数值分析：线性方程组的直接解法（上）

提纲

1. 背景介绍
2. 三角方程组
3. Gauss消去法
4. 附录

一、背景介绍

1.1 线性方程组的相关概念

线性方程组在解决现实师姐问题中直接产生，最小二乘数据拟合、微分方程边值问题和初边值问题的数值解产生了大量的线性方程组。

线性方程组系数矩阵的类型分别有

1. 稠密型(dense)：几乎所有元素都是非零的
2. 稀疏型(sparse)：有大量零元素
3. 带状的(banded)
4. 三角状(triangular)
5. 块状的(block structure)

解线性方程组的方法可以分为两类

1. 直接法 (direct method)
   经过有限步四则运算可球的方程组准确解的方法
2. 迭代法 (iterative method)
   从一个近似值出发，构造某种算法，使其逐步接近准确解

大多科学计算应用经过建模和数值离散后，都可归结为如下两种形式方程组的求解：
方程组形式

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} \]

矩阵形式

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ &&\cdots&\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \]

\(Ax=b\)有唯一解\(\iff A\)非奇异

C++中的线性方程组

---

在线性代数中，一矩阵的尺寸通常称为阶数 (order)或维度 (dimension)。以下示例代码在主函数中定义了稀疏矩阵\(A\)，常向量\(b\)和解向量\(x\)。

在**Eigen** 库中，可以采用Eigen::MatrixXd表示矩阵类型，采用Eigen::VectorXd表示向量类型。矩阵和向量的尺寸可以在创建时进行设定。

需要注意的是，Eigen 库只中Eigen::VectorXd默认为列向量，如果需要将其作为行向量进行运算，需要在使用时进行转置，例如：X.transpose()
即使没有硬性的要求，但还是建议读者使用const size_t类型的变量单独存储矩阵的尺寸，这将使得代码维护变得更容易。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

int main() {
    // 矩阵的阶数
    const size_t order = 6;

    // 定义系数矩阵 A
    Eigen::MatrixXd A(order, order); // 指定尺寸为 order * order
    // 定义常向量 b
    Eigen::VectorXd b(order);  // 指定尺寸为 order * 1 
    // 定义解向量 x
    Eigen::VectorXd x(order); // 指定尺寸为 order * 1
}

采用直接法求解线性方程组的求解器通常包含三个输入，即：系数矩阵\(A\)、常向量\(b\)和解向量\(x\)。

在进行求解前，首先应当检查输入是否符合求解器要求，例如针对上三角矩阵的求解器需要检查系数矩阵是否为上三角矩阵；一般的，输入应满足三个要求：

1. 系数矩阵\(A\)为方阵
2. 系数矩阵\(A\)的行数等于常向量\(b\)的行数
3. 系数矩阵\(A\)的列数等于解向量\(x\)的行数

矩阵的行数可以通过.rows()方法得到

矩阵的列数可以通过.cols()方法得到
该方法对于向量同样适用，特别的，向量的列数总是1

以下给出参考的实现：

void size_check(const Eigen::MatrixXd& A,
    const Eigen::VectorXd& b,
    const Eigen::VectorXd& x)
{
    // 检查A是否为方阵
    if (A.rows() != A.cols()) {
        throw std::invalid_argument("Error: The coefficient matrix of the system of equations is not a square matrix.");
    }
    // 检查系数矩阵A的尺寸是否与常向量b的尺寸匹配
    if (A.rows() != b.rows()) {
        throw std::invalid_argument("Error: The order of the coefficient matrix A does not match the order of the constant vector b.");
    }
    // 检查系数矩阵A的尺寸是否与解向量x的尺寸匹配
    if (A.cols() != x.rows()) {
        throw std::invalid_argument("Error: The order of the coefficient matrix A does not match the order of the solution vector x.");
    }
}

void solve(const Eigen::MatrixXd& A,
    const Eigen::VectorXd& b,
    Eigen::VectorXd& x) 
{
    // 检查尺寸是否合适
    size_check(A, b, x);
    
    // 求解
    // ...
}

在实际实现时有几个应注意的细节

为什么不将解向量\(x\)作为输出？

将解向量\(x\)作为输出的函数的使用方式为：ans=solve(A,b)，如果返回值的尺寸与变量ans的尺寸不一致则会导致程序错误。为了避免该问题，必须在创建变量ans时设置尺寸，并在求解前检查尺寸，伪代码如下

Eigen::VetorXd x(order);

if (x.rows() == A.cols()) { // 尺寸检查
    x = solve(A,b);
}

显然，形如ans=solve(A,b,x)的求解器更为易用，其类型检查可以在函数内部完成，这带来了更好的封装性、可维护性。

在必要的时候添加&和const关键字

在传递函数参数时，&关键字表明了该传参方式为引用传参，区别于普通传参，引用传参方式使得函数无需在其内部拷贝一个副本，而是可以直接在原变量上进行操作。无需拷贝副本显著降低了程序的性能开销。

对于普通传参，const关键字表明内部拷贝的副本为常变量。对于引用传参，const关键字表明该函数不具有修改该变量的权限，只具备读取（访问）的权限。

三角方程组

下三角方程组

---

\[\begin{bmatrix} a_{11} &&&\\ a_{21} & a_{22} &&\\ \vdots&&\ddots&\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \]

解法：前代法(Forward substitution)

\[\begin{cases} x_1 = b_1/a_{11}\\ x_2 = (b_2-a_{21}x_1)/a_{22}\\ \cdots\\ x_i = (b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j)/a_{ii}, i=1,2,\cdots,n \end{cases} \]

下三角矩阵判断
**Eigen**库并没有提供直接的判断矩阵是否为下三角矩阵的方法，因此采用了如下的判断方法：

1. 首先提取矩阵的严格上三角部分（不包含对角线）
2. 判断其是否全部为零，如果严格上三角部分全部为零，那么其为下三角矩阵

前代法求解

1. 检查输入尺寸是否匹配
2. 判断系数矩阵是否为下三角矩阵
3. 采用前代法求解。

\[\begin{align*} x_i = (b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j)/a_{ii}, i=1,2,\cdots,n \tag{2.1} \end{align*} \]

外层循环用于遍历解向量\(x\)的每个元素，从下标0开始，遍历至下标n-1结束。循环内部分布实现式\((2.1)\)的计算，对于求和部分，嵌套内层循环实现。

矩阵/向量元素访问

在访问矩阵/向量的元素时元素，采用括号运算符进行访问。

#include "check.h"

bool isLowerTriangular(const Eigen::MatrixXd& A) {
    // 获取矩阵的严格上三角部分（不包括对角线）
    Eigen::MatrixXd upperTriangularPart = A.triangularView<Eigen::StrictlyUpper>();

    // 检查严格上三角部分是否全为零
    return upperTriangularPart.isZero();
}

void forward_substitution(const Eigen::MatrixXd& A,
    const Eigen::VectorXd& b,
    Eigen::VectorXd& x) 
{
    // 检查尺寸是否匹配
    size_check(A, b, x);
    // 判断系数矩阵是否为下三角矩阵
    if (!isLowerTriangular(A)) {
        throw std::invalid_argument("Error: The matrix is not lower triangular.");
    }

    for (size_t i = 0; i < A.rows(); ++i) {
        x(i) = b(i);
        for (size_t j = 0; j + 1 <= i; ++j) { // j < i - 1
            x(i) -= A(i, j) * x(j);
        }
        x(i) /= A(i, i);
    }
}

注意事项

应当注意C++中的数组索引是从0开始的，**Eigen**库也沿用了这一习惯。
在求和\(\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j\)的实现中，很容易错误的使用j<=i-1作为循环的终止条件，这实际上有一个风险，当i=0的时候，i-1并不是-1，而是最大的size_t类型的数，这将导致终止条件错误，因此，应当用j+1<=i

上三角方程组

---

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ &&\ddots&\vdots\\ &&&a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \]

解法：回代法(Back substitution)

\[\begin{cases} x_n = b_n/a_{nn}\\ x_{n-1} = (b_{n-1}-a_{n-1,n}x_n)/a_{n-1,n-1}\\ \cdots\\ x_i = (b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j)/a_{ii}, i=n,n-1,\cdots,1 \end{cases} \]

上三角矩阵判断
**Eigen**库并没有提供直接的判断矩阵是否为上三角矩阵的方法，因此采用了如下的判断方法：

1. 首先提取矩阵的严格下三角部分（不包含对角线）
2. 判断其是否全部为零，如果严格下三角部分全部为零，那么其为上三角矩阵

回代法求解

1. 检查输入尺寸是否匹配
2. 判断系数矩阵是否为上三角矩阵
3. 采用回代法求解。

\[\begin{align*} x_i = (b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j)/a_{ii}, i=n,n-1,\cdots,1 \tag{2.2} \end{align*} \]

外层循环用于遍历解向量\(x\)的每个元素，从下标n-1开始，遍历至下标0结束。循环内部分布实现式\((2.2)\)的计算，对于求和部分，嵌套内层循环实现。

bool isUpperTriangular(const Eigen::MatrixXd& A) {
    // 获取矩阵的严格下三角部分（不包括对角线）
    Eigen::MatrixXd lowerTriangularPart = A.triangularView<Eigen::StrictlyLower>();

    // 检查严格下三角部分是否全为零
    return lowerTriangularPart.isZero();
}

void back_substitution(const Eigen::MatrixXd& A,
    const Eigen::VectorXd& b,
    Eigen::VectorXd& x)
{
    // 检查尺寸是否匹配
    size_check(A, b, x);
    // 判断系数矩阵是否为上三角矩阵
    if (!isUpperTriangular(A)) {
        throw std::invalid_argument("Error: The matrix is not upper triangular.");
    }

    size_t n = A.rows();
    for (size_t i = n - 1; i != size_t(-1); --i) { // i != -1
        x(i) = b(i);
        for (size_t j = i + 1; j <= n - 1; ++j) {
            x(i) -= A(i, j) * x(j);
        }
        x(i) /= A(i, i);
    }
}

注意事项

外层循环的遍历是从下标n-1开始，遍历至下标0结束；一般习惯性的写法是，以i>=0作为实际条件，但应当注意，size_t类型是非负的，事实上，对于size_t类型的变量，当其值为0时再做-1，其值为size_t(-1)，因此，可以采用i!=size_t(-1)作为截止条件

高斯消元法

一般高斯消元法

---

高斯消元法 （Gaussian Elimination）是一种用于求解线性方程组的经典方法。它通过逐步消去未知数，将方程组化为上三角形式，然后通过回代法求解未知数。高斯消元法主要分为两个步骤：前向消元和后向回代，本文中将以前向消元为例展开讨论。

前向消元（Forward Elimination）

前向消元法是从第一列开始，通过一些列的行变换，逐渐将原矩阵变换为一个上三角矩阵。假定矩阵的尺寸为\(N*N\)，那么高斯消元法需要进行\(N-1\)次，在第\(i\)时执行如下操作：

1. 选择主元：选择第\(i\)列的元素\(A_{i,i}\)作为主元
2. 消去操作：通过将第\(i\)行的适当倍数加到其他行，使得当前列的其它元素变为零。

消去操作的公式如下：

\[\begin{cases} m_{ik}&={a_{ik}^{(k)}}/{a_{kk}^{(k)}}\\ a_{ij}^{(k+1)}&=a_{ij}^{(k)}-m\cdot a_{kj}^{(k)}\\ b_{i}^{(k+1)}&=b_{i}^{(k)}-m\cdot b_{k}^{(k)}\\ k=1,2,\dots,n-1\\ i,j=k+1.\dots,n \end{cases}\tag{3.1} \]

矩阵的第一步消元过程可以参考以下公式：

\[\left[ \begin{array}{cccc|c} a_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} &\cdots &a_{1n}^{(1)}&b_1^{(1)}\\ a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)} &\cdots &a_{2n}^{(1)}&b_2^{(1)}\\ &&\cdots&&\vdots\\ a_{n1}^{(1)} & a_{n2}^{(1)} &\cdots &a_{nn}^{(1)}&b_n^{(1)}\\ \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{cccc|c} a_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} &\cdots &a_{1n}^{(1)}&b_1^{(1)}\\ 0 & a_{22}^{(2)} &\cdots &a_{2n}^{(2)}&b_2^{(2)}\\ &&\cdots&&\vdots\\ 0 & a_{n2}^{(2)} &\cdots &a_{nn}^{(2)}&b_n^{(2)}\\ \end{array} \right] \]

在下述程序中，采样行向量相减的方式实现高斯消元法，相较于逐个元素相减，代码更简洁易懂，易维护。

void simple_gauss_elimination(Eigen::MatrixXd& A, Eigen::VectorXd& b) {
	// 检查尺寸是否匹配
	size_check(A, b);
	
	size_t n = A.rows();
	// 逐步消元为上三角矩阵
	for (size_t k = 0; k < n - 1; ++k) {
		// 提取矩阵的第k行
		Eigen::VectorXd temp = A.row(k);
		// 将第i列索引大于i的元素消为0
		for (size_t i = k + 1; i < n; ++i) {
			// 计算比值
			double m = A(i, k) / A(k, k);
			// 消元
			A.row(i) -= m * temp;
			b(i) -= m * b(k);
		}
	}
}

改进的高斯消元法

---

若\(a^{(k)}{kk}\to 0\)，则\(m=a{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(0)}\to\infty\)，此时直接用高斯消元法求解线性方程组是会由于舍入误差的扩大，而导致解失真。

因此在原高斯消元法的基础上，可以做改进，新增主元的选择过程，该方法称为列主元法，具体流程如下：

1. 寻找第\(k\)列中第\(k\)行到第\(n\)行最大的元素，记为\(a_{jk}\)

\[\text{pivot}=\max_{k\leq i\leq n}\big|A(i,k)\big| \]

2. 将第\(j\)行与第\(k\)行交换
3. 进行高斯消元法

void gauss_elimination(Eigen::MatrixXd& A, Eigen::VectorXd& b) {
	// 检查尺寸是否匹配
	size_check(A, b);

	size_t n = A.rows();
	// 逐步消元为上三角矩阵
	for (size_t k = 0; k < n; ++k) {
		// 选择主元
		size_t j = k;
		double max = abs(A(j, k)); 
		for (size_t i = k + 1; i < n; ++i) {
			double d = abs(A(i, k));
			if (d > max) { // 选择绝对值最大的元素
				j = i; max = d;
			}
		}
		// 交换主元
		if (j != k) {
			Eigen::VectorXd temp = A.row(j);
			A.row(j) = A.row(k);
			A.row(k) = temp;
			double temp_b = b(j);
			b(j) = b(k);
			b(k) = temp_b;
		}
		// 将第i列索引大于i的元素消为0
		for (size_t i = k + 1; i < n; ++i) {
			// 计算比值
			double m = A(i, k) / A(k, k);
			// 消元
			A.row(i) -= m * A.row(k);
			b(i) -= m * b(k);
		}
	}
}

注意事项

对方程\(Ax=b\)的系数矩阵\(A\)和常向量\(b\)同时做行变换时，方程的解\(x\)不变。

基于高斯消元法的一般线性方程求解

---

对于一般的线性方程组，可以先用高斯消元法将系数矩阵转化为上三角矩阵，再通过回代法求解。

void gauss_solve(Eigen::MatrixXd A,
    Eigen::VectorXd b,
    Eigen::VectorXd& x)
{
    // 检查尺寸是否匹配
    size_check(A, b, x);
    // 高斯消元法转为上三角矩阵
    gauss_elimination(A, b);
    // 通过回代法求解
    back_substitution(A, b, x);
}

注意事项

切忌舍本逐末，虽然添加引用修饰符可以一定程度上提升性能，但是这会导致稀疏矩阵\(A\)和常向量\(b\)被修改，而用户往往容易忽略这一点，因此为了保证安全性 ，此处不使用引用传参。
截止到目前，对系数矩阵\(A\)为下三角形矩阵的线性方程组有两种求解方法，一种是采用前代法 ，一种是采用高斯消元结合回代法 ，在附录中我们对同一组数据采用两种方法分别计算结果，进行交叉验证。

附录

功能测试方法

---

构建函数（方法）的测试程序流程如下：

1. 从函数（方法）的名称中提取缩写，作为名声空间的前缀
2. 定义测试函数，命名为test()，如果需要可以设计多个，例如：test1(), test2()
3. 实现测试函数，一般来说，有以下步骤：①生成数据，②调用方法，③打印数据以及结果
4. 在主函数中，调用该名声空间下的测试函数test()，一般需要使用try-catch结构

示例代码如下：

namespace SMP{
    void test() {
        std::cout << "Hello World!";
    }
}

int main() {
    try{
        SMP::test();
    }
    catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Error: " << e.what() << std::endl;
    }
}

在后续的附录内容中，将省略main函数的设计，读者只需按照上述方法调用即可。

前代法测试

---

namespace FWD{
    // test for forward_substitution()
    void test() { // 矩阵的阶数
        const size_t order = 5;

        // 定义系数矩阵 A
        Eigen::MatrixXd A(order, order);
        // 定义常向量 b
        Eigen::VectorXd b(order);
        // 定义解向量 x
        Eigen::VectorXd x(order);

        // 设置矩阵为随机数
        A.setRandom();
        b.setRandom();

        // 处理为方便手算的数字
        A = (1.5 + A.array()) * 2;;
        b *= 10;
        A = A.array().round().matrix();
        b = b.array().round().matrix();

        // 将严格上三角部分设置为零，使其成为下三角矩阵
        A.triangularView<Eigen::StrictlyUpper>().setZero();

        // 前代法
        forward_substitution(A, b, x);

        // 输出结果
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";
        std::cout << "x=\n" << x << "\n";
    }
}

效果展示

程序的输出如下图所示（经过拼接），经检验，该计算结果正确（读者感兴趣的可以手算一下试试）。

回代法测试

---

namespace BCK{
    // test for back_substitution()
    void test() { // 矩阵的阶数
        const size_t order = 5;

        // 定义系数矩阵 A
        Eigen::MatrixXd A(order, order);
        // 定义常向量 b
        Eigen::VectorXd b(order);
        // 定义解向量 x
        Eigen::VectorXd x(order);

        // 设置矩阵为随机数
        A.setRandom();
        b.setRandom();

        // 处理为方便手算的数字
        A = (1.5 + A.array()) * 2;;
        b *= 10;
        A = A.array().round().matrix();
        b = b.array().round().matrix();

        // 将严格下三角部分设置为零，使其成为上三角矩阵
        A.triangularView<Eigen::StrictlyLower>().setZero();

        // 回代法
        back_substitution(A, b, x);

        // 输出结果
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";
        std::cout << "x=\n" << x << "\n";
    }
}

效果展示

程序的输出如下图所示（经过拼接），经检验，该计算结果正确.

一般高斯消元法测试

---

namespace S_GSE {
    // test for simple_gauss_elimination
    void test() { // 矩阵的阶数
        const size_t order = 5;

        // 定义系数矩阵 A
        Eigen::MatrixXd A(order, order);
        // 定义常向量 b
        Eigen::VectorXd b(order);

        // 设置矩阵为随机数
        A.setRandom();
        b.setRandom();

        // 调整显示精度为小数点后两位
        std::cout << std::fixed << std::setprecision(2);

        // 输出消元前矩阵
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";

        // 前代法
        simple_gauss_elimination(A, b);

        // 输出消元后矩阵
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";
    }
}

效果展示

程序的输出如下图所示（经过拼接），显示精度为小数点后两位；经检验，该计算结果正确.

列主元法改进的高斯消元法测试

---

namespace GSE {
    // test for simple_gauss_elimination
    void test() { // 矩阵的阶数
        const size_t order = 5;

        // 定义系数矩阵 A
        Eigen::MatrixXd A(order, order);
        // 定义常向量 b
        Eigen::VectorXd b(order);

        // 设置矩阵为随机数
        A.setRandom();
        b.setRandom();

        // 调整显示精度为小数点后两位
        std::cout << std::fixed << std::setprecision(2);

        // 输出消元前矩阵
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";

        // 前代法
        gauss_elimination(A, b);

        // 输出消元后矩阵
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";
    }
}

程序的输出如下图所示（经过拼接），显示精度为小数点后两位；经检验，该计算结果正确.

高斯+回代法求解

---

namespace GS_SOLVE{
    void test1() {
        const size_t order = 5;

        Eigen::MatrixXd A(order, order);
        Eigen::VectorXd b(order);
        Eigen::VectorXd x(order);

        // 设置矩阵为随机数
        A.setRandom();
        b.setRandom(); b = (1.0 + b.array()) * 5;

        // 前代法
        gauss_solve(A, b, x);

        // 输出结果
        std::cout << std::fixed << std::setprecision(2);
        std::cout << "A=\n" << A << "\n";
        std::cout << "b=\n" << b << "\n";
        std::cout << "x=\n" << x << "\n";
    }

    void test2() {
        const size_t order = 5;

        Eigen::MatrixXd A(order, order);
        Eigen::VectorXd b(order);
        Eigen::VectorXd x1(order);
        Eigen::VectorXd x2(order);

        // 设置矩阵为随机数
        A.setRandom();
        b.setRandom(); b = (1.0 + b.array()) * 5;

        // 将上三角部分设置为零，使其成为下三角矩阵
        A.triangularView<Eigen::StrictlyUpper>().setZero();

        // 高斯
        gauss_solve(A, b, x1);
        // 前代法
        forward_substitution(A, b, x2);

        // 输出结果
        std::cout << std::fixed << std::setprecision(2);
        std::cout << "GS_solve:\n" << "x1=\n" << x1 << "\n";
        std::cout << "back_stt:\n" << "x2=\n" << x2 << "\n";
    }
}

测试1

函数GS_SOLVE::test1()用于测试高斯求解是否能够正常工作，该程序的输出如下图所示（经过拼接），显示精度为小数点后两位；经检验，该计算结果正确.

测试2

函数GS_SOLVE::test2()采用交叉验证法，分别采用前代法 ，一种是采用高斯消元结合回代法 求解系数矩阵\(A\)为下三角矩阵的线性方程组，并对比计算结果；经检验，结果各方面功能正常。