，那么我们称矩阵 A 和 B 相等，记作 A=B。

3.矩阵相等的条件

维度相同：两个矩阵的行数和列数必须相同。
对应元素相等：所有对应位置的元素必须相等。

4.例子

考虑以下两个矩阵

这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），并且所有对应位置的元素都相等，因此 A 和 B 相等，即 A=B。
再考虑以下两个矩阵：

这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），但 C 和 D 在第 2 行第 2 列的元素不相等（4≠5），因此 C 和 D 不相等

特殊类型的矩阵

方阵

1.一个 n×n 的方阵 A 可以表示为：矩阵的行数=列数

其中 aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

方阵有主对角线和副对角线，非方阵没有主对角线和副对角线。

特殊的方阵

单位矩阵

1.主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0 的方阵，记作 I 或 E。例如，3 阶单位矩阵为：

对角矩阵

1.主对角线上的元素可以是任意值，其余元素都是 0 的方阵。例如：

上三角矩阵

1.主对角线及其上方的元素可以是任意值，主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如：

下三角矩阵

1.主对角线及其下方的元素可以是任意值，主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如：

零矩阵

一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为：

其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n。

思考：两个零矩阵相等？（矩阵相等需要满足维度和对应位置的值相等）

错误，两个同型的零矩阵相等。

行矩阵

1.行矩阵（Row Matrix），也称为行向量（Row Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一行，但可以有多列。具体来说，一个1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n，其中 n 是列数。一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为：

其中 r1j 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。

列矩阵

1.列矩阵（Column Matrix），也称为列向量（Column Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一列，但可以有多行。具体来说，一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1，其中 m 是行数。

一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为：

其中 ci1 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。

矩阵计算

矩阵的加法

1.矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是m×n矩阵，那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和，即 cij=aij+bij。

设矩阵 AA 和 BB 分别为

如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵，即

其中

2.矩阵加法的性质

交换律：矩阵加法满足交换律，即 A+B=B+A。
结合律：矩阵加法满足结合律，即 (A+B)+C=A+(B+C)。
零矩阵：零矩阵 O 是矩阵加法的单位元，即对于任何矩阵 A，有 A+O=A。
负矩阵：对于任何矩阵 A，存在一个负矩阵 −A，使得 A+(−A)=O。

3.例子

考虑以下两个矩阵：

这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），因此可以进行加法运算：

矩阵的减法

1.矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差，即

设矩阵 AA 和 BB 分别为

如果 A和 B 的维度相同，即 A 和 B都是 m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵，其中

其中

2.矩阵减法的性质

反交换律：矩阵减法不满足交换律，即 A − B ≠ B − A。
结合律：矩阵减法满足结合律，即 (A − B) − C = A − (B + C)。
零矩阵：零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色，即对于任何矩阵 A，有 A − O = A。

3.例1

考虑以下两个矩阵：

这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），因此可以进行减法运算：

4.例2

考虑以下两个矩阵：

已知 A + X = B，求X
解

矩阵的数乘

1.矩阵的数乘（Scalar Multiplication）是指一个矩阵与一个标量（即一个实数或复数）相乘，结果是一个新的矩阵。具体来说，如果A 是一个 m×n 的矩阵，k 是一个标量，那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵，其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

设矩阵 A 为：

如果 k 是一个标量，那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵，即：

其中

2.矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，则k向外提一次。

3.行列式提公因子：行列式的某一行有公因子k，则k向外提一次。

4.矩阵数乘的性质

结合律：矩阵数乘满足结合律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。
分配律：矩阵数乘满足分配律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (k+l)A = kA + lA。
标量乘法与矩阵加法的分配律：对于任何标量 k，以及任何矩阵 A 和 B，有 k(A+B) = kA + kB。
单位标量：标量 1 是矩阵数乘的单位元，即对于任何矩阵 A，有 1A=A。
零标量：标量 0 是矩阵数乘的零元，即对于任何矩阵 A，有 0A=O，其中 O 是零矩阵。

5.例子1

考虑以下矩阵

这是一个 2×2 的矩阵。我们计算 2A

6.例2

有以下矩阵

已知：A + 2B = C，求x、y、z的值
解
A + 2B = C带入矩阵为

得出方程

得出：x = -4，y=11，z=-7/2

矩阵的乘法

1.矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

2.矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是：矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说，如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵（即 m行 n 列），矩阵 B 是 n×p 的矩阵（即 n 行 p 列），那么它们可以相乘，并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等，取两端)。

3.矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵，其中 C 的第 i 行

第 j 列的元素 cij 定义为

其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素，bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

4.矩阵乘法的性质

结合律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
分配律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
单位矩阵：对于任意矩阵 A，如果存在一个单位矩阵 E（维度与A 相匹配），那么 A×E=E×A=A，注意两个E的维度不一定一样。

5.矩阵乘法不满足的性质

交换律：AXB一般不等于BXA，如矩阵A维度2x2，B维度2x3，AxB的维度=2x3，BxA则不能相乘，因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA，则矩阵A和B是同阶的方阵，并称A和B是可交换的矩阵。
消去律：由AXB=AXC，不能推导出B=C
由AxB=O，不能推出A=O或B=O

6.例1

假设有两个矩阵 A 和 B

矩阵A的维度为2X3，B的维度为3X2，因此它们可以相乘，得到C的维度为2X2。乘积矩阵C 的元素计算如下

因此，乘积矩阵 C 为：

7.例2

假设有两个矩阵 A 和 B：

求AxB和AxC，并思考是否满足消去律

从以上结果来看，AxB和AxC的结果都是矩阵O，但是B和C并不相等。
同时，AxB=O，但是A和B都不等于O。

8.例3

由如下两个矩阵A和B

求AXB和BXA
解

矩阵的幂

1.矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说，如果 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结果。

2.定义

设 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为：

其中 k 是一个正整数。

3.例子

假设有一个矩阵 A

我们计算 A^2 和 A^3
计算 A^2

计算每个元素

计算 A3A3

计算每个元素

4.性质

矩阵幂具有以下性质：

结合律：对于任意正整数 k 和 l，

分配律：对于任意正整数 k 和 l，

（除非 AA 和 BB 是可交换的）例如A+B的平方：

如果A和B可交换，则AB=BA，所以

如果A和B不可交换，则AB与BA不等，则上述公式不能合并为2AB。
单位矩阵：对于任意方阵A，A^0=E，其中 E 是单位矩阵。

矩阵的转置

1.矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

2.定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

3.例子

假设有一个矩阵 A

这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵，计算如下：

4.性质

矩阵转置具有以下性质：

(A^T)^T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
(A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
(kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
(AB)^T = B^T A^T ：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

5.特殊矩阵

对称矩阵 ：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。
反对称矩阵 ：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

如：

反对称矩阵

所以：

得出主对角线元素必须为零。
对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。