中国剩余定理及乘法逆元

叠甲：本文参照了 OI-wiki 并提出了自己的理解

乘法逆元

什么是乘法逆元

已知 $a,p$，求 $a \times b \mod p =1 $ 的解，所有 $\mod p$ 都相等的解被视为一个解。

这就是乘法逆元，$b$ 通常称之为：模 $a$ 意义下的乘法逆元。有时候也记作 $a^{-1}$。

简单来说（即定义），如果一个线性同余方程 $ax \equiv 1 \pmod b$，则 $x$ 称为 $a \bmod b$ 的逆元，记作 $a^{-1}$。

解法

1.扩展欧几里得

int exgcd(int a , int b , int &x , int &y) 
{
	if(!b) 
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b , a % b , x , y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a / b) * y;
	return r;//返回的是gcd(a,b)
}
int get_INV(int a,int p)
{
	int x,y;
	exgcd(a,p,x,y);
	return x;
}

这里要求 $\gcd(a,p)=1$，扩展欧几里得法和求解线性同余方程是一个原理，在这里不展开解释。

2.快速幂法

因为 $ax \equiv 1 \pmod b$；

所以 $ax \equiv a^{b-1} \pmod b$（根据费马小定理)；

所以 $x \equiv a^{b-2} \pmod b$。

然后我们就可以用快速幂来求了。

因为根据了费马小定理，所以这里要求 $p$ 是质数。

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT)

什么是CRT

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即求满足以下条件的整数：除以 $3$ 余 $2$，除以 $5$ 余 $3$，除以 $7$ 余 $2$。被称为中国剩余定理。

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1, n_2, \cdots, n_k$ 两两互质）：

\[\begin{cases} x &\equiv a_1 \pmod {n_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod {n_2} \\ &\vdots \\ x &\equiv a_k \pmod {n_k} \\ \end{cases} \]

解法

计算所有模数的积 $n$；
对于第 $i$ 个方程：
1. 计算 $m_i=\frac{n}{n_i}$；
2. 计算 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的逆元 $x$；
3. 计算 $c_i=m_ix$（不要对 $n_i$ 取模，否则根据定义 $m_ix \mod n_i =1$）。
方程组在模 $n$ 意义下的唯一解为：$x=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n$。

实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fre(x) freopen(x ".in", "r", stdin), freopen(x ".out", "w", stdout)
#define tesin(x) freopen(x ".in", "r", stdin)
#define fastread ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define int long long
#define ull unsigned long long 
#define pii pair<int,int> 
#define mkp(x,y) make_pair(x,y);
#define clearArray(name,sum,sta,endd) for(int i=sta;i<=endd;i++) name[i]=sum
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lcm(a,b) (a*b)/__gcd(a,b)
#define add(x,y) (((x+y)%mod+mod)%mod)
#define mul(x,y) (x%mod*y%mod)
#define INF 1000000007 
#define mod 998244353
int qpow(int x,int a){int ans=1;while(a){if(a&1)ans=(ans*x);x=(x*x);a>>=1;}return ans;}
using namespace std;
#define maxn 100
//vector <pii >e[maxn];
int exgcd(int a , int b , int &x , int &y) 
{
	if(!b) 
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b , a % b , x , y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a / b) * y;
	return r;
}
int n,a[maxn],b[maxn],ans=1,s;
signed main()
{
	cin>>n;
	int ans = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) 
	{
		cin>>a[i]>>b[i];
		ans *= a[i];
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) 
	{
		int k = ans / a[i];
		int x , y;
		exgcd(k , a[i] , x , y);
		__int128 sum=((__int128)k * b[i] * x % ans);
		s += (int)sum % ans;
	}
	cout<<((s % ans + ans) % ans);
	return 0;
}

数学-中国剩余定理及乘法逆元