浅说差分约束

CylMK2025-03-17 17:40

差分约束

引入

当我们的题目中遇到一些存在不等关系的式子的时候，我们其实可以把它转换成图上问题来解决。为什么呢？我们可以观察一下这两个式子：

\(a_j\le a_i+w\)

\(dis_j\le dis_i+w_{i,j}\)

第一个是我们的要求的式子，第二个是我们在求最短路的时候的式子，是不是可以发现这两个是惊人的相似？那么我们是不是就可以类比一下？

我们把 \(a_i\) 类比成 \(dis_i\) ，\(a_j\) 类比成 \(dis_j\) ，然后我们在跑最短路的时候，一定是会处理出来所有点的 \(dis\) 的，然而对于直接联通的两个点 \(i,j\) 和他们的最短路的值 \(dis_i,dis_j\) 是一定存在某种关系的，而这个关系就是上述的那个式子。

为什么呢？因为从 \(i\) 到 \(j\) 的路径在最短路上要么是 \(w_{i,j}\) 要么就是从其他的地方转移了过去，并且这个距离一定是要比 \(w_{i,j}\) 要小的，要不然也转移不过去。因此，\(dis_j-dis_i\) 一定是小于等于 \(w_{i,j}\) 的（即 \(dis_j-dis_i \le w_{i,j}\)），那么左右移个项，就有了上面的那个式子。又因为我们求得了所有点的最短路，所以说每两个 \(dis\) 之间是一定满足上面的这个要求的，那么类比后的 \(a_j\le a_i+w\) 也就是一定可以成立的了。

同时，我们也不难注意到 \(a_j-a_i\le w \iff a_i-a_j\ge -w\)，所以说大于等于和小于等于是本质上是一样的。因此，在求解不等是的问题上，最短路和最长路都可以使用，两种方法并没有本质区别。

在一些题目中，如果说我们每次都从 1 号点出发，可能没有办法到达所有的点，如果是这样的话，我们的最短路也就求不了了，那么我们此时就要建立一个超级源点，使这个源点可以指向所有的点，那么我们从这个点出发，才可以到达其他的所有的点，至于这个点到其他点的边权，那就得看题目怎么要求了，下面会有例子。

差分约束的连边方式

上文我们刚刚说了，可以将不等关系放到图上来做，但是呢，这个毕竟是图，怎么说也是有边权的，那么我们就要看看怎么建边了。

和上面同理，把 \(a_i\) 类比成 \(dis_i\) ，\(a_j\) 类比成 \(dis_j\)，基于上面的关系式，我们有证据可以在 \(i\) 和 \(j\) 之间建一条长度为 \(w\) 的边，但是方向怎么确定呢？因为在移项后，是 \(dis_j-dis_i \le w_{i,j}\) 那么就说明 \(j\) 在 \(i\) 之后出现，那么就说明这个边是从 \(i\) 到 \(j\) 的。因此我们就可以这样的建一条边：

cpp 复制代码 
mp[i].push_back({j,w})

当我们每拿到一个不等式组的时候，我们就可以通过这种方法进行建边，又因为我们的 \(w\) 的值不一定是正数，所以说建完图后一般情况下是跑spfa，极少数情况会跑Dijkstra。

但是呢，上面的这种方法不一定是完全正确的，我们稍后会讲，在这之前，我们先把模板题给写了。

P5960 【模板】差分约束------洛谷

P5960 【模板】差分约束

题目描述

给出一组包含 \(m\) 个不等式，有 \(n\) 个未知数的形如：

\(\begin{cases} x_{c_1}-x_{c'1}\leq y_1 \\x{c_2}-x_{c'2} \leq y_2 \\ \cdots\\ x{c_m} - x_{c'_m}\leq y_m\end{cases}\)

的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

输入格式

第一行为两个正整数 \(n,m\)，代表未知数的数量和不等式的数量。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(c,c',y\)，代表一个不等式 \(x_c-x_{c'}\leq y\)。

输出格式

一行，\(n\) 个数，表示 \(x_1 , x_2 \cdots x_n\) 的一组可行解，如果有多组解，请输出任意一组，无解请输出 NO。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
3 3
1 2 3
2 3 -2
1 3 1

输出 #1

复制代码 
5 3 5

说明/提示

样例解释

\(\begin{cases}x_1-x_2\leq 3 \\ x_2 - x_3 \leq -2 \\ x_1 - x_3 \leq 1 \end{cases}\)

一种可行的方法是 \(x_1 = 5, x_2 = 3, x_3 = 5\)。

\(\begin{cases}5-3 = 2\leq 3 \\ 3 - 5 = -2 \leq -2 \\ 5 - 5 = 0\leq 1 \end{cases}\)

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n,m \leq 5\times 10^3\)，\(-10^4\leq y\leq 10^4\)，\(1\leq c,c'\leq n\)，\(c \neq c'\)。

评分策略

你的答案符合该不等式组即可得分，请确保你的答案中的数据在 int 范围内。

如果并没有答案，而你的程序给出了答案，SPJ 会给出 There is no answer, but you gave it，结果为 WA；

如果并没有答案，而你的程序输出了 NO，SPJ 会给出 No answer，结果为 AC；

如果存在答案，而你的答案错误，SPJ 会给出 Wrong answer，结果为 WA；

如果存在答案，且你的答案正确，SPJ 会给出 The answer is correct，结果为 AC。

分析

这道题就是非常裸的模板题，按照刚刚上面讲的方法建边就可以了，因为是求合法的解，所以说最短路和最长路没有区别。顺便也把模板给你们写了。

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e4+10,MAXN=1e8;
struct Node{
    int p,num;
};
vector<Node> mp[INF];
int n,m;
int dis[INF],used[INF],sum[INF];
void spfa(int x){//spfa模板

    queue<int> q;
    dis[x]=0,q.push(x),used[x]=1;
    while (!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        used[u]=0;
        int len=mp[u].size();
        for (int i=0;i<len;i++){
            int v=mp[u][i].p,w=mp[u][i].num;
            if (dis[v]>dis[u]+w){//最短路

                dis[v]=dis[u]+w;
                if (!used[v]){
                    if (++sum[v]>=n){//判断有没有负环，具体的之前讲过

                        cout<<"NO";
                        exit(0); 
                    }
                    q.push(v);
                    used[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){//输出答案

        cout<<dis[i]<<" ";
    }
    return;
}

void fi(){
    for (int i=0;i<=n;i++){
        dis[i]=MAXN;
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    fi();
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int c1,c2,y;
        cin>>c1>>c2>>y;
        mp[c2].push_back({c1,y});//建边

    } 
    for (int i=1;i<=n;i++){
        mp[0].push_back({i,0});//建立超级源点

    }
    spfa(0);//从0开始跑spfa

    return 0;
}

差分约束中的极值问题

极值问题指的是，让我们求出一个满足某个性质的最优解。换句话说就是求某个事件的最大值或最小值（只是一个类比），比如说我们来看下面的这个例子：

假设我们现在要从 \(0 \rightarrow 5 \times 10^4\) 中选出尽量少的数，是每个区间 \([a_i,b_i]\) 内部都有至少 \(c_i\) 个数被选出，我们要怎么做？

你非常敏锐的发现了如果用类似于前缀和的思想来做的话，有这样的一个不等关系式 \(p[b_i]-p[a_i-1]\ge c_i\) 转换一下就可以得到 \(p[a_i-1]-p[b_i]\le -c_i\)

同时脑洞大开的你，又敏锐的发现了相邻两个数之间也存在一定的不等关系式

\(\begin{cases} p[b_{i+1}]-p[b_i]\le1 \\p[b_i]-p[b_{i+1}] \le0\end{cases}\)

经过你一整严密的分析，发现没有其他的式子了，所以说就开始建边。

cpp 复制代码 
mp[bi].push_back({ai-1,-c});
mp[bi].push_back({bi+1,1});
mp[bi+1].push_back({bi,0});
//伪代码

然后你又发现，这道题好像不用建超级源点，所以说直接从最小的编号开始跑最短路，然后输出最大值的答案，这道题就做完了。

ACcode？

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=2e5+10,MAXN=1e8;
int maxn=-MAXN,minn=MAXN;

struct Node{
    int p,num;
};
vector<Node> mp[INF];
int used[INF],dis[INF];

void spfa(int x){
    queue<int> q;
    dis[x]=0,q.push(x),used[x]=1;
    while (!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        used[u]=0;
        for (auto v:mp[u]){
            if (dis[v.p]>dis[u]+v.num){
                dis[v.p]=dis[u]+v.num;
                if (!used[v.p]){
                    q.push(v.p);
                    used[v.p]=1;
                }
            }
        }
    }
}
void fi(){
    for (int i=minn;i<=maxn;i++){
        dis[i]=MAXN;
    }
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        mp[v].push_back({u-1,-w});
        maxn=max(maxn,v),minn=min(minn,u-1);
    }
    fi();
    for (int i=minn;i<=maxn;i++){
        mp[i+1].push_back({i,0});
        mp[i].push_back({i+1,1});
    }
    spfa(minn);
    cout<<dis[maxn];
    return 0;
}

当你满怀信心的去测样例的时候，样例会让你直接寄掉。为什么，我们来看看这个样例

复制代码 
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

如果说，我们按照上述代码去做的话，最终的图长成这个样子

手画的长成这样。

真的非常的抽象。

同时如果我们从 0 开始跑最短路的话，就是会直通11点，把每个点都选上，然后这样的答案就是11.

这样肯定是不对的，为什么呢？因为最短路求得的是最大解，求得是极大值！

对于这个问题，其实网络上很多的博客都只是讲述了说什么，最大值用最短路，最小值用最长路，尽管这个结论是正确的，但是我们也要搞清楚为什么可以这样弄。所以说我们下面来证明一下：

对于最短路而言，他的不等关系式通常是 \(x_i - x_j \le a\)，那么我们设当前有一条从 \(0\) 到 \(M\) 的最短路，其中经过了 \(v_1,v_2\dots v_k\) 这些节点。

对于这些关系，我们原本的不等式为：

\(\begin{cases} x_{v_1}-x_0 \le a_1 \\x_{v_2}-x_{v_1}\le a_2 \\ \dots\\ x_M-x_{v_k}\le a_{k+1}\end{cases}\)将左侧和右侧分别累加得到 \(x_M-x_0\le\sum_{i=1}^{k+1}a_i\)

又因为这条最短路是确切经过了这些点的，所以说又有

\(\begin{cases}dis_{v_1}-dis_0 =a_1\\dis_{v_2}-dis_{v_1}=a_2\\\dots\\dis_M-dis_{v_k}=a_{k+1}\end{cases}\)这些式子累加后可以得到 \(dis_M-dis_0=\sum_{i=1}^{k+1}a_i\)

不难发现，第二个式子是第一个式子的上界，因此最短路求得的就是最大解。
对于最长路而言，他的不等关系式通常是 \(x_i - x_j \ge a\)，那么我们设当前有一条从 \(0\) 到 \(M\) 的最短路，其中经过了 \(v_1,v_2\dots v_k\) 这些节点。

对于这些关系，我们原本的不等式为：

\(\begin{cases} x_{v_1}-x_0 \ge a_1 \\x_{v_2}-x_{v_1}\ge a_2 \\ \dots\\ x_M-x_{v_k}\ge a_{k+1}\end{cases}\)将左侧和右侧分别累加得到 \(x_M-x_0\ge\sum_{i=1}^{k+1}a_i\)

又因为这条最短路是确切经过了这些点的，所以说又有

\(\begin{cases}dis_{v_1}-dis_0 =a_1\\dis_{v_2}-dis_{v_1}=a_2\\\dots\\dis_M-dis_{v_k}=a_{k+1}\end{cases}\)这些式子累加后可以得到 \(dis_M-dis_0=\sum_{i=1}^{k+1}a_i\)

不难发现，第二个式子是第一个式子的下界，因此最长路求得的就是最小解。

因此，我们在建边的时候，还要看一下题目中要我们求得是什么，是最大解还是最小解。就比如说上面的那个题，要我们求的就是"选出最少的数"，也就是最小解，那么我们现在就应该跑最长路，而最长路和最短路的建图方式又有一点不同，要反着建，所以说这就是我上面所说的"这个建图方法不一定是完全正确的"。

ACcode

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=2e5+10,MAXN=1e8;
int maxn=-MAXN,minn=MAXN;

struct Node{
	int p,num;
};
vector<Node> mp[INF];
int used[INF],dis[INF];

void spfa(int x){
	queue<int> q;
	dis[x]=0,q.push(x),used[x]=1;
	while (!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		used[u]=0;
		for (auto v:mp[u]){
			if (dis[v.p]<dis[u]+v.num){
				dis[v.p]=dis[u]+v.num;
				if (!used[v.p]){
					q.push(v.p);
					used[v.p]=1;
				}
			}
		}
	}
}
void fi(){
	for (int i=minn;i<=maxn;i++){
		dis[i]=-MAXN;
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		mp[u-1].push_back({v,w});//反着建
		maxn=max(maxn,v),minn=min(minn,u-1);
	}
	fi();
	for (int i=minn;i<=maxn;i++){//反着建
		mp[i].push_back({i+1,0});
		mp[i+1].push_back({i,-1});
	}
	spfa(minn);
	cout<<dis[maxn];
	return 0;
}

插一嘴题外话，这里其实还是可以跑最短路的，因为我们的终点和起点都只是单一点，而不是多对一或者是一对多，因此如果说我们建最短路的话，其实就是从终点跑回起点，然后取个相反数，这样的答案也是正确地。

为什么？原因很简单，对于一个有向图，如果说我们把所有边的方向都取反，同时也将所有权值也取反，那么我们最终的答案也是一定会取反的，这个是非常显然的，我们可以自己举个例子感受感受。

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=2e5+10,MAXN=1e8;
int maxn=-MAXN,minn=MAXN;

struct Node{
	int p,num;
};
vector<Node> mp[INF];
int used[INF],dis[INF];

void spfa(int x){
	queue<int> q;
	dis[x]=0,q.push(x),used[x]=1;
	while (!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		used[u]=0;
		for (auto v:mp[u]){
			if (dis[v.p]>dis[u]+v.num){
				dis[v.p]=dis[u]+v.num;
				if (!used[v.p]){
					q.push(v.p);
					used[v.p]=1;
				}
			}
		}
	}
}
void fi(){
	for (int i=minn;i<=maxn;i++){
		dis[i]=MAXN;
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		mp[v].push_back({u-1,-w});
		maxn=max(maxn,v),minn=min(minn,u-1);
	}
	fi();
	for (int i=minn;i<=maxn;i++){
		mp[i+1].push_back({i,0});
		mp[i].push_back({i+1,1});
	}
	spfa(maxn);
	cout<<abs(dis[minn]);
	return 0;
}

差分约束的小结

对于题目中含有不等关系式的题目，我们通常都可以转换成差分约束来做，但是呢就要注意一下题目中要我们求的东西，是最大值还是最小值，还是其他什么乱七八糟的值，但是都要抓住这个值来看。

如果是最小值，那么就跑最长路，同时将题目中的不等式改为 \(a_j-a_i\ge w\) 的形式，然后从 \(i\) 向 \(j\) 连长度为 \(w\) 的边。

如果是最大值，那么就跑最短路，同时将题目中的不等式改为 \(a_i-a_j\le w\) 的形式，然后从 \(j\) 向 \(i\) 连长度为 \(w\) 的边。

例题感知

糖果------洛谷

这道题在洛谷上已经不能过了，因为被卡SPFA了，但仍然是一道非常经典的差分约束的题。

P3275 [SCOI2011] 糖果

题目描述

幼儿园里有 \(N\) 个小朋友，\(\text{lxhgww}\) 老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候，\(\text{lxhgww}\) 需要满足小朋友们的 \(K\) 个要求。幼儿园的糖果总是有限的，\(\text{lxhgww}\) 想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

输入格式

输入的第一行是两个整数 \(N\)，\(K\)。接下来 \(K\) 行，表示这些点需要满足的关系，每行 \(3\) 个数字，\(X\)，\(A\)，\(B\)。

  • 如果 \(X=1\)， 表示第 \(A\) 个小朋友分到的糖果必须和第 \(B\) 个小朋友分到的糖果一样多；
  • 如果 \(X=2\)， 表示第 \(A\) 个小朋友分到的糖果必须少于第 \(B\) 个小朋友分到的糖果；
  • 如果 \(X=3\)， 表示第 \(A\) 个小朋友分到的糖果必须不少于第 \(B\) 个小朋友分到的糖果；
  • 如果 \(X=4\)， 表示第 \(A\) 个小朋友分到的糖果必须多于第 \(B\) 个小朋友分到的糖果；
  • 如果 \(X=5\)， 表示第 \(A\) 个小朋友分到的糖果必须不多于第 \(B\) 个小朋友分到的糖果；

输出格式

输出一行，表示 \(\text{lxhgww}\) 老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出 \(-1\)。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
5 7
1 1 2
2 3 2
4 4 1
3 4 5
5 4 5
2 3 5
4 5 1

输出 #1

复制代码 
11

说明/提示

对于 \(30\%\) 的数据，保证 \(N\leq100\)

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(N\leq100000\)

对于所有的数据，保证 \(K\leq100000, 1\leq X\leq5, 1\leq A, B\leq N\)

分析

根据题目，我们可以分析出来有这么几个关系式
\(\begin{cases} x_i=x_j\\x_i<x_j\\x_i\ge x_j\\x_i>x_j\\x_i\le x_j\end{cases} \iff \begin{cases} x_i-x_j \ge 0且x_j-x_i\le 0\\ x_j-x_i\ge 1\\x_i-x_j\ge0\\x_i-x_j\ge1\\x_j-x_i\ge0\end{cases}\)

再加上这道题求得是最小值，所以说跑最长路，并且把所有的不等式都整理成 \(a_j-a_i \ge w\)，如上。然后建边。到这里都是非常简单的，接下来的超级源点就有意思了。我刚刚说了，超级源点到其他点的路径长是由确切的题目所定下来的，并不一定是0，那么这个地方就有变化了。题目中说了，要让每个小朋友都分到糖果，所以说这里超级源点向每个边连的值应该是1而不是0，这个是非常关键的。

同时这道题也是不能跑最短路的，因为这道题是一对多，如果说建成最短路的图的话，你就不知道应该从那个点出发了，除非说你再建一个超级源点，但是这样就太麻烦了。

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e5+10;

struct Node{
	int v,w;
};
vector<Node> mp[INF];
int cnt[INF],dis[INF],used[INF];
int n,k;

void spfa(int x){
	memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
	queue<int> q;
	q.push(x),dis[x]=0,cnt[x]=1;
	while (!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		used[u]=0;
		int len=mp[u].size();
		for (int i=0;i<len;i++){
			int v=mp[u][i].v,w=mp[u][i].w;
			if (dis[v]<dis[u]+w){
				dis[v]=dis[u]+w;
				if (++cnt[v]>n){
					cout<<-1;
					return;
				}
				if (!used[v]){
					used[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	long long tot=0;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		tot+=dis[i];
	}
	cout<<tot;
}
int main(){
	cin>>n>>k;
	for (int i=1;i<=k;i++){
		int x,a,b;
		cin>>x>>a>>b;
		if (x==1){
			mp[a].push_back({b,0});
			mp[b].push_back({a,0});
		}else if (x==2){
			mp[a].push_back({b,1});
			if (a==b){
				cout<<-1;
				return 0;	
			}
		}else if (x==3){
			mp[b].push_back({a,0});
		}else if (x==4){
			mp[b].push_back({a,1});
			if (a==b){
				cout<<-1;
				return 0;
			}
		}else mp[a].push_back({b,0});
	}
	for (int i=1;i<=n;i++){
		mp[0].push_back({i,1});
	}
	spfa(0);
	return 0;
}
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