MATLAB求解带绝对值的规划问题

对于带有绝对值的非线性规划问题，尽量进行手工线性化再根据线性规划的方法去做。

例如：

对于 ∣ x i ∣ \vert x_i \vert ∣xi∣,我们无法运用正常的线性规划方式进行求解，因此我们可以进行变量变换，将模型转换为线性规划模型。

我们可以用两个线性规划变量来表示，令 u i = x i + ∣ x i ∣ 2 , v i = ∣ x i ∣ − x i 2 , i = 1 , 2 , 3 , 4 u_i= \dfrac {x_i+\vert x_i \vert} 2,v_i=\dfrac {\vert x_i \vert-x_i} 2,i=1,2,3,4 ui=2xi+∣xi∣,vi=2∣xi∣−xi,i=1,2,3,4

令 u u u= u 1 , u 2 , u 3 , u 4 T , v = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 T u_1,u_2,u_3,u_4^T,v=v_1,v_2,v_3,v_4^T u1,u2,u3,u4T,v=v1,v2,v3,v4T

则转换成的线性规划模型为：
m i n min min c T ( u + v ) c^T(u+v) cT(u+v)
s t st st { A ( u − v ) ≤ b u , v ≥ 0 \left\{ \begin{matrix} A(u-v)\leq b \\ u,v\geq0 \end{matrix} \right. {A(u−v)≤bu,v≥0

所以我们在线性规划方程中添加一个变量就可以了。

c=[1,2,3,4];b=[-2;-1;-1/2];
a=[1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3];
prob=optimproblem('ObjectiveSense','min');//目标函数最小化，也可以写成prob=optimproblem;
u=optimvar('u',4,'LowerBound',0)//决策变量
v=optimvar('v',4,'LowerBound',0)//决策变量
prob.Objective=sum(c*(u+v))//目标函数
prob.Constraints.con=a*(u-v)<=b//约束条件
[sol,fval,flag,out]=solve(prob)//fval返回了最优值
x=sol.u-sol.v//求出xi的值

结果为

则最优解为 x 1 = − 2 , x 2 = x 3 = x 4 = 0 x_1=-2,x_2=x_3=x_4=0 x1=−2,x2=x3=x4=0.

最优值 f v a l = 2 fval=2 fval=2.