根据极点-零点分布进行状态空间模型降阶

根据极点-零点分布进行状态空间模型降阶
- 极点（Pole）的物理／数学含义
- 零点（Zero）的物理／数学含义
- 极点--零点相同位置：模式抵消
- [✨ 为什么可以模型降阶？](#✨ 为什么可以模型降阶？)
[MATLAB 绘制极点-零点分布](#MATLAB 绘制极点-零点分布)

根据极点-零点分布进行状态空间模型降阶

极点告诉你系统自己会怎么"颤动／衰减"------是所有模态的汇总；
零点告诉你在哪些频率上"输入到输出的链路被一脚踹断"------那些模态对外是不透明的；
极点--零点相同 说明 "内部有这个模态，但外部完全看不到"，正是降阶的目标。

极点（Pole）的物理／数学含义

自然模态（Natural Modes）
- 极点 s i s_i si 就是矩阵 A A A 的特征值 。每一个特征值对应一个"模态"------系统在无外力（ ⁣ u = 0 \!u=0 u=0）下，会 沿着对应的特征向量方向 ，以 e s i t e^{s_i t} esit 的形式 自然衰减或振荡。
- 如果 s i s_i si 是实数，模式是单指数衰减 e s i t e^{s_i t} esit；如果是复数对 α ± j β \alpha\pm j\beta α±jβ，是衰减振荡 e α t cos ⁡ ( β t ) e^{\alpha t}\cos(\beta t) eαtcos(βt)。
时域含义
- ℜ ( s i ) < 0 \Re(s_i)<0 ℜ(si)<0 → 模式衰减，且 ∣ ℜ ( s i ) ∣ |\Re(s_i)| ∣ℜ(si)∣ 越大，衰得越快，系统稳定；
- ℜ ( s i ) > 0 \Re(s_i)>0 ℜ(si)>0 → 模式发散，系统不稳定；
- ℜ ( s i ) = 0 \Re(s_i)=0 ℜ(si)=0 且 ℑ ( s i ) ≠ 0 \Im(s_i)\neq0 ℑ(si)=0 → 永久振荡（边界稳定）。
频域含义
- 在频率响应里，离开输入的频率越靠近某个复数极点的虚部，系统对该频率的放大倍数越大（共振／峰值）。

零点（Zero）的物理／数学含义

传输零点（Transmission Zeros）
- 零点 z j z_j zj 是这样一类频率：即使在输入端 U ( s ) U(s) U(s) 做脉冲／正弦激励，输出 Y ( s ) Y(s) Y(s) 却在此 s = z j s=z_j s=zj 频率处被完全"抑制"（幅度为零）。
- 数学上，零点是使得传递函数矩阵 G ( s ) G(s) G(s) 在某个方向上降秩（或者 分子多项式为零 ）的 s s s 值。
输入--输出影响
- 有零点的模式往往是那种"输入作用到这个模态上，会被系统某种耦合机制立刻在输出端给抵消掉"，即在传递路径上打了一个"死结"。

这些脉冲响应来自拥有 相同极点 的系统，那么它们究竟如何产生如此巨大的差异呢？

首先注意到，它们的 传递函数分子 （零点位置）是不同的。我们把这两组传递函数 泛化为二阶系统：

左侧系统在 s = − z s=-z s=−z 处有一个零点；右侧系统没有任何零点。

问题就转化为：一个零点的存在，为什么会导致如此不同的响应？

首先看 无零点系统 H 1 ( s ) H_1(s) H1(s) 的脉冲响应，

其中极点为复共轭对（阻尼比 ζ < 1 \zeta<1 ζ<1），可分解并做部分分式展开，取逆拉普拉斯变换后得到时域脉冲响应并简化，

注意， y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) 是指数和正弦波的乘积，指数项控制衰减（或增长）速度，正弦项控制振荡频率。

现在已经确定了无零脉冲响应，现在来确定 在 − z -z −z 处有一个零点系统 H 2 ( s ) H_2(s) H2(s) 的脉冲响应，

同样对分母分解、做部分分式展开，并取逆拉普拉斯变换，化简后可得，

事情开始变得有趣了，看一下第二项 z − a b \frac{z-a}{b} bz−a，随着 z z z 接近 a a a，频率响应的一部分会缩放，特别是当 z z z 接近于 p p p 的实部时，极点位于 − p -p −p，该项会消失。

缩放了无零点响应 y 1 y_1 y1；
叠加了 y 1 y_1 y1 的一阶导数项。

极点--零点相同位置：模式抵消

当看到：

vbnet 复制代码

极点: -1.8423, -1.7864, ...  
零点: -1.8423, -1.7864, ...

一一对应，说明：

这些 极点--零点对 在传递函数里互相抵消，对输入--输出动态没有贡献。
换言之，这部分"内部模态"虽然存在于 A A A 矩阵，却对任何外部输入 u u u 并不会在输出 y y y 上留下痕迹------要么是 不可观测 ，要么是 不可控，或者两者兼有。

✨ 为什么可以模型降阶？

点	含义
极点 = 模态存在	系统里有这个模式
零点 = 模态抵消	输入--输出通路上不允许这个模式传播
极点 = 零点	模态虽然存在，但完全被抑制，对输入输出行为没有任何影响
极点 = 零点为什么无用？	不影响响应、不影响控制器、不改变系统性能，删掉更高效

移除"丝毫不影响"输入--输出性能的那些模式，让模型变得更小、更高效；
降阶后剩下的极点，才是真正决定系统对外（关心的那个输入--输出通道）动力学性能的 "有效模式"；
去除无用模式还有利于控制器设计（避免去补偿那些根本检测不到或控制不到的动态）。

举一个简单的例子，考虑一个 SISO 系统，传递函数为：

G ( s ) = ( s + 3 ) ( s + 1 ) ( s + 3 ) G(s) = \frac{(s + 3)}{(s + 1)(s + 3)} G(s)=(s+1)(s+3)(s+3)

可以对上面的式子做约分，化简后得到的系统：
G 简化 ( s ) = 1 s + 1 G_{\text{简化}}(s) = \frac{1}{s + 1} G简化(s)=s+11

原本极点有 { − 1 , − 3 } \{-1,-3\} {−1,−3}，零点有 { − 3 } \{-3\} {−3}。
因为 − 3 -3 −3 频率上"零点--极点成对抵消"，最终等价于一个一阶系统 1 / ( s + 1 ) 1/(s+1) 1/(s+1)。

为什么这个抵消的模态没用了？

可以从时域和频域两个角度来理解。

时域角度理解

系统本来包含模态：
- e − t e^{-t} e−t（极点 -1）→ 留下来了
- e − 3 t e^{-3t} e−3t（极点 -3）→ 被零点抵消了！
也就是说：系统本来有两个动态过程在响应输入时发生，一个快的、一个慢的。但是由于 s = − 3 s = -3 s=−3 同时是零点，所以该模态虽然 系统内部存在 ，但它 对输出的影响被输入路径"抵消"掉了 ！
想象成：这个模态存在于系统内部，但输入 u u u 不会激发它，输出 y y y 也看不到它。
频域角度理解

来看系统的频率响应：
- 零点是让系统在某个频率 完全无响应。
- 极点是系统在某个频率 响应增强（或延迟）。
当 极点和零点相同 时，这两种影响完全抵消掉了。在 s = − 3 s = -3 s=−3 附近，刚想要"振起来"，系统立刻把那一部分"消掉"，结果就是没有那部分响应。

在控制系统里，我们只关心 输入 u u u 到 输出 y y y 的通路。如果某个内部状态的动态，输入激不起它，输出也看不到它，那它对控制器设计来说是 完全无用的：无需观测它、无需控制它、不影响性能、不影响稳定性。

所以在建模或简化模型时，完全可以删掉它。

MATLAB 绘制极点-零点分布

matlab 复制代码

%% 1. 构造系统并算极零点
sys = ss(A,B,C,D);  % 自定义的 A,B,C,D

%% 2. 绘制极点-零点图
figure
hold on;
pzmap(sys)
grid on

%% 3. 叠加阻尼比和自然频率线
sgrid

底图并不是一个"正方形"网格，而是典型的 s‑平面（damping--frequency）网格：

圆弧（constant natural frequency）

放射状直线（constant damping ratio）

x 轴、y 轴刻度不等距（非等高宽）

MATLAB 自带了 Control Toolbox 里的 sgrid 函数，专门用来往 s‑平面上画这两种网格。

从极点（Poles）和传输零点（Transmission Zeros）结果来看，主要暴露出以下几个问题：

高阶系统中存在大量"重合"极点--零点
- 除了一个 幅值约为 − 9.4108 × 1 0 4 -9.4108\times10^4 −9.4108×104 的快模 ，几乎所有极点都落在 − 0.0 ... ∼ − 1.0 -0.0...\sim-1.0 −0.0...∼−1.0 之间，而且传输零点列表里几乎"抄"了一份极点（同样的值、同样的幅度）------这说明在这些频率点上存在 成对的极点--零点。
- 这正是典型的 "极点--零点相互抵消" （pole--zero cancellation）：系统在这些模态上既有极点又有相同位置的零点，结果在开环或闭环响应中，这部分动态都会被"抹去"，对外表现得像不存在这些模态。
模型"非最简"／不必要的高阶
- 当从某个更复杂的结构（比如带有很多中间变量、滤波器、观测器等）直接写出 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D 后，很容易出现 非最小实现 （non‑minimal realization）：可控但不可观测或可观测但不可控的状态分量，被保留在模型里，却对输入---输出响应没有实质贡献。
大量频率接近零的模式
- 大量接近 0 （如 − 0.0000 -0.0000 −0.0000）的极点和零点，往往是数值精度或模型降阶／近似造成的"伪模式"------物理上并不存在这么多几乎为零的慢模态（"伪零点"）。

真正对系统输入---输出贡献 的是 被保留下来的"非抵消"极点／零点 ，对这些模式之外的部分，可以用 minreal 或降阶方法清理掉。这样既让模型更简洁，也能避免后续控制器设计中出现不必要的麻烦。

最小化模型： 在 MATLAB 中对状态空间对象调用
matlab 复制代码
```
sys_min = minreal(sys);
```
它会自动做可控性/可观测性分析，去掉所有"成对抵消"的极点--零点，得到最简的等价系统。
数值条件检查：
- 用 ctrb(A,B) 与 obsv(A,C) 查看可控/可观矩阵秩，确认是否存在不可控或不可观测子空间。
matlab 复制代码
```
rank(ctrb(A,B)), rank(obsv(A,C))
```
- 若秩小于状态维数，说明有冗余（不可控或不可观），需要先做可控／可观子空间分解。
平衡降阶（可选） 如果想在保留主要特性下更进一步降阶，可用
matlab 复制代码
```
sys_bal = balreal(sys);
sys_red = modred(sys_bal, indices_to_remove);
```
或直接
matlab 复制代码
```
sys_red = balred(sys, r);
```
用 Hankel 奇异值自动去掉贡献最小的模式。
避免数值爆炸/精度问题：
- 如果原始 A A A 矩阵元素跨度极大（如首个极点是 1 0 4 10^4 104，其余都是 1 0 − 1 10^{-1} 10−1 量级），建议先缩放状态或做"坐标变换"让系统矩阵条件数改善。
- 保持同一数量级，有助于数值算法（计算特征值、零点）更稳健。

根据极点-零点分布进行状态空间模型降阶