48. 旋转图像（C++）

题目

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = $\[1,2,3$ , $4,5,6$ , $7,8,9$ ]

输出： $\[7,4,1$ , $8,5,2$ , $9,6,3$ ]

示例 2：

输入：matrix = $\[5,1,9,11$ , $2,4,8,10$ , $13,3,6,7$ , $15,14,12,16$ ]

输出： $\[15,13,2,5$ , $14,3,4,1$ , $12,6,8,9$ , $16,7,10,11$ ]

提示：

n == matrix.length == matrix $i$ .length

1 <= n <= 20

-1000 <= matrix $i$ $j$ <= 1000

题解

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            for(int j = i; j < m; ++j){
                swap(matrix[i][j],matrix[j][i]);
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            int left = 0, right = m - 1;
            while(left < right){
                swap(matrix[i][left],matrix[i][right]);
                left++;
                right--;
            }

        }
        
    }
};

算法原理

1. 转置矩阵

定义：转置矩阵是将矩阵的行和列交换，即原矩阵中 matrix[i][j] 的位置变为 matrix[j][i]。
几何意义：转置操作相当于将矩阵绕主对角线（从左上到右下）镜像翻转。
代码实现 ：
cpp 复制代码
```
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = i; j < n; ++j) {
        swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
    }
}
```
- 外层循环遍历每一行 i。
- 内层循环从 j = i 开始遍历列，避免重复交换元素（如 matrix[i][j] 和 matrix[j][i] 会被交换两次）。

2. 反转每一行

定义：将转置后的矩阵的每一行元素逆序排列。
几何意义：反转行操作相当于将矩阵绕垂直中线（中间列）镜像翻转。

代码实现 ：

cpp 复制代码

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    int left = 0, right = n - 1;
    while (left < right) {
        swap(matrix[i][left], matrix[i][right]);
        left++;
        right--;
    }
}

对于每一行 i，使用双指针 left 和 right 分别指向行的首尾。
交换首尾元素并向中间移动指针，直到指针相遇。

数学推导

顺时针旋转 90 度的坐标变换 ：
- 原位置 (i, j) 旋转后的坐标为 (j, n-1-i)。
转置与反转的组合 ：
- 转置后 ：(i, j) → (j, i)。
- 反转行后 ：(j, i) → (j, n-1-i)（行反转使 i 变为 n-1-i）。
- 最终结果与顺时针旋转的坐标变换一致。

示例验证

以示例 1 为例：

cpp 复制代码

原矩阵：
1 2 3
4 5 6
7 8 9

转置后：
1 4 7
2 5 8
3 6 9

反转每一行后：
7 4 1
8 5 2
9 6 3 → 正确结果

复杂度分析

时间复杂度 ： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，需遍历矩阵两次。
空间复杂度 ： O ( 1 ) O(1) O(1)，原地操作无需额外空间。