博弈游戏，也有很多人把它叫做博弈论，但是博弈论的英文确实和 Game 这个词有关，所以也可以说是博弈游戏。
博弈游戏可以看作是一个专门的小领域（例如 数论、图论、或者是概率论），它的板块非常非常大。
所以这篇文章所写的可能只是很小的一部分，这里先开一个坑，我以后再来填写。
如果我没有听错的话，博弈游戏的全部介绍的书，好像有 800 多页。所以我们这些人学的都是冰山一角。
ICG 游戏
ICG 游戏是一个类别，也只是博弈游戏里面很简单的一类。
ICG，顾名思义，就是公平组合游戏。
这个概念怎么判断呢？它有着几个条件：
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两个人玩，即恰好有两个玩家。轮流行动。
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信息是公开的，即目前游戏的状态大家都知道。
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行动与当前游戏的状态有关（即与当前是哪个玩家是无关的）。
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举个例子，你和我在玩国际象棋。你的车只能上下左右走，但是我可以说我开了 VIP，可以让车斜着走！
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这样显然不是 ICG 游戏，因为 可以对车执行的行动 和玩家是谁有关。这也是所谓的公平。你只能横着走，我可以斜着走，公平吗？
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同一个状态不能重复出现。
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游戏一定会结束（没有平局，只有一个人胜）。且两个人成功的目标一致。
我们来看几个例子，看一下他们到底是不是 ICG。这一点很重要！如果我们面对的游戏不是 ICG 游戏，那么后面的一些理论也不可以用了。
扫雷：不满足第一条，不是 ICG。
麻将：首先不满足第一条，其次也不满足第三条（每个人的牌都可能不同）。
象棋 ：虽然这是两个人的游戏，虽然有公开的棋盘，虽然公平，但是可能会出现死局的情况（例如最终只剩下两个将了，完全就结束不了）。
NP 态
注意，这个时候我们讨论的是 ICG 游戏。
NP 是不是能够让你们想到 NP 问题，很抱歉，这里没有任何的联系。
既然 ICG 游戏已经要求最终一定要分出胜负，所以就设两个状态：N 态 和 P 态。
如果游戏的某一个状态是 N 态，则达到这个状态之后的先手必胜（所以所有人都尽量不走到为 N 态的状态，因为这样相当于给对方送命！）。
如果游戏的某一个状态是 P 态，则达到这个状态之后的先手必败（所以所有人都尽量走到为 P 态的状态，因为这样相当于自己必胜！）。
可以证明 ICG 游戏中，任何一个状态要么就是先手一定会胜利，要么就是先手一定会失败。
接下来我们来看几个经典的游戏。
在 DAG 上面的 ICG 游戏
当这个游戏是 ICG 游戏，且状态形成的关系构成一个有向无环图（DAG），就可以使用 NP 态很容易地求解必胜策略和必败策略。
注意，在这里求解 NP 态的时候，我们必须要化身"先知者"，首先需要得知可以到达的所有的状态 NP 态分别是什么，再决定自己的 NP 态。
这个 DAG 的每一个点都是游戏的某个状态，每一条边都是游戏状态的变换（即如果我能通过游戏给出的操作把状态 1 变成状态 2，则连 状态 1 \(\to\) 状态 2 的一条边）。
于是这个游戏的行动就变成了**在 DAG 上面，从当前点选一条边走。**这是对于任何 ICG 且状态可以形成一个 DAG 的游戏都适用的。
设我们有这个 DAG。
我们需要对于每一个点求出从这个点开始，最终是否必胜还是必败。即求出每一个点的 NP 态。
不妨设游戏终止条件为：不能走就是输了。
注意，这里我只是为了让读者理解一下 NP 态的转移策略，实际上游戏的终止条件各不相同，需要具体问题具体分析。
显然穷途末路的几个点一定是先手必败的，因为走到这些点就不会再有出路。
设 P 态为红色，N 态为绿色。
考虑那个画绿色的点。
显然它往哪走都可以，因为哪里走都是 P 态。
于是，这里我们得出：**只要我们的这个状态能够到达一个 P 态的状态，这个状态就一定先手必胜。**这是容易理解的。
同理：
对于绿色点中的最上面的那个点，它虽然也会到达一个绿色点，但是它不走那个绿色点不就行了！它明明可以到达那个红色点的，所以它也是 N 态。
考虑标了红色箭头的点。
显然，它不能到达任何的红色点，而它往哪里走都是绿色点，即后手一定胜，先手一定败。所以，它是 N 态。下面的那一个点同理。
所以，我们又可以得出另外一个真理：如果这个点只能到达绿色点，这个点一定是 P 态。
整合起来，NP 态的转移关系满足：
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N 态：后继结点有 P 态。
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P 态：后继结点全是 N 态。
还是那句话，NP 态并不适用于所有的博弈游戏。它只适用于只有必胜和必败的情况。
举个例子，还记得那道CSP-S T2，策略游戏吗，就是那道 6 个 ST 表的题目。但是这个题目只能化身"先知者"，大力分类讨论，但是不能使用 NP 态了。因为这个游戏没有胜负。
Bash 博弈
我们来看几个很经典的博弈例子。
Bash 博弈：有 \(n\) 个石子，每次可以取 \([1,k]\) 个，不能取的人输。
很熟悉对吧？？？结论很简单，就是如果 \((k+1) | n\)，则先手必败。否则先手必胜。
考虑从 DAG 的视角来看这个问题。设 \(n=7,k=2\)，显然可以建出如下的图：
然后就变成了一个 DAG 上面的博弈。
显然可以得出。
显然有必胜策略：把石子数量取成 \(k+1\) 的倍数，然后一直保持 \(k+1\) 的倍数就可以获胜。
威佐夫博弈
威佐夫博弈，英文 wythoff game。
模型描述：有两堆石子，分别有 \(x\) 个和 \(y\) 个（\(x \le y\)），每次可以取一堆的任意数量或者两堆的相同数量，不能取的人输。
最终的结论很奇妙：
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如果 \(x = \lfloor \frac{\sqrt 5 +1}{2} \rfloor \times (y-x)\)，则先手必胜。
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否则先手必败。
这个东西的黄金比哪来的呢？对不起。
这个东西很恶行，虽然最终的结论很奇妙，但是其证明很繁琐很复杂，这里就不再阐述了。
威佐夫博弈的证明里面有：click here
斐波那契博弈
模型描述：有 \(n\) 个式子，第一次可以取 \([1,n-1]\)，以后每一次都最多只能取到上一次的两倍，不能取的人输。
考虑枚举！
1 是显然可以的。
2 是不行的，3 也是不行的。
4 是可以的。
5 的话呢，如果一开始取 1，则不行。一开始取 2，对面可以取 3，也不行。
这下看出来规律了吗：当 \(n\) 是斐波那契数的时候，一定先手必败。否则先手必胜。
尼姆博弈
前面我们讲得都是非常偏僻的内容，尼姆博弈（Nim Game）才是 ICG 游戏中最核心的部分，包括以后博弈论很常用的 SG 函数也需要使用尼姆博弈的结论。
模型描述：有 \(n\) 堆石子，每一次可以选一堆区任意的数量（\(>1\)），不能取的输。
结论：当 \(n\) 堆石子的异或和 \(=0\)，先手必败。当异或和 \(\not = 0\)，先手必胜。
结论很简单，但是怎么证明呢？
考虑对于一个可能是正确的必败条件，考虑怎么分析。
显然，如果目前已经满足了这个必败条件，则需要证明怎么操作最终都会输掉。
而对于所有输掉的游戏，其一开始的状态存在满足这个必败条件。
显然到了所谓的必败条件的时候（即异或和为 \(0\)），则么走都不会一步内再使得异或和为 \(0\)，这是显然的。
而根据 NP 态的转移关系，这样子一定是 P 态。
这是比较好证明的。
所以我们可以证明，如果目前已经满足了这个必败条件，则怎么操作最终都会输掉。
不好证明的在于后面的那一部分。看上面的文章即可。
阶梯尼姆
阶梯尼姆，英文 Staircase Nim。
模型描述：有 \(n\) 堆式子，每一次可以取一堆的任意数量，然后放入前一堆中（第一堆要放入第 \(0\) 堆中），不能选就是输了。
思想很简单：偶数位作为垃圾桶。
然后，奇数位就相当于一个 Nim 模型了。就是这么简单。
考虑证明。如果奇数位到了偶数位就相当于从奇数位里面取出来一些东西，和 Nim 一样。如果偶数位有回到了奇数位，我们还可以再从奇数位丢掉从而进行操作还原，做了和没做一样。
战斗结束。
反尼姆
反尼姆游戏，英文 Anti Nim。
模型描述：有 \(n\) 堆石子，每一次可以选一堆取任意数量（大于 \(1\)），不能取赢。
结论：
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如果石子数全为 \(1\) 且 \(n\) 为偶数则必胜
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如果石子数不是全为 \(1\) 而且异或和不等于 \(0\) 则也必胜
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否则必败。
CF1215D Ticket Game
我们来看一道题。
这道题里面的游戏就不是 ICG 游戏了，因为两个人的目标不一致。怎么办呢？
这道题也告诉我们了如何思考博弈论题目。
考虑一下，如果两个人分别选了两边的 ?：
先手博弈策略：一定会选择对差值增大有利的选项。
后手博弈策略：跟先手选一样，来弥补差值。
所以左右的 ? 会两两抵消，那么剩下的 ? 都会出现在一边。此时问题似乎已经简化许多了。
显然这一边的问号数量一定是偶数。
那么现在：
设现在的差值为 \(dis\)，? 的数量为 \(num\)，则按照两者的关系分类讨论：
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\(num / 2 \times 9 < dis\)：先手不断选 \(0\) 就可以赢，后手会不断地选 \(9\)。
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\(num / 2 \times 9 > dis\)：先手不断选 \(9\) 就可以赢，后手会不断地选 \(0\)。
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\(num / 2 \times 9 = dis\)：后手只要不断地选和先手相加等于 \(9\) 的情况即可。后手必胜。
于是就直接分类讨论即可。