目录
[2.1 问题本质：统计与配对优化](#2.1 问题本质：统计与配对优化)
[2.2 关键观察](#2.2 关键观察)
[2.3 数学建模](#2.3 数学建模)
[3.1 算法步骤](#3.1 算法步骤)
[3.2 代码实现（Python）](#3.2 代码实现（Python）)
[3.3 优化点分析](#3.3 优化点分析)
[4.1 细节处理](#4.1 细节处理)
[4.2 常见误区](#4.2 常见误区)
[6.1 解题核心](#6.1 解题核心)
[6.2 实际应用场景](#6.2 实际应用场景)
[6.3 代码优化建议](#6.3 代码优化建议)
一、问题背景与描述
在蓝桥杯的算法竞赛中，分组问题一直是考察逻辑思维与算法设计的经典题型。今天我们将深入探讨一个关于班级活动分组的优化问题：
题目描述
小明的老师需要将班级中的n名同学（n为偶数）分成两人一组。每位同学被随机分配了一个不超过n的ID。老师希望通过修改最少数量的ID，使得最终每个ID恰好出现两次。例如，若初始ID序列为[1,2,2,3]，则只需修改其中一个ID为3或1即可满足条件。
输入格式
- 第一行：正整数n（班级人数）
- 第二行：n个整数a1,a2,...,an（各同学的初始ID）
输出格式
输出需要修改的最少ID数量。
二、问题分析与核心思路
2.1 问题本质：统计与配对优化
该问题的核心在于将所有ID的出现次数调整为偶数，并且每个ID的出现次数恰好为2的倍数（因为每组两人）。因此，我们需要解决以下两个关键点：
- 统计ID的出现次数：统计每个ID出现的次数。
- 最小化修改次数：通过调整某些ID的值，使得所有ID的出现次数均为偶数。
2.2 关键观察
- 奇数次出现的ID需要调整：如果某个ID出现奇数次，则必须修改其中一个实例，使其变为另一个ID，从而将奇数次转化为偶数次。
- 配对原则：每个奇数次的ID需要与其他奇数次的ID配对。例如，若ID1出现3次，ID2出现5次，则可以通过将其中一个ID1改为ID2，或其中一个ID2改为ID1，从而将两者的奇数次转化为偶数次。
2.3 数学建模
假设所有ID的出现次数中，共有m个ID出现奇数次。则：
- 每对奇数次的ID需要一次修改：每两个奇数次的ID可以通过一次修改（将其中一个改为另一个）来消除奇数次的问题。
- 总修改次数为m/2：因为每对奇数次的ID需要一次修改，因此总修改次数为奇数次ID数量的一半。
三、算法设计与实现步骤
3.1 算法步骤
- 统计频率：使用哈希表或数组记录每个ID的出现次数。
- 统计奇数次ID的数量：遍历所有ID的计数，统计出现奇数次的ID数量m。
- 计算最小修改次数：最终结果为m/2。
3.2 代码实现（Python）
python
def min_changes(n, ids):
from collections import defaultdict
count = defaultdict(int)
for num in ids:
count[num] += 1
odd_count = 0
for v in count.values():
if v % 2 != 0:
odd_count += 1
return odd_count // 2
# 示例输入
n = 4
ids = [1, 2, 2, 3]
print(min_changes(n, ids)) # 输出13.3 优化点分析
- 时间复杂度：O(n)，遍历两次数组即可完成统计。
- 空间复杂度：O(k)，其中k是不同ID的数量，通常远小于n。
四、关键细节与常见误区
4.1 细节处理
- ID范围的限制：题目要求ID为n以内的正整数，但修改后的ID可以是任意值（只要最终满足条件）。因此，无需考虑ID的具体数值，只需关注奇偶性。
- 偶数次的处理：如果某个ID出现偶数次，无需修改，但若其出现次数超过2次（如4次），则需要调整为2次。例如，若ID1出现4次，可以通过修改两个ID1为其他ID，但这一步是否必要？
4.2 常见误区
-
误区1 ：认为出现次数超过2次的ID需要额外修改。
正确理解：只要次数为偶数即可，无需强制为2次。例如，出现4次的ID可以保留，只需调整其他ID的奇偶性。 -
误区2 ：试图直接调整到恰好2次。
正确策略：只需保证所有ID的出现次数为偶数，无需严格为2次。例如，若三个ID各出现2次，总人数为6，是合法的。
六、总结与应用
6.1 解题核心
该问题的核心在于：
- 奇偶性分析：通过统计奇数次的ID数量，直接得出最小修改次数。
- 配对思想：每两个奇数次的ID通过一次修改即可消除奇数性。
6.2 实际应用场景
- 资源分配问题：例如将物品分配到偶数个组别。
- 数据清洗：确保数据集中的某些属性满足偶数条件。
6.3 代码优化建议
- 使用数组而非哈希表：若ID范围较小（如≤n），可用数组代替字典，提升性能。
- 空间优化：对于n≤1e5的情况，数组空间仍可接受。
python
import sys
def main():
n = int(sys.stdin.readline())
a_list = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))
dp = [0] * 10 # dp[b] 表示以数字b结尾的最长接龙序列长度
max_len = 0 # 记录最长序列长度
for num in a_list:
b = num % 10 # 获取末位数字
a = num # 获取首位数字
while a >= 10:
a = a // 10 # 循环直到得到首位数字
# 更新dp数组
new_len = dp[a] + 1
if new_len > dp[b]:
dp[b] = new_len
if dp[b] > max_len:
max_len = dp[b]
print(n - max_len)
if __name__ == "__main__":
main()