切映射
设曲面有参数化表示 S : r ( u , v ) , S ~ : r ~ ( u ~ , v ~ ) S:r(u,v),\tilde{S}:\tilde{r}(\tilde{u},\tilde{v}) S:r(u,v),S~:r~(u~,v~),设 σ : D → D ~ \sigma:D\to\tilde{D} σ:D→D~使得
σ ( u , v ) = ( u ~ , v ~ ) \sigma(u,v)=(\tilde{u},\tilde{v}) σ(u,v)=(u~,v~)是光滑双射。 P P P是 S S S上一点。
若 S 上的曲线 γ ( t ) = r ( u ( t ) , v ( t ) ) \begin{array}{c}S_\text{上的曲线 }\gamma(t)=r(u(t),v(t))\end{array} S上的曲线 γ(t)=r(u(t),v(t))使得 γ ( 0 ) = P , γ ′ ( 0 ) = ( a r u + b r v ) ∣ t = 0 ∈ T P S \gamma(0)=P,\gamma^{\prime}(0)=\left(ar_u+br_v\right)|_{t=0}\in T_PS γ(0)=P,γ′(0)=(aru+brv)∣t=0∈TPS。
记 γ ~ ( t ) = σ ∘ γ ( t ) \tilde{\gamma}(t)=\sigma\circ\gamma(t) γ~(t)=σ∘γ(t),则由链式法则
γ ~ ′ ( 0 ) = ( u t , v t ) J σ ( r ~ u ~ r ~ v ~ ) ∣ t = 0 = ( a , b ) J σ ( r ~ u ~ r ~ v ~ ) ∣ t = 0 \left.\tilde{\gamma}^{\prime}(0)=(u_t,v_t)J_\sigma\left.\begin{pmatrix}\tilde{r}{\tilde{u}}\\\tilde{r}{\tilde{v}}\end{pmatrix}\right.\right|{t=0}=(a,b)J\sigma\left.\begin{pmatrix}\tilde{r}{\tilde{u}}\\\tilde{r}{\tilde{v}}\end{pmatrix}\right|_{t=0} γ~′(0)=(ut,vt)Jσ(r~u~r~v~) t=0=(a,b)Jσ(r~u~r~v~) t=0
只与 σ \sigma σ和 γ ~ \tilde{\gamma} γ~有关，不依赖于曲线 γ \gamma γ的选取。
因此 σ : S → S ~ \sigma:S\to\tilde{S} σ:S→S~诱导出了两个曲面对应点处切空间的线性映射 σ ∗ : T P S → T σ ( P ) S ~ , ∀ P \sigma_*:T_PS\to T_{\sigma(P)}\tilde{S},\forall P σ∗:TPS→Tσ(P)S~,∀P使得在基上有
σ ∗ ( r u r v ) = J σ ( r ~ u ~ r ~ v ~ ) \sigma_*\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=J_\sigma\begin{pmatrix}\tilde{r}{\tilde{u}}\\\tilde{r}{\tilde{v}}\end{pmatrix} σ∗(rurv)=Jσ(r~u~r~v~)
称为 σ \sigma σ诱导的切映射。
其中
J σ = ( u ~ u v ~ u u ~ v v ~ v ) J_\sigma=\begin{pmatrix}\tilde{u}_u&\tilde{v}_u\\\tilde{u}_v&\tilde{v}_v\end{pmatrix} Jσ=(u~uu~vv~uv~v)