算法区间合并问题

最近做了两道区间题，题目都不难，对比来看很有意思。两个都是区间合并的，不过两种合并方式，一种是并集，一种是交集。做完懵懵懂懂，有些感悟，写下来发现并没有自己以为的那么清楚，思考过程还是出了不少问题的。先记录下来吧，可能后面写多了就更清楚了。

先看第一道：

合并区间

以数组 intervals 表示若干个区间的集合，其中单个区间为 intervals[i] = [starti, endi] 。请你合并所有重叠的区间，并返回 一个不重叠的区间数组，该数组需恰好覆盖输入中的所有区间 。

思路：既然是区间，一定有 starti <= endi。首先一定会想到排序，优化一定是数据特殊或者问题特殊。排序后，数据就变得特殊了，可以进行下一步的优化。问题来了，怎么排序，是按 starti 还是 endi？先尝试用 starti 排序，排序后进行遍历，遇到重合就合并，也就是两个区间取并集。

javascript 复制代码

var merge = function (intervals) {
    // 以区间开始值为标准排序
    intervals.sort((a, b) => a[0] - b[0])
    let result = []
    let prev = null
    intervals.forEach(item => {
        const [start, end] = item
        let temp = [...item]
        if (prev) {
            const [prevStart, prevEnd] = prev
            // 重合，合并
            // start(i+1) <= endi
            if (start <= prevEnd) {
                temp[0] = prevStart
                // 注意这里，前一个区间可能完全包含当前区间
                // 需要取更大的那个区间 
                temp[1] = Math.max(end, prevEnd)
                // 合并完成，需要弹出被合并区间
                result.pop()
            }
        }
        result.push(temp)
        prev = temp
    })
    return result
};

能不能使用 endi 排序？答案是可以，但是遍历顺序需要改变：

ini 复制代码

var merge = function (intervals) {
    intervals.sort((a, b) => a[1] - b[1])
    let result = []
    let prev = null
    let len = intervals.length
    // 从后向前遍历
    for (let i = len - 1; i >= 0; i--) {
        const [start, end] = intervals[i]
        let temp = [start, end]
        if (prev) {
            const [prevStart, prevEnd] = prev
            // 重合判断需要修改
            if (end >= prevStart) {
                temp[0] = Math.min(start, prevStart)
                temp[1] = prevEnd
                result.pop()
            }
        }
        result.push(temp)
        prev = temp
    }
    return result
};

简单说，这道题就是计算并集。合并时候，一定是相邻集合开始合并。

接下来是另一题：

用最少数量的箭引爆气球

有一些球形气球贴在一堵用 XY 平面表示的墙面上。墙面上的气球记录在整数数组 points ，其中points[i] = [xstart, xend] 表示水平直径在 xstart 和 xend之间的气球。你不知道气球的确切 y 坐标。

一支弓箭可以沿着 x 轴从不同点 完全垂直 地射出。在坐标 x 处射出一支箭，若有一个气球的直径的开始和结束坐标为 x``start，x``end，且满足 xstart ≤ x ≤ x``end，则该气球会被引爆。可以射出的弓箭的数量 没有限制 。弓箭一旦被射出之后，可以无限地前进。

给你一个数组 points ，返回引爆所有气球所必须射出的最小弓箭数 。

能被一起射爆的，也就是区间重合的气球。和上一题不一样，计算的是交集。题目里说的很复杂，好像和Y轴有关系一样，实际上没什么关系，还是单一维度上区间的计算。

对比合并区间，难点在于能被一根箭引爆的所有区间，必须都有交集。例如 $1, 2$ , $2, 3$ , $3, 4$ ，第一个和第三个区间并没有交集，不能视为一组。

如果还是和上一道题一样，以 starti 排序，遍历是否可以？排序后同理，开始值递增，区间长度不定。决定期间重合的变成了上界，有 starti <=start(i+1)，需要有 endi >= start(i+1)，两者才能重合。

对于下图所示情况，0 位置，相交区间 [start0, end0]。1 位置，相交区间 [start1, end1]。2 位置，相交区间 [start2, end0]

其实无需纠结第二个区间到第三个区间的变化，既然有不重合的，一定会需要多一个。start $2$ > start $1$ ，后续区间一定和区间二不重合。对于和区间重合的区间，随你怎么去，反正重合不了。所以边界合并规则就有了，下限一定取最新收缩下边界，上边界取最小，没有重合就新增。

ini 复制代码

var findMinArrowShots = function (points) {
    // 按结尾排序，开始一定小于等于结尾
    points.sort((a, b) => a[0] - b[0]);
    let ans = 1; // 默认第一个区间必有一次
    let limit = points[0][1];
    // 开始值永远增加
    for (let i = 0; i < points.length; i++) {
        const p = points[i];
        const [start, end] = p;
        // 如果当前开始大于下限，增加
        if (start > limit) {
            ans++;
            // 次数已经增加，直接取最大上限
            limit = end;
        } else {
            // 考虑交集区间
            limit = Math.min(end, limit)
        }
    }

    return ans;
};

如果考虑用 endi 排序，决定是否有交集的变成了区间下界。从左到右，上界递增，最小的上界就是最左边的，不重合就增加即可。这种方法比上面要简单，优化在哪里我还要想想，先记录下来吧。

ini 复制代码

var findMinArrowShots = function (points) {
    // 按结尾排序，开始一定小于等于结尾
    points.sort((a, b) => a[1] - b[1]);
    let ans = 0;
    let limit = -Infinity; // 下限默认负无穷，一定会有一次
    for (let i = 0; i < points.length; i++) {
        const p = points[i];
        const [start, end] = p;
        // 如果当前开始大于下限，增加
        if (start > limit) {
            ans++;
            // 次数已经增加，直接取最大上限
            limit = end;
        }
    }
    return ans;
};

notice：题目名称是 leetcode 链接，可以点击尝试自己完成一下。