2053C - Bewitching Stargazer

简化题意

一个$ 1至n $的区间，如果其长度是奇数，$ans $+=$ mid$,再分为两个区间$l$~$mid-1$和$mid+1$~$r$,否则分为$l$~$mid$和$mid+1$~$r$，再次进行操作。直到长度小于$k$。

Solution

我们可以先举个例子，例如$n = 22, k = 4$

第一轮，$1$~$11$, $12$~$22$, $ans = 0$

第二轮，$1$~$5$, $7$~$11$, $12$~$16$, $18$~$22$，$ans = 0 + 6 + 17 = 23$

第三轮，$1$~$2$, $4$~$5$, $7$~$8$, $10$~ $11$ ， $12$ ~$13$, $15$~$16$, $18$~$19$, $21$~$22$，$ans = 23 + 3 + 9 + 14 + 20 = 23 + 46 = 69$

结束

我们可以发现，在第一轮过后，左右区间的操作一定是固定的，因为左右两端的奇偶性是相同的，并且可以初步得出结论，每一轮减的数能被$n+1$整除，除了第一轮。进一步我们可以发现减的数和轮数的关系是呈现$2$的幂次的关系，次数分别是$1/2, 1, 2, 4, 8...$

结语

我承认确实没有那么难，但半夜打比赛也太困了，此方法没有严谨的数学证明（我不会），纯属个人感性理解。

code(摘自codeforces)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
 
using namespace std;
 
int T;
int n, k;
 
signed main() {
	cin >> T;
	while (T--) {
		cin >> n >> k;
		int mul = n + 1, sum = 0, cur = 1;
		while (n >= k) {
			if (n & 1) sum += cur;
			n >>= 1;
			cur <<= 1;
		}
		cout << mul * sum / 2 << endl;
	}
	return 0;
}