Codeforces Round 987 (Div. 2) 总结

A

常见的套路，将一个序列变为不下降序列所需要改变的值的最小数量，考虑最大能保留多少个，显然是求最长上升子序列，而这题给出的 \(a\) 序列保证不上升，所以只需要考虑相同长度的一段。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55;
int n;
int a[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int ans=0,len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]!=a[i-1]) ans=max(ans,len),len=1;
        else len++;
    }
    ans=max(ans,len);
    cout<<n-ans<<'\n';
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

B

考虑每个数 \(p_i\) 能否移动到 \(i\) 位置。

首先能交换的值只有 \(p_i-1\) 和 \(p_i+1\)，显然不能连续移动两次，不然比 \(p_i\) 大或小 \(1\) 的数一定不会到该到的位置。因此最多交换一次。再看是否能交换到自己想要的位置，如果有一个不能，那就不可行。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int n;
int a[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int st=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]<i&&!(i-a[i]==1&&a[a[i]]==a[i]+1)) st=0;  
        else if(a[i]>i&&!(a[i]-i==1&&a[a[i]]==a[i]-1)) st=0;
    }
    if(st) cout<<"Yes\n";
    else cout<<"No\n";
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

C

构造题，思路还是比较清晰的。

首先不难想到 \(1,1,2,2,3,3,\dots\) 这样的情况，所以 \(n\) 为偶数时一定成立。

再考虑奇数，由于任意两个相同的馅料之间的距离都要是完全平方数，考虑三个相同的，位置为 \(x,y,z\)，满足 \(y-x=a^2\)，\(z-y=b^2\)，\(z-x=c^2\)，且 \(a,b,c\) 都为正整数，因此有 \(c^2=a^2+b^2\)。

考虑最小的勾股数 \(3,4,5\)。令 \(x=1,y=10,z=26\)，这样剩下的位置就是偶数个，比较好构造了。下面给出一种构造方案：

\[ 1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,13,13,1,12,\dots \]

后面就按偶数的接下去就行了。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int n;
int a[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    if(n%2==0)
    {
        int cnt=1;
        for(int i=1;i<=n;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
    }
    else 
    {
        if(n>=27)
        {
            a[1]=a[10]=a[26]=1;
            int cnt=1;
            for(int i=2;i<=8;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
            for(int i=11;i<=21;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
            a[23]=a[27]=++cnt;
            a[24]=a[25]=++cnt;
            for(int i=28;i<=n;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
        }
        else 
        {
            cout<<-1<<'\n';
            return ;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
    cout<<'\n';
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

D

赛时的清奇想法。

首先发现能跳跃的两个位置是逆序对，因此考虑用并查集维护，并记录集合内最大值与最小值。

再考虑这样一种做法，先遍历一遍数组，目前遇到的最大值为 \(x\)，下标为 \(id\)，加入一个数 \(a_i\)。

若 \(a_i>=x\) 更新 \(x\) 和 \(id\)。
若 \(a_i<x\) 那么就合并 \(i\) 和 \(id\)。

以最后一组样例为例：

用 \(mx_i\) 表示集合 \(i\) 中最大的 \(a_i\)，\(mi_i\) 表示最小值。

然后考虑合并不同集合，从后往前，如果出现两个不同集合 \(i,j\) 且 \(i<j\)。由前面的过程易知 \(mx_i \le mx_j\)，如果 \(mx_i>mi_j\)，就说明这两个集合可以合并。

那有没有可能出现不是相邻的集合合并呢？答案是否定的，考虑 \(k,i,j\) 三个集合，\(mx_k \le mx_i \le mx_j\)，如果 \(i\) 与 \(j\) 不能合并，则 \(mx_i \le mi_j\)，就会有 \(mx_k \le mx_i \le mi_j\)，显然 \(k\) 与 \(j\) 不能合并。因此每个集合都只能和相邻的集合合并。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
int n;
int a[N],ans[N];
int fa[N],mi[N],mx[N];
int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
    x=fa[x],y=fa[y];
    fa[y]=x;
    mi[x]=min(mi[x],mi[y]);
    mx[x]=max(mx[x],mx[y]);
}
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        cin>>a[i];
        fa[i]=i;
        mi[i]=mx[i]=a[i];
    }
    int x=a[1],id=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    {
        if(a[i]<x) merge(id,i);
        else x=a[i],id=i;
    }
    
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        if(find(i)!=find(i+1)&&mi[find(i+1)]<mx[find(i)])
            merge(i,i+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<mx[find(i)]<<' ';
    cout<<'\n';
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}