向量内积（点乘）和外积（叉乘）

文章目录

- [1. 向量的内积（点积）](#1. 向量的内积（点积）)
- - [1.1 定义](#1.1 定义)
  - [1.2 几何意义](#1.2 几何意义)
  - - 表征两个向量的投影关系
    - 计算向量夹角的余弦值
  - [1.3 重要性质](#1.3 重要性质)
  - [1.4 应用场景](#1.4 应用场景)
- [2. 向量的外积（叉积）](#2. 向量的外积（叉积）)
- - [2.1 定义（仅适用于三维空间）](#2.1 定义（仅适用于三维空间）)
  - [2.2 几何意义](#2.2 几何意义)
  - [2.3 重要性质](#2.3 重要性质)
  - [2.4 应用场景](#2.4 应用场景)
- [3. 内积与外积对比](#3. 内积与外积对比)
- [4. 记忆口诀](#4. 记忆口诀)

1. 向量的内积（点积）

1.1 定义

对于n维向量 a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) \mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) a=(a1,a2,...,an)和 b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) \mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n) b=(b1,b2,...,bn)，其内积定义为：

a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i a⋅b=i=1∑naibi

三维向量特例：
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

（ θ \theta θ为两向量夹角）

1.2 几何意义

表征两个向量的投影关系
计算向量夹角的余弦值
判断向量正交性：当内积为0时两向量垂直

表征两个向量的投影关系

如上图，可以通过向量内积计算向量 P \mathbf{P} P在 Q \mathbf{Q} Q 上的投影为：
p r o j Q P = P ⋅ Q ∥ Q ∥ 2 Q \ proj_Q \mathbf{P} = \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{\|\mathbf{Q}\|^2} \mathbf{Q} \ projQP=∥Q∥2P⋅QQ

向量 P \mathbf{P} P 垂直于 Q \mathbf{Q} Q 的分量为：
p e r p Q P = P − p r o j Q P = P − P ⋅ Q ∥ Q ∥ 2 Q \ perp_Q \mathbf{P} = \mathbf{P} - proj_Q \mathbf{P} \\ = \mathbf{P} - \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{\|\mathbf{Q}\|^2} \mathbf{Q} \ perpQP=P−projQP=P−∥Q∥2P⋅QQ

其中，向量 P \mathbf{P} P 在 Q \mathbf{Q} Q 上的投影可以看作 P \mathbf{P} P 的线性变换，可以写成矩阵向量积：
p r o j Q P = 1 ∥ Q ∥ 2 [ Q x 2 Q x Q y Q x Q z Q x Q y Q y 2 Q y Q z Q x Q z Q y Q z Q z 2 ] [ P x P y P z ] (2) \ proj_Q \mathbf{P} = \frac{1}{\|Q\|^2} \begin{bmatrix} Q_x^2 & Q_x Q_y & Q_x Q_z \\ Q_x Q_y & Q_y^2 & Q_y Q_z \\ Q_x Q_z & Q_y Q_z & Q_z^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \end{bmatrix} \tag{2} \ projQP=∥Q∥21 Qx2QxQyQxQzQxQyQy2QyQzQxQzQyQzQz2 PxPyPz (2)

计算向量夹角的余弦值

根据向量内积公式：
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

已知 a 和 b \mathbf{a} 和 \mathbf{b} a和b可以计算其夹角。

另外还可以推导三角形的余弦定理。如下图所示，根据图中的关系可知： c = a − b \mathbf{c=a-b} c=a−b，因此
c 2 = ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a ⋅ b = a 2 + b 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{c}^2=\mathbf{(a-b)}^2=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta c2=(a−b)2=a2+b2−2a⋅b=a2+b2−2∣a∣∣b∣cosθ

上述即余弦定理的公式。

1.3 重要性质

交换律
a ⋅ b = b ⋅ a \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} a⋅b=b⋅a
分配律
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
数乘结合律
( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) (ka)⋅b=k(a⋅b)
正定性
a 2 ≥ 0 \mathbf{a}^2 \geq 0 a2≥0

当且仅当 a 2 = 0 \mathbf{a}^2 = 0 a2=0 时，有 a = 0 \mathbf{a} = 0 a=0。
对称性
a ⋅ b = b ⋅ a \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} a⋅b=b⋅a
线性性
( λ a + μ b ) ⋅ c = λ ( a ⋅ c ) + μ ( b ⋅ c ) (\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) + \mu (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) (λa+μb)⋅c=λ(a⋅c)+μ(b⋅c)

对任意实数 λ , μ \lambda, \mu λ,μ 均成立。
向量夹角公式
cos ⁡ ∠ ( a , b ) = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ \cos \angle (\mathbf{a, b}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{|a||b|}} cos∠(a,b)=∣a∣∣b∣a⋅b
柯西-施瓦茨不等式
∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∣ a ∣ ∣ b ∣ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \mathbf{|a||b|} ∣a⋅b∣≤∣a∣∣b∣

当且仅当 a \mathbf{a} a 与 b \mathbf{b} b 共线时，等号成立。

1.4 应用场景

计算向量夹角： c o s θ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b
物理中的功计算： W = F ⋅ s W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} W=F⋅s
机器学习中的相似度计算

2. 向量的外积（叉积）

2.1 定义（仅适用于三维空间）

对于三维向量 a = ( a x , a y , a z ) \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z) a=(ax,ay,az)和 b = ( b x , b y , b z ) \mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z) b=(bx,by,bz)：

a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} a×b= iaxbxjaybykazbz

模长计算公式：
∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| sin\theta ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ

其方向遵循右手法则：

另外，也可以将向量的表示转化为矩阵的运算：

2.2 几何意义

结果向量垂直于原向量所在平面
模长等于两向量构成的平行四边形面积
方向遵循右手法则

2.3 重要性质

反交换律： a × b = − b × a \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a} a×b=−b×a
与自身叉积为零： a × a = 0 \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} a×a=0
分配律： a × ( b + c ) = a × b + a × c \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} a×(b+c)=a×b+a×c

2.4 应用场景

计算平面法向量
物理中的力矩计算： M = r × F \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} M=r×F
计算三角形/平行四边形面积

3. 内积与外积对比

特性	内积（点积）	外积（叉积）
结果类型	标量	向量
几何意义	投影关系	面积与方向
计算公式	∑ a i b i \sum a_i b_i ∑aibi 或 a b cos ⁡ θ ab\cos\theta abcosθ	a b sin ⁡ θ ab\sin\theta absinθ 且方向垂直
交换律	满足	不满足（反交换）
零结果条件	向量正交	向量平行
适用空间	任意维度	仅限三维空间

4. 记忆口诀

内积看投影，外积看面积
点积标量积，叉积向量生
右手定方向，正交看归零

理解要点：内积关注向量的"相似程度"，外积关注向量的"空间关系"