男女稳定婚姻问题
现实篇：相亲修罗场里的蝴蝶效应
霓虹闪烁的都市里，婚介所的王阿姨正对着满墙的会员资料发愁。985硕士张先生执着于温柔贤惠的文科女生，创业女强人李小姐却将幽默感列为择偶第一要素。看似简单的牵线搭桥，实则暗藏玄机------若强行配对"条件相当"但偏好错位的两人，很可能上演现实版《前任攻略》：小王和小芳虽在婚介所登记结婚，私下却与彼此的真爱暗度陈仓。
这正是数学家Gale和Shapley在1962年精准捕捉的婚姻配对问题 ：当 \(n\) 位男士与 \(n\) 位女士各自手握一份心动排序表，如何设计一个"拆不散"的终极配对方案？这里的"拆不散"不是月老的红线，而是一种精妙的数学稳态------稳定匹配。
定义：稳定婚姻问题
设男士集合 \(M = \{m_1, m_2, ..., m_n\}\)，女士集合 \(F = \{f_1, f_2, ..., f_n\}\)，每个人心中都有一杆秤：
- 每位男士 \(m_i\) 对女士的偏好可表示为全序关系 \(>_{m_i}\)
- 每位女士 \(f_j\) 对男士的偏好同理为 \(>_{f_j}\)
一个匹配 μ 是将男士与女士一一对应的双射。匹配的方案有很多种，但这个匹配要成为稳定匹配 ，必须消灭所有"私奔因子"------即不存在 \((m, f)\) 使得：
- \(m\) 比起其现任 \(μ(m)\) ，更爱 \(f\)（即\(f >_{m} μ(m)\)）
- 同时 \(f\) 比起其现任 \(μ(f)\) ，更爱 \(m\)（即\(m >_{f} μ(f)\)）
这样的危险组合 \((m, f)\) 被称为阻塞对(blocking pair)，就像婚恋市场里的不定时炸弹。他们更喜欢彼此，却都委屈的和不太喜欢的现任在一起。而我们的任务，就是构建一个让所有炸弹自动失效的匹配方案。
Gale-Shapley算法：相亲会
此刻，数学家们已经挥舞着算法之杖悄然降临。用递玫瑰的智慧破解爱情密码。想象所有男女来到相亲会配对。Gale和Shapley设计的算法，作为主持人，指挥着这场求偶仪式：
- 初始化：每位男士和女士都处于自由状态，手中空空如也。
- 求婚阶段 ：每位自由男士 \(m\) 按照自己的偏好列表，向尚未拒绝过他的最高位女士 \(f\) 献上玫瑰。
- 抉择时刻 ：每位女士 \(f\) 收到若干玫瑰后，暂时保留最心仪的那一支（即偏好列表中排名最高的男士），其余男士惨遭拒绝。已经拥有配偶的女士会将当前配偶也加入和新的请求比较，选择最心爱的那一个。这意味着已配对的男性可能重新单身，他需要向偏好位下一位的女性继续求婚。
- 循环往复：被拒绝的男士们重获自由身，继续向下一位心仪女士发起攻势，直到所有女士都手握一支玫瑰。
用伪代码描述这场玫瑰盛宴：
初始化所有男士和女士为自由状态
while 存在自由男士 do
选择一位自由男士m
f = m的偏好列表中尚未被自己求婚的最高位女士
if f处于自由状态 then
m和f暂时配对
else
if f更偏爱m而非当前配对对象m' then
解除f与m'的配对
m和f暂时配对
将m'设为自由状态
else
m继续保持自由状态
end if
end if
end while
正确性与复杂度
Gale-Shapley算法最令人惊叹之处，在于它总能找到一个稳定匹配。：
-
终止性 ：算法必然在有限步内结束。因为每位男士最多向 \(n\) 位女士求婚，且每次求婚至少有一位男士被拒绝或配对，总步数不超过 \(n^2\)，时间复杂度为\(O(n^2)\)
-
完美匹配 ：算法总是所有男士和女士都配对成功时才结束。若有男士 \(m\) 未配对，必有女士 \(f\) 也未配对，而 \(m\) 会继续向 \(f\) 求婚。
-
稳定性 ：假设存在阻塞对 \((m, f)\)，即非夫妻但 \(m\) 更爱 \(f\)，\(f\) 更爱 \(m\)。根据算法，\(m\) 必然曾向 \(f\) 求过婚，而 \(f\) 要么拒绝了\(m\)（与 \(f\) 更爱 \(m\) 矛盾），要么接受了 \(m\)（与 \(m\) 未配对矛盾）。因此，阻塞对不存在。
谁才是真正的赢家？
Gale-Shapley算法有一个有趣的性质：男士最优 或女士最优。即算法找到的稳定匹配，对主动求婚的一方（通常是男士）最有利，对被动接受的一方（通常是女士）最不利。
- 男士最优：在所有可能的稳定匹配中，算法结果使每位男士获得尽可能高的偏好对象。
- 女士最劣：在所有可能的稳定匹配中，算法结果使每位女士获得尽可能低的偏好对象。
这一性质揭示了算法的不对称性：主动出击者往往能获得更优的结果。