5.【线性代数】—— 转置，置换和向量空间

五 转置，置换和向量空间

• • [1. 置换矩阵](#1. 置换矩阵)
  • [2. 转置矩阵](#2. 转置矩阵)
  • [3. 对称矩阵](#3. 对称矩阵)
  • [4. 向量空间](#4. 向量空间)
  • • • [4.1 向量空间](#4.1 向量空间)
      • [4.2 子空间](#4.2 子空间)

1. 置换矩阵

定义： 用于行互换的矩阵P。

之前进行A=LU分解时，可能存在该行主元为0，要进行行互换，即PA=LU

性质： P − 1 = P T P^{-1} = P^{T} P−1=PT， P T P = I P^{T}P=I PTP=I

例子：

1 0 0 0 1 0 0 0 1 \] \[ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 \] . . . \\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 0\&1\&0\\\\ 0\&0\&1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0\&1\&0\\\\ 1\&0\&0\\\\ 0\&0\&1 \\end{bmatrix} ... 100010001 010100001 ... ### 2. 转置矩阵 \[ 1 3 2 3 4 1 \] T = \[ 1 2 4 3 3 1 \] {\\begin{bmatrix} 1\&3\\\\ 2\&3\\\\ 4\&1 \\end{bmatrix}}\^{T} = \\begin{bmatrix} 1\&2\&4\\\\ 3\&3\&1 \\end{bmatrix} 124331 T=\[132341

( A T ) i j = A j i (A^T){ij} = A{ji} (AT)ij=Aji

3. 对称矩阵

定义： A i j = A j i A_{ij} = A_{ji} Aij=Aji

性质： 对称矩阵的转置不变性 A T = A A^T = A AT=A

推论： R T R R^TR RTR都是对称矩阵
( R T R ) T = R T ( R T ) T = R T R (R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR (RTR)T=RT(RT)T=RTR

4. 向量空间

4.1 向量空间

记 R 2 R^2 R2为所有二维空间实数向量，组成的向量空间。
R n R^n Rn为所有n维空间实数向量，组成的向量空间。

性质：

1. 所有数乘，加法都在子空间中
2. 包含零向量

4.2 子空间

定义：空间中的一部分，且满足性质1和性质2。

例子：
R 2 R^2 R2的子空间包含

1. R^2 二维平面
2. 通过(0,0)点的直线
3. 零向量

其他：存在子空间P和L, P ∪ L P\cup L P∪L不是子空间， P ∩ L P \cap L P∩L是子空间