矩阵论-第三章：矩阵的标准型

1.哈密顿-凯莱定理

定义：每个 n 阶矩阵都是它的特征多项式的根

特征多项式：f(A) = |...|=...，λ 为特征值

2. 简化运算

又因为哈密顿-凯莱定理可知，f(A) = 0，所以化简后等于 r(A)

3.例题-简化矩阵计算

定义： 当你看到需要计算一个很长的公式的时候，你就可以往哈密顿-凯莱定理 +简化计算 上思考。
方法：

1. 利用求特征值的方法|...|得到形如 f(A) = A... 的方程。
2. 然后将长的计算公式假设为 φ(A)，然后除以 f(A)，得到余项，而 f(A) 本身就等于 0 ，所以 φ(A) ＝ 余项
   
   第二问求A逆
   方法： 第二问所求的 A-1，应该是一个包含 A 和 E 的表达式，我们可以利用求秩的表达式求解。------>将单独 E 想办法转到右边，A 进行提出，就能够很快速地求解 A-1 了
   
   第三问：求较长计算式的逆
   方法： 较长计算式一般等于余项，相当于求余项的逆，将余项往 |...| 公式里去凑即可**【凑+哈密顿-凯莱定理即可】**
   

4.最小多项式

概念上： 分为特征多项式（f(A)=|...|=...）、零化多项式、最小多项式；最小多项式相当于在零化多项式的基础至少，加了一个首项系数为1的条件。
特点上： 特征多项式和最小多项式的根完全一样，所以要找到最小多项式，首先得找到特征多项式，然后再加上一个条件即可。

5.例题-求最小多项式

从特征多项式------>最小多项式的关键：将矩阵代入多项式后，验证多项式的值是否为 0，为0，则证明满足最小多项式

6.Jordan 标准型

7.Smith 标准型