九 线性相关性， 向量空间的基，维数
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- [Ax=0 什么情况下无解(x不为零向量)](#Ax=0 什么情况下无解(x不为零向量))
- [1. 向量组的线性无关性](#1. 向量组的线性无关性)
- 2.向量组生成一个空间(S)
- [3. 向量空间的一组基：都满足向量个数相同](#3. 向量空间的一组基：都满足向量个数相同)
- [4. 空间维数 = 基向量的个数](#4. 空间维数 = 基向量的个数)
Ax=0 什么情况下无解(x不为零向量)
Ax=0无解，当且仅当，A矩阵通过消元后，转化为单位矩阵，没有自由变量。
A 的矩阵大小为 m ∗ n ，当 m < n , 可以转换为 R 矩阵， A x = 0 有解，因为存在自由变量。秩最多为 m ，自由变量为 n − m A的矩阵大小为 m*n，当 m<n,可以转换为R矩阵，Ax=0有解，因为存在自由变量。秩最多为m，自由变量为 n-m A的矩阵大小为m∗n，当m<n,可以转换为R矩阵，Ax=0有解，因为存在自由变量。秩最多为m，自由变量为n−m
1. 向量组的线性无关性
记: 有一组向量， x 1 , x 2 , x 3 . . . x n ，当不存在 c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n ≠ 0 时，则称 x 1 , x 2 , x 3 . . . x n 是线性无关的。 有一组向量，x_1,x_2,x_3...x_n，当不存在 c_1x1+c_2x_2+...+c_nx_n\neq0时，则称x_1,x_2,x_3...x_n是线性无关的。 有一组向量，x1,x2,x3...xn，当不存在c1x1+c2x2+...+cnxn=0时，则称x1,x2,x3...xn是线性无关的。
如果 v 1 , v 2 . . . v n 是矩阵 A 的列向量，如果向量组线性无关，那么 A x = 0 无解， A 的秩为 n 。 如果v_1,v_2...v_n是矩阵A的列向量，如果向量组线性无关，那么Ax=0无解，A的秩为n。 如果v1,v2...vn是矩阵A的列向量，如果向量组线性无关，那么Ax=0无解，A的秩为n。
2.向量组生成一个空间(S)
等价于 空间包含向量组的线性组合 空间包含向量组的线性组合 空间包含向量组的线性组合
3. 向量空间的一组基：都满足向量个数相同
那么 向量组有两个性质， 1. 线性无关 2. 生成一整个空间 向量组有两个性质，1. 线性无关 2. 生成一整个空间 向量组有两个性质，1.线性无关2.生成一整个空间
R 3 R^3 R3的一组基
1 0 0 \] , \[ 0 1 0 \] , \[ 0 0 1 \] \\begin{bmatrix} 1\\\\0\\\\0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0\\\\1\\\\0 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} 0\\\\0\\\\1 \\end{bmatrix} 100 , 010 , 001 当 A n ∗ n A_{n\*n} An∗n可逆 ⇒ \\xRightarrow{} 满秩 ⇒ \\xRightarrow{} n个向量是 R n R\^n Rn的基 ### 4. 空间维数 = 基向量的个数 例子 A = \[ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 \] A = \\begin{bmatrix} 1\&2\&3\&1\\\\ 1\&1\&2\&1\\\\ 1\&2\&3\&1\\\\ \\end{bmatrix} A= 111212323111 A的基为 \[ 1 2 1 1 1 2 \] \\begin{bmatrix} 1\&2\\\\ 1\&1\\\\ 1\&2\\\\ \\end{bmatrix} 111212 N ( A ) = c \[ − 1 − 1 1 0 \] + d \[ − 1 0 0 1 \] N(A) = c\\begin{bmatrix} -1\\\\-1\\\\1\\\\0 \\end{bmatrix} + d\\begin{bmatrix} -1\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 1 \\end{bmatrix} N(A)=c −1−110 +d −1001 ,求法详见[7.【线性代数】------求解Ax=0，主列和自由列](https://blog.csdn.net/sda42342342423/article/details/145705296) > r a n k ( A ) = 主列数 = 空间的维数 C ( A ) = r rank(A) = 主列数 = 空间的维数 C(A) = r rank(A)=主列数=空间的维数C(A)=r > d i m ( N ( A ) ) = 自由列的列数 = n − r dim(N(A)) = 自由列的列数 = n - r dim(N(A))=自由列的列数=n−r