48. 旋转图像(C++)

题目

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在 原地 旋转图像,这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1:

输入:matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

输出:[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2:

输入:matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]

输出:[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

提示:

n == matrix.length == matrix[i].length

1 <= n <= 20

-1000 <= matrix[i][j] <= 1000

题解

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            for(int j = i; j < m; ++j){
                swap(matrix[i][j],matrix[j][i]);
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            int left = 0, right = m - 1;
            while(left < right){
                swap(matrix[i][left],matrix[i][right]);
                left++;
                right--;
            }

        }
        
    }
};

算法原理

1. 转置矩阵
  • 定义 :转置矩阵是将矩阵的行和列交换,即原矩阵中 matrix[i][j] 的位置变为 matrix[j][i]

  • 几何意义:转置操作相当于将矩阵绕主对角线(从左上到右下)镜像翻转。

  • 代码实现

    cpp 复制代码
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
        }
    }
    • 外层循环遍历每一行 i
    • 内层循环从 j = i 开始遍历列,避免重复交换元素(如 matrix[i][j]matrix[j][i] 会被交换两次)。
2. 反转每一行
  • 定义:将转置后的矩阵的每一行元素逆序排列。

  • 几何意义:反转行操作相当于将矩阵绕垂直中线(中间列)镜像翻转。

  • 代码实现

    cpp 复制代码
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int left = 0, right = n - 1;
        while (left < right) {
            swap(matrix[i][left], matrix[i][right]);
            left++;
            right--;
        }
    }
    • 对于每一行 i,使用双指针 leftright 分别指向行的首尾。
    • 交换首尾元素并向中间移动指针,直到指针相遇。

数学推导

  • 顺时针旋转 90 度的坐标变换
    • 原位置 (i, j) 旋转后的坐标为 (j, n-1-i)
  • 转置与反转的组合
    • 转置后(i, j) → (j, i)
    • 反转行后(j, i) → (j, n-1-i)(行反转使 i 变为 n-1-i)。
    • 最终结果与顺时针旋转的坐标变换一致。

示例验证

以示例 1 为例:

cpp 复制代码
原矩阵:
1 2 3
4 5 6
7 8 9

转置后:
1 4 7
2 5 8
3 6 9

反转每一行后:
7 4 1
8 5 2
9 6 3 → 正确结果

复杂度分析

  • 时间复杂度 : O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),需遍历矩阵两次。
  • 空间复杂度 : O ( 1 ) O(1) O(1),原地操作无需额外空间。
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