物理信息神经网络(PINNs)在悬臂梁分析中的应用研究

一、引言

物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Networks, PINNs)是近年来兴起的一种结合深度学习与传统物理建模的创新方法。本文将探讨PINNs在悬臂梁力学分析中的应用,展示如何利用这一技术解决工程力学中的经典问题。

二、PINNs基本原理

PINNs的核心思想是将物理定律直接嵌入神经网络的学习过程中。与传统神经网络不同,PINNs不仅学习数据本身,还学习控制物理系统的微分方程。这种方法特别适用于工程力学问题,因为它:

  1. 不需要大量实验数据

  2. 能够满足物理定律的约束

  3. 可以处理复杂边界条件

  4. 提供连续的解而非离散点

三、悬臂梁问题的PINNs实现

3.1 问题描述

我们考虑一个长度为L=10m的悬臂梁,自由端受到P=-1000N的集中载荷作用,抗弯刚度EI=1×10⁶N·m²。根据材料力学理论,悬臂梁的挠度w(x)应满足以下微分方程:

EI·d⁴w/dx⁴ = 0

边界条件为:

  • 固定端(x=0):

    w=0,dw/dx=0

  • 自由端(x=L):

    d²w/dx²=0,EI·d³w/dx³=P

3.2 网络架构设计

我们采用了一个5层64个神经元的全连接网络(FCN),激活函数为Tanh。网络结构如下:

复制代码
class FCN(nn.Module):
    def __init__(self, N_INPUT, N_OUTPUT, N_HIDDEN, N_LAYERS):
        super().__init__()
        activation = nn.Tanh
        self.fcs = nn.Sequential(
            nn.Linear(N_INPUT, N_HIDDEN),
            activation()
        )
        self.fch = nn.Sequential(*[
            nn.Sequential(
                nn.Linear(N_HIDDEN, N_HIDDEN),
                activation()
            ) for _ in range(N_LAYERS-1)
        ])
        self.fce = nn.Linear(N_HIDDEN, N_OUTPUT)

3.3 理论解引导的改进

为提高训练效率,我们采用理论解引导的网络结构:

复制代码
def forward(self, x):
    N = self.fcs(x)
    N = self.fch(N)
    N = self.fce(N)
    return analytical_solution(x, P, L, EI) + x**2 * (L-x)**2 * N

这种设计确保网络自动满足固定端的位移和转角边界条件,大幅提高了收敛速度。

四、训练过程与结果分析

4.1 训练策略

我们采用Adam优化器,初始学习率1e-3,并配合ReduceLROnPlateau学习率调度器。训练共进行15000步,每5000步输出一次中间结果。

损失函数包含五个部分:

  1. 固定端位移边界条件

    复制代码
        w = pinn(x_boundary)
        loss1 = torch.mean(w**2)
  2. 固定端转角边界条件

    复制代码
        dw = torch.autograd.grad(w, x_boundary, torch.ones_like(w), create_graph=True)[0]
        loss2 = torch.mean(dw**2)    
  3. 自由端弯矩边界条件

    复制代码
        w_L = pinn(x_boundary_L)
        d2w_L = torch.autograd.grad(
            torch.autograd.grad(w_L, x_boundary_L, torch.ones_like(w_L), create_graph=True)[0],
            x_boundary_L, torch.ones_like(w_L), create_graph=True)[0]
        loss3 = torch.mean(d2w_L**2)
  4. 自由端剪力边界条件

    复制代码
        d3w_L = torch.autograd.grad(d2w_L, x_boundary_L, torch.ones_like(d2w_L), create_graph=True)[0]
        loss4 = torch.mean((EI * d3w_L - P)**2)
  5. 控制微分方程残差

    复制代码
        w_phys = pinn(x_physics)
        d2w = torch.autograd.grad(
            torch.autograd.grad(w_phys, x_physics, torch.ones_like(w_phys), create_graph=True)[0],
            x_physics, torch.ones_like(w_phys), create_graph=True)[0]
        d4w = torch.autograd.grad(
            torch.autograd.grad(d2w, x_physics, torch.ones_like(d2w), create_graph=True)[0],
            x_physics, torch.ones_like(d2w), create_graph=True)[0]
        loss5 = torch.mean((EI * d4w)**2)

    6.损失函数

    复制代码
        loss = lambda1*loss1 + lambda2*loss2 + lambda3*loss3 + lambda4*loss4 + lambda5*loss5

4.2 训练结果可视化

上三图展示了训练过程中PINN解与理论解的对比情况。可以看到,随着训练进行,PINN解迅速收敛到理论解。

4.3 最终结果验证

通过可视化分析,我们发现:

  1. PINN解与理论解在整体趋势上高度一致

  2. 最大挠度处的相对误差小于1%

  3. 边界条件得到良好满足

  4. 控制微分方程的残差极小

五、技术优势与应用前景

5.1 与传统方法的比较

相比有限元等传统数值方法,PINNs在悬臂梁分析中展现出独特优势:

  1. 无需网格划分:直接处理连续空间

  2. 高分辨率输出:可在任意点求值

  3. 逆问题求解:可同时识别材料参数

  4. 计算效率:一次训练,多次使用

5.2 工程应用潜力

PINNs在工程力学领域有广阔应用前景:

  1. 复杂边界条件问题

  2. 材料非线性分析

  3. 动态响应模拟

  4. 结构健康监测

六、结论

本文成功应用PINNs解决了悬臂梁弯曲问题,验证了该方法在结构力学中的有效性。通过将理论解融入网络架构,我们显著提高了训练效率和精度。未来工作将拓展到更复杂的工程问题,如复合材料梁、大变形分析等。

这种方法为工程力学分析提供了新的数值工具,特别适用于传统方法难以处理的复杂问题。

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