从股市走势到动态规划：探索最大子数组和问题
生活中的算法
想象你是一位股票交易员，手上有一支股票的每日涨跌数据。你想找出哪段连续的交易日能获得最大的收益。如果某天股票上涨5元，我们记为+5，下跌3元记为-3。找出总和最大的一段连续交易日，就是在寻找最大子数组和。
这个问题在现实生活中很常见。比如分析用户活跃度的波动趋势，研究气温变化的最大累积效应，或是评估企业连续几个月的盈利表现。
问题描述
LeetCode第53题"最大子数组和"是这样描述的：给你一个整数数组 nums，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
例如：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
最直观的解法：暴力枚举
最容易想到的方法是：枚举所有可能的子数组，计算它们的和，找出最大值。
让我们用一个简单的例子来理解：
nums = [1,-2,3,-1]
检查子数组 [1]：和为1
检查子数组 [1,-2]：和为-1
检查子数组 [1,-2,3]：和为2
检查子数组 [1,-2,3,-1]：和为1
检查子数组 [-2]：和为-2
...依此类推
找到最大和为3，对应子数组[3]
优化解法：动态规划
仔细思考会发现，我们在计算每个位置结尾的最大子数组和时，只需要关注前一个位置的最大子数组和是否值得接续。
类似继承资产，如果之前继承的是正资产，不管多还是少，有总比没有好。我在之前的资产基础上，加上我目前的资产或者负债。
可要是之前继承的是一笔负债，那我宁可不要，选择白手起家。
动态规划的原理
- 定义dp[i]为以第i个数结尾的最大子数组和
- 如果前面的和是正数，就值得接续；如果是负数，就重新开始
- 状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
- 最终答案是dp数组中的最大值
算法步骤演示
用nums = [1,-2,3,-1]演示这个过程：
1. 处理1：
dp[0] = 1
当前最大和 = 1
2. 处理-2：
dp[1] = max(1-2, -2) = -1
当前最大和 = 1
3. 处理3：
dp[2] = max(-1+3, 3) = 3
当前最大和 = 3
4. 处理-1：
dp[3] = max(3-1, -1) = 2
最终最大和 = 3
Java代码实现
java
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return 0;
}
// dp[i]表示以i结尾的最大子数组和
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
int maxSum = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// 状态转移：要么接续前面的和，要么重新开始
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
// 更新全局最大和
maxSum = Math.max(maxSum, dp[i]);
}
return maxSum;
}进一步优化：空间优化
观察发现，我们其实只需要前一个状态的值，不需要保存整个dp数组。
java
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return 0;
}
int currentMax = nums[0];
int maxSum = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
currentMax = Math.max(currentMax + nums[i], nums[i]);
maxSum = Math.max(maxSum, currentMax);
}
return maxSum;
}解法比较
让我们比较这些解法：
暴力枚举：
- 时间复杂度：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 优点：直观易懂
- 缺点：效率较低
动态规划：
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
- 优点：高效且易于理解
- 缺点：需要额外空间
空间优化版：
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
- 优点：时空效率都很高
- 缺点：代码不如dp数组版直观
扩展思考
这道题目启发我们：
- 当遇到"最大"/"最小"类型的问题时，考虑动态规划
- 寻找问题中的递推关系
- 关注是否可以优化空间复杂度
- 注意处理负数的情况
类似的问题还有：
- 买卖股票的最佳时机
- 乘积最大子数组
- 环形子数组的最大和
小结
通过最大子数组和这道题，我们不仅学会了一个经典的动态规划问题的解法，更重要的是理解了如何将复杂问题分解为子问题，并利用子问题的解构建最终答案。这种思维方式在解决其他动态规划问题时也会很有帮助。
记住，当遇到需要求解"最大连续和"类型的问题时，动态规划往往能提供一个优雅而高效的解决方案！
作者：忍者算法
公众号：忍者算法
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