矩阵定义
矩阵的定义
1.矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示,例如 AA 、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。
一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为:
其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。
矩阵的维度
1.矩阵的维度由它的行数和列数决定,记作 m×n,其中 m是行数,n 是列数,m不一定与n相等。例如,一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。
矩阵和行列式的区别
矩阵 | 行列式 | |
---|---|---|
符号 | ()或[] | | | |
形状 | 方阵或非方阵 | 方阵 |
本质 | 数表 | 数 |
属性 | A | |A|是A诸多属性中的一种 |
同型矩阵
1.设矩阵 AA 和 BB 分别为:
如果 A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n 矩阵,那么A 和 B 就是同型矩阵。
2.矩阵相等
如果A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n矩阵,并且对于所有 i 和 j,都有 aij=bij,那么我们称矩阵 A 和 B 相等,记作 A=B。
3.矩阵相等的条件
- 维度相同:两个矩阵的行数和列数必须相同。
- 对应元素相等:所有对应位置的元素必须相等。
4.例子
- 考虑以下两个矩阵
- 这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),并且所有对应位置的元素都相等,因此 A 和 B 相等,即 A=B。
- 再考虑以下两个矩阵:
- 这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),但 C 和 D 在第 2 行第 2 列的元素不相等(4≠5),因此 C 和 D 不相等
特殊类型的矩阵
方阵
1.一个 n×n 的方阵 A 可以表示为:矩阵的行数=列数
其中 aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
方阵有主对角线和副对角线,非方阵没有主对角线和副对角线。
特殊的方阵
单位矩阵
1.主对角线上的元素都是 1,其余元素都是 0 的方阵,记作 I 或 E。例如,3 阶单位矩阵为:
对角矩阵
1.主对角线上的元素可以是任意值,其余元素都是 0 的方阵。例如:
上三角矩阵
1.主对角线及其上方的元素可以是任意值,主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如:
下三角矩阵
1.主对角线及其下方的元素可以是任意值,主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如:
零矩阵
一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为:
其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定,记作 m×n。
思考:两个零矩阵相等?(矩阵相等需要满足维度和对应位置的值相等)
错误,两个同型的零矩阵相等。
行矩阵
1.行矩阵(Row Matrix),也称为行向量(Row Vector),是线性代数中的一种特殊矩阵,它只有一行,但可以有多列。具体来说,一个1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n,其中 n 是列数。一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为:
其中 r1j 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。
列矩阵
1.列矩阵(Column Matrix),也称为列向量(Column Vector),是线性代数中的一种特殊矩阵,它只有一列,但可以有多行。具体来说,一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1,其中 m 是行数。
一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为:
其中 ci1 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。
矩阵计算
矩阵的加法
1.矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加,得到一个新的矩阵。具体来说,如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同,即都是m×n矩阵,那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵,其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和,即 cij=aij+bij。
- 设矩阵 AA 和 BB 分别为
- 如果 A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n 矩阵,那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵,即
- 其中
2.矩阵加法的性质
- 交换律:矩阵加法满足交换律,即 A+B=B+A。
- 结合律:矩阵加法满足结合律,即 (A+B)+C=A+(B+C)。
- 零矩阵:零矩阵 O 是矩阵加法的单位元,即对于任何矩阵 A,有 A+O=A。
- 负矩阵:对于任何矩阵 A,存在一个负矩阵 −A,使得 A+(−A)=O。
3.例子
- 考虑以下两个矩阵:
- 这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),因此可以进行加法运算:
矩阵的减法
1.矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减,得到一个新的矩阵。具体来说,如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同,即都是m×n 矩阵,那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵,其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差,即
- 设矩阵 AA 和 BB 分别为
- 如果 A和 B 的维度相同,即 A 和 B都是 m×n 矩阵,那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵,其中
- 其中
2.矩阵减法的性质
- 反交换律:矩阵减法不满足交换律,即 A − B ≠ B − A。
- 结合律:矩阵减法满足结合律,即 (A − B) − C = A − (B + C)。
- 零矩阵:零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色,即对于任何矩阵 A,有 A − O = A。
3.例1
- 考虑以下两个矩阵:
- 这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),因此可以进行减法运算:
4.例2
- 考虑以下两个矩阵:
- 已知 A + X = B,求X
- 解
矩阵的数乘
1.矩阵的数乘(Scalar Multiplication)是指一个矩阵与一个标量(即一个实数或复数)相乘,结果是一个新的矩阵。具体来说,如果A 是一个 m×n 的矩阵,k 是一个标量,那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵,其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。
设矩阵 A 为:
如果 k 是一个标量,那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵,即:
其中
2.矩阵提公因子:矩阵的所有元素均有公因子k,则k向外提一次。
3.行列式提公因子:行列式的某一行有公因子k,则k向外提一次。
4.矩阵数乘的性质
- 结合律:矩阵数乘满足结合律,即对于任何标量 k 和 l,以及任何矩阵 A,有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。
- 分配律:矩阵数乘满足分配律,即对于任何标量 k 和 l,以及任何矩阵 A,有 (k+l)A = kA + lA。
- 标量乘法与矩阵加法的分配律:对于任何标量 k,以及任何矩阵 A 和 B,有 k(A+B) = kA + kB。
- 单位标量:标量 1 是矩阵数乘的单位元,即对于任何矩阵 A,有 1A=A。
- 零标量:标量 0 是矩阵数乘的零元,即对于任何矩阵 A,有 0A=O,其中 O 是零矩阵。
5.例子1
- 考虑以下矩阵
- 这是一个 2×2 的矩阵。我们计算 2A
6.例2
- 有以下矩阵
- 已知:A + 2B = C,求x、y、z的值
- 解
- A + 2B = C带入矩阵为
- 即
- 得出方程
- 得出:x = -4,y=11,z=-7/2
矩阵的乘法
1.矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算,它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
2.矩阵乘法的条件
两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是:矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说,如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵(即 m行 n 列),矩阵 B 是 n×p 的矩阵(即 n 行 p 列),那么它们可以相乘,并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩阵A的行数,矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等,取两端)。
3.矩阵乘法的定义
设 A 是一个 m×n 的矩阵,B 是一个 n×p 的矩阵,那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵,其中 C 的第 i 行
第 j 列的元素 cij 定义为
其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素,bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。
4.矩阵乘法的性质
- 结合律:对于任意三个矩阵 A、B 和 C,如果它们的维度使得乘法有意义,那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
- 分配律:对于任意三个矩阵 A、B 和 C,如果它们的维度使得乘法有意义,那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
- 单位矩阵:对于任意矩阵 A,如果存在一个单位矩阵 E(维度与A 相匹配),那么 A×E=E×A=A,注意两个E的维度不一定一样。
5.矩阵乘法不满足的性质
- 交换律:AXB一般不等于BXA,如矩阵A维度2x2,B维度2x3,AxB的维度=2x3,BxA则不能相乘,因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA,则矩阵A和B是同阶的方阵,并称A和B是可交换的矩阵。
- 消去律:由AXB=AXC,不能推导出B=C
- 由AxB=O,不能推出A=O或B=O
6.例1
- 假设有两个矩阵 A 和 B
- 矩阵A的维度为2X3,B的维度为3X2,因此它们可以相乘,得到C的维度为2X2。乘积矩阵C 的元素计算如下
- 因此,乘积矩阵 C 为:
7.例2
- 假设有两个矩阵 A 和 B:
- 求AxB和AxC,并思考是否满足消去律
- 从以上结果来看,AxB和AxC的结果都是矩阵O,但是B和C并不相等。
- 同时,AxB=O,但是A和B都不等于O。
8.例3
- 由如下两个矩阵A和B
- 求AXB和BXA
- 解
矩阵的幂
1.矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说,如果 A 是一个 n×n 的方阵,那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结果。
2.定义
- 设 A 是一个 n×n 的方阵,那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为:
- 其中 k 是一个正整数。
3.例子
- 假设有一个矩阵 A
- 我们计算 A^2 和 A^3
- 计算 A^2
- 计算每个元素
- 计算 A3A3
- 计算每个元素
4.性质
矩阵幂具有以下性质:
- 结合律:对于任意正整数 k 和 l,
- 分配律:对于任意正整数 k 和 l,
- (除非 AA 和 BB 是可交换的)例如A+B的平方:
- 如果A和B可交换,则AB=BA,所以
- 如果A和B不可交换,则AB与BA不等,则上述公式不能合并为2AB。
- 单位矩阵:对于任意方阵A,A^0=E,其中 E 是单位矩阵。
矩阵的转置
1.矩阵的转置(Transpose)是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说,如果 A 是一个m×n 的矩阵,那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵,其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。
2.定义
设 A 是一个 m×n 的矩阵,其元素为 aij,那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵,其元素为 aji。
3.例子
- 假设有一个矩阵 A
- 这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵,计算如下:
4.性质
矩阵转置具有以下性质:
- (A^T)^T = A:一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
- (A + B)^T = A^T + B^T:两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
- (kA)^T = kA^T:一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
- (AB)^T = B^T A^T :两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积,但顺序相反。
5.特殊矩阵
-
对称矩阵 :如果一个矩阵 A 满足 A^T=A,那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。
-
反对称矩阵 :如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A,那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零,且关于主对角线对称的元素互为相反数。
如:
反对称矩阵
所以:
得出主对角线元素必须为零。
-
对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。
6.矩阵A和B为同阶对称矩阵,AB对称的充要条件为AB=BA
- 证明
- AB对称则
- 同时
- 由于A和B是对称矩阵,则
- 所以
7.思考
- A为反对称矩阵,则A^k为?
- 证明
- 如果k为偶数,则
- 此时A^k为对称矩阵
- 如果k为奇数,则
- 此时A^k为反对称矩阵
方阵的行列式
1.要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。
2.性质:A为n阶的方阵
3.例1
- 有矩阵A
- 求|2A|和|A|A
- 解:
- 则
4.例2
- A为n阶方阵,|A|=3,求
- 解:
伴随矩阵
1.设 A 是一个 n×n 的方阵,其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵,其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji,即:
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式,即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。
2.简单理解
- 先按行求出每个元素的代数余子式
- 将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵,该矩阵就是伴随矩阵。
3.例如
- 求A的伴随矩阵A*
- 解
- 按行求出每个元素的代数余子式
- 然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵:
4.性质1
- 证明
5.性质2
- 证明
- 所以
- 得出
- 如果|A|=0,则A中两行元素相等或成比例,或一行元素为0,则其代数余子式必有一行元素为0,所以
所以等式成立。
逆矩阵
1.对于一个 n×n 的方阵 A,如果存在另一个 n×n的方阵 B,使得 AB=BA=E,其中 E 是 n×n 的单位矩阵,那么 B 称为 A 的逆矩阵,记作
2.逆矩阵的存在条件
1.一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的,即 det(A)≠0。如果 det(A)=0,则 A 是奇异矩阵,没有逆矩阵。
- 思考:如果A可逆,则可逆矩阵是唯一的
- 证明:
- 假设可逆矩阵不是唯一的,存在两个可逆矩阵B1和B2,则由可逆矩阵定义可知:
- 则:
所以可逆矩阵唯一。
2.性质
- n阶方阵A可逆的充要条件为
- 且当A可逆时,
- 证明:
(1)充分性:
- 因为
- 则
- 所以A可逆,并且
(2)必要性:
因为A可逆,则
- 所以
3.例子
- 有矩阵A:
- 问矩阵A是否可逆,如果可逆,求可逆矩阵
- 解:
- 所以A可逆
4.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵,那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为:
初等变换
1.初等变换一般可以分为两种类型:行变换、列变换。
2.初等行变换
- 交换两行:将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
如:矩阵第二行和第三行交换
- 某一行乘以非零常数:将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k
如:第二行乘以非零整数k
- 某一行加上另一行的倍数:将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍
如:矩阵第一行乘以-4加到第二行
3.初等列变换
- 交换两列:将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
- 某一列乘以非零常数:将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
- 某一列加上另一列的倍数:将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
矩阵的标准形
常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。
行阶梯形矩阵
1.行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式,具有以下特征:
- 非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。
- 主元:每一行的第一个非零元素(主元)在上一行主元的右边。
- 主元下方元素为零:每一行的主元下方元素都为零。
2.例如,以下矩阵是一个行阶梯形矩阵:
简单理解为:用折线表示,竖线只过一个数,横线可过多个数
下边的矩阵不是行阶梯形矩阵
化行阶梯形矩阵
1.简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式,具有以下特征:
- 非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。
- 主元为 1:每一行的第一个非零元素(主元)为 1。
- 主元下方元素为零:每一行的主元下方元素都为零。
- 主元上方元素为零:每一行的主元上方元素都为零。
即:
是行阶梯形矩阵;2.非0行的首非0元是1;3.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0
红色折线表示矩阵为行阶梯形矩阵;蓝色圆圈表示首非0元是1;黄色竖线表示首非0元所在列的其它元素都是0
2.例子
- 有矩阵A
求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵
- 解:
- 第1行和第2行交换,得到
- 第1行乘以-2加到第2行,第1行乘以-4加到第3行,第1行乘以-3加到第4行,得到
- 第2行乘以-10/3加到第3行,第2行加到第4行,得到
- 第3三行乘以3/8,得到
- 第3行乘以3加到第4行,得到一个阶梯形矩阵
- 第三行乘以-1,得到
- 第3行乘以-1加到第1行,第3行加到第2行
- 第2行乘以1/3加到第1行,得到
- 第2行乘以-1/3,得到一个行简化阶梯形矩阵
3.思考:行阶梯形矩阵是唯一的吗?行简化阶梯形矩阵是唯一的吗?
- 行阶梯形矩阵不是唯一的,上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵
- 如果只做初等行变换,行简化阶梯形矩阵是唯一的,因为不能再简化了
初等矩阵
1.初等矩阵是由单位矩阵通过一次(以下三种)初等行变换或初等列变换得到的矩阵。
- 交换两行(列):将单位矩阵的第 i 行和第 j 行(列)交换位置。
- 某一行(列)乘以非零常数 :将单位矩阵的第 i 行(列)乘以一个非零常数k。
- 某一行(列)加上另一行(列)的倍数:将单位矩阵的第 i 行(列)加上第 j 行(列)的 k 倍。
2.根据初等变换的类型,初等矩阵可以分为以下三种:
- 交换两行(列)的初等矩阵
交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行(列)得到的初等矩阵记作 Eij。例如,交换单位矩阵的第 1 行和第 2 行得到的初等矩阵为:
- 某一行(列)乘以非零常数的初等矩阵
将单位矩阵的第 i 行(列)乘以一个非零常数 k 得到的初等矩阵记作 Ei(k)。例如,将单位矩阵的第 2 行乘以 3 得到的初等矩阵为:
- 某一行(列)加上另一行(列)的倍数的初等矩阵
将单位矩阵的第i 行(列)加上第 j 行(列)的 k 倍得到的初等矩阵记作 Eij(k)。例如,将单位矩阵的第 2 行加上第 1 行的 2 倍得到的初等矩阵为:
将单位矩阵的第 2 列加上第 1 列的 2 倍得到的初等矩阵为:
3.初等矩阵的性质
初等矩阵具有以下重要性质:
(1)初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵:
- 交换两行(列)的初等矩阵的逆矩阵是它本身,即
- 例如,单位矩阵A:
- 交换第1行和第2行后的初等矩阵为
- B的行列式
B的伴随矩阵
B的逆矩阵
- 某一行(列)乘以非零常数的初等矩阵的逆矩阵是将该行(列)乘以 1/k,即
验证逻辑同上,略
- 某一行(列)加上另一行(列)的倍数的初等矩阵的逆矩阵是将该行(列)减去另一行(列)的 k 倍,即
验证逻辑同上,略
4.初等矩阵的行列式
- 交换两行(列)的初等矩阵的行列式为 -1。
- 某一行(列)乘以非零常数的初等矩阵的行列式为 k。
- 某一行(列)加上另一行(列)的倍数的初等矩阵的行列式为 1。
5.对矩阵A做一次行变换,相当于用同种初等矩阵左乘A
- 假设有矩阵A,交换第1行和第2行
- 等同于交换第1行和第2行的初等矩阵左乘矩阵A
6.对矩阵A做一次列变换,相当于用同种初等矩阵右乘A
验证逻辑同行变换
上述两个结论将初等变换转换成了等式运算,更方便进行运算。
矩阵的秩
阶子式
1.k阶子式是指从矩阵中选取 k 行和 k 列后形成的 k×k 子矩阵的行列式
2.矩阵 k 阶子式的计算方法
- 选取 k 行和 k 列 :从矩阵 AA 中选取 k 行和 k 列,形成一个 k×k 的子矩阵。
- 计算子矩阵的行列式:计算所选子矩阵的行列式,即为矩阵 A 的 k 阶子式。
3.例子
- 假设矩阵A
- 1阶子式:1,1,1,1
- 2阶子式:
- 3阶子式:
秩
1.矩阵的秩:非零子式的最高阶数,记作:r(A)
- 假设矩阵A
- 求矩阵A的秩
由16.1节计算的k阶子式可知,非零的子式有1阶和2阶;由秩的定义可知,非零子式的最高阶为2,所以矩阵A的秩为2,即r(A)=5。
2.秩的计算方法
通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的数量即为矩阵的秩。初等行或列变换不改变矩阵的秩。步骤:
- 将矩阵进行初等变换为行阶梯形矩阵
- 非零行的行数即为矩阵的秩
3.例子
- 假设矩阵A
- 求A的秩
- 解:
- 第1行乘以-2加到第2行,第1行乘以-3加到第3行,得到
- 第2行与第3行交换,得到
- 第2行乘以-1加到第4行,得到
- 第3行加到第4行,得到行阶梯形矩阵
- 所以矩阵A的秩r(A)=3
4.练习
- 假设矩阵A
- 已知r(A)=3,求k的值
- 解:
- 由r(A)=3,而矩阵是4阶可知,|A|=0,所以
- 所以 k=1或k=-3
- 如果k=1,带入矩阵
此时,r(A)=1,因此k=1不是解,所以k=-3