【C++】21. 红黑树的实现

上一章节我们实现了AVL树，这一章节我们就来实现一下红黑树，同样这里我们只介绍插入和查找的接口，插入是构建红黑树的关键，同时也是常考的点，至于为什么删除会显得"并不重要"，原因如下：

I. 应用场景中插入频率远高于删除

• 数据结构的典型使用模式 ：

  在多数使用红黑树的场景（如数据库索引、内存管理、缓存系统）中，插入操作通常比删除更频繁。例如：

  • 数据库索引需要不断插入新记录，而删除可能通过标记（如逻辑删除）延迟处理。

  • 缓存系统（如Redis）中数据自动过期，实际显式删除较少。

• 动态数据流 ：

  实时数据流（如日志、传感器数据）通常以插入为主，删除操作可能集中在后期批量处理。

---

II. 删除操作可通过策略优化绕过复杂度

• 惰性删除（Lazy Deletion） ：

  许多系统采用"标记删除"而非立即调整树结构。例如：

  • 将节点标记为"已删除"，实际保留在树中，后续插入时复用空间。

  • 减少实时调整的开销，尤其在高并发场景（如Java的ConcurrentHashMap）。

• 批量处理 ：

  删除操作积累到一定阈值后批量执行，分摊调整成本（如B树的分裂/合并优化）。

---

III. 删除的实现复杂度更高，但触发条件更少

• 插入修复的确定性 ：

  插入破坏红黑树性质的情况相对固定，修复逻辑集中在父节点和叔节点的颜色组合（4种经典Case），且修复过程可能向上递归的范围有限。

• 删除修复的多样性 ：

  删除黑色节点后，需处理兄弟节点及其子树的复杂情况（6种以上Case），修复可能波及整条路径，甚至需要多次旋转和重新着色。例如：

  • 兄弟节点为红色时，需旋转父节点并重新着色。

  • 兄弟节点为黑色且侄子节点全黑时，需向上递归处理。

• 实际触发概率 ：

  由于红黑树的平衡性，删除导致结构破坏的概率较低。即使触发修复，多数情况在局部即可解决。

---

IV. 性能优化的侧重点不同

• 插入优化更直接影响用户体验 ：

  实时系统（如游戏、交易系统）对插入延迟敏感，需优先保证插入效率。

• 删除的代价可被其他机制吸收 ：

  例如，数据库通过预写日志（WAL）和后台线程处理删除，避免阻塞主线程。

---

V. 红黑树的设计哲学

• 权衡平衡与操作成本 ：

  红黑树允许一定程度的不平衡（最长路径≤2倍最短路径），以换取更少的旋转操作。这一设计使得：

  • 插入的调整成本较低（平均旋转次数更少）。

  • 删除的调整成本虽高，但总体仍能保持O(log n)，且实际应用中删除频率低，综合效率更高。

---

总结：为什么删除显得"不重要"？

维度	插入	删除
频率	高（实时数据流、动态更新）	低（常被惰性删除或批量处理）
修复复杂度	简单（4种Case，局部修复）	复杂（6+种Case，可能递归调整）
优化策略	直接决定实时性能	常被延迟或分摊处理
设计目标	确保高频操作高效	容忍低频操作的较高成本

---

1. 红黑树的概念

红黑树是一种二叉搜索树，每个节点新增一个存储位来表示节点颜色，可以是红色或黑色。

通过对从根节点到叶节点的每条路径上的节点颜色进行约束，红黑树确保没有路径会比其他路径长两倍以上，因此是近似平衡的。

1.1 红黑树的规则：

1. 每个节点必须是红色或黑色
2. 根节点必须是黑色
3. 红色节点的两个子节点必须都是黑色（即不允许出现连续红色节点）
4. 从任意节点到其所有NULL节点的简单路径上，黑色节点数量必须相同

以上这些都是红黑树

注：《算法导论》等书籍补充了一条规则：所有叶节点(NIL)必须是黑色。这里的叶节点并非传统意义上的叶节点，而是指空节点（也被称为外部节点）。NIL节点的引入是为了准确标识所有路径，但在实际实现细节中《算法导论》也忽略了NIL节点，了解这个概念即可。

---

1.2 思考：红黑树如何保证最长路径不超过最短路径的两倍？

红黑树通过以下规则保证其平衡性：

1. 根据规则4（每个节点到其所有后代NULL节点的路径包含相同数量的黑色节点），我们可以推导出：

   • 设从根节点到NULL节点的最短路径为全黑色节点路径，其黑色高度为bh
   • 示例：在一个bh=3的红黑树中，最短路径形式为：黑→黑→黑→NULL

2. 结合规则2（根节点是黑色）和规则3（红色节点的子节点必须是黑色）：

   • 任何路径上都不会出现连续的红色节点
   • 最长路径必须由黑色和红色节点严格交替组成
   • 最长路径的理论最大长度为：黑→红→黑→红→黑→红→黑→NULL（即2*bh-1）
   • 但实际上，由于根节点必须是黑色，典型最长路径为：黑→红→黑→红→黑→NULL（即2*bh）

3. 路径长度的数学约束：

   • 对于任意路径x，满足：bh ≤ x ≤ 2*bh
   • 示例场景：
     • 当bh=2时：
       • 最短路径：黑→黑→NULL（长度2）
       • 最长路径：黑→红→黑→红→NULL（长度4）
     • 当bh=4时：
       • 最短路径：黑→黑→黑→黑→NULL（长度4）
       • 最长路径：黑→红→黑→红→黑→红→黑→红→NULL（长度8）

4. 实际应用中的表现形式：

   • 并非所有红黑树都会达到理论极值
   • 插入/删除操作时，通过旋转和重新着色来维持这个比例关系
   • 在数据库索引等实际应用中，这种约束确保了查询效率的稳定性

---

1.3 红黑树的效率分析：

设N为红黑树中的节点总数，h为红黑树的最短路径长度（即黑色高度）。根据红黑树的以下关键性质：

1. 每个节点非红即黑
2. 根节点是黑色
3. 红色节点的子节点必须是黑色
4. 从任一节点到其每个叶子节点的路径包含相同数量的黑色节点

可以得出数学关系式： 2^h - 1 ≤ N < 2^(2h) - 1

这个不等式右边2^(2h)是因为红黑树的最长路径可能达到2h（红黑交替）。通过数学推导可得树的近似高度范围： h ≈ log₂N → 2log₂N

这意味着红黑树的增删查改操作在最坏情况下只需遍历最长路径（高度不超过2log₂N），时间复杂度保持为O(logN)。例如：

• 包含100万个节点的红黑树，查找操作最多只需40次比较
• 包含10亿个节点时，最多只需60次比较

与AVL树的对比分析：

1. 平衡机制差异：

   • AVL树：严格平衡，左右子树高度差不超过1
   • 红黑树：通过颜色规则实现近似平衡，最长路径不超过最短路径的两倍

2. 操作效率比较：

   • 查找：AVL树略优（更平衡）
   • 插入/删除：红黑树更优（旋转次数更少）
   • 综合性能：红黑树更适合频繁修改的场景

3. 旋转操作统计：

   • 实验数据显示，插入相同数量节点时，红黑树的旋转次数约为AVL树的1/3
   • 典型场景：插入10000个随机节点，AVL树平均需要8000次旋转，红黑树仅需2500次

实际应用中的选择标准：

• 内存数据库索引：常选用AVL树（查询密集）
• 文件系统、STL map/set：多采用红黑树（修改频繁）
• Java TreeMap、Linux内核：均使用红黑树实现

---

2. 红黑树的实现

2.1 红黑树的结构

1. 颜色枚举 Colour

enum Colour
{
    RED,
    BLACK
};

• 作用：定义红黑树节点的颜色状态。

• 设计意图：红黑树节点必须为红色或黑色，符合红黑树的性质。

---

2. 节点结构体 RBTreeNode

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_kv(kv)
        ,_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)    
        ,_parent(nullptr)
        ,_col(RED)          // 新节点默认红色（符合红黑树插入规则）
    {}

    pair<K, V> _kv;          // 键值对
    RBTreeNode<K, V>* _left; // 左子节点
    RBTreeNode<K, V>* _right;// 右子节点
    RBTreeNode<K, V>* _parent; // 父节点
    Colour _col;             // 节点颜色
};

关键点：

1. 键值对存储 ：使用 pair<K, V> 存储键值。

2. 三叉链结构 ：每个节点包含 _left、_right、_parent 指针，便于回溯和调整树结构。

3. 颜色初始化：新节点默认红色（插入后可能触发颜色调整）。

---

3. 红黑树类 RBTree

template<class K, class V>
class RBTree
{
    using Node = RBTreeNode<K, V>;  // 类型别名简化代码
public:
    
private:
    Node* _root = nullptr;  // 根节点初始化为空
};

设计分析：

1. 模板化设计 ：支持泛型键值类型（K 和 V），类似 STL 的 map。

2. 根节点管理 ：私有成员 _root 表示树的根，初始为空。

3. 待实现方法：

   • 插入（Insert）需处理颜色调整和旋转。

   • 查找（Find）基于二叉搜索树规则。

   • 旋转操作（左旋 RotateLeft、右旋 RotateRight）。

具体代码：

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _col(RED)          // 新节点默认红色（符合红黑树插入规则）
    {}

    pair<K, V> _kv;          // 键值对
    RBTreeNode<K, V>* _left; // 左子节点
    RBTreeNode<K, V>* _right;// 右子节点
    RBTreeNode<K, V>* _parent; // 父节点
    Colour _col;             // 节点颜色
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	using Node = RBTreeNode<K, V>;
public:

private:
	Node* _root = nullptr;
};

---

2.2 旋转

旋转和AVL树的逻辑是一样的，不过只需要旋转树节点，不需要去维护平衡因子，所以具体细节就不再细讲，感兴趣可以去上一章节AVL树的实现中查看

旋转代码：

// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;// parent的左子节点（旋转后的新根）
	Node* subLR = subL->_right;// subL的右子节点（可能为空）

	// 旋转节点
	subL->_right = parent;
	parent->_left = subLR;

	// 维护父指针
	Node* pParent = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;
	if (subLR) //若subLR存在,更新其父指针,避免堆空指针解引用
	{
		subLR->_parent = parent;
	}
	subL->_parent = pParent;

	// 维护parent的父节点
	if (parent == _root) // parent为根节点的情况
	{
		_root = subL;
	}
	else // parent是一棵局部子树的情况
	{
		if (pParent->_left == parent)
		{
			pParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			pParent->_right = subL;
		}
	}
}

// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;// parent的右子节点（旋转后的新根）
	Node* subRL = subR->_left;// subR的左子节点（可能为空）

	// 旋转节点
	subR->_left = parent;
	parent->_right = subRL;

	// 维护父指针
	Node* pParent = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;
	if (subRL) //若subRL存在,更新其父指针,避免堆空指针解引用
	{
		subRL->_parent = parent;
	}
	subR->_parent = pParent;

	// 维护parent的父节点
	if (parent == _root) // parent为根节点的情况
	{
		_root = subR;
	}
	else // parent是一棵局部子树的情况
	{
		if (pParent->_left == parent)
		{
			pParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			pParent->_right = subR;
		}
	}
}

---

2.3 红黑树的插入

2.3.1 红黑树插入值的基本流程

红黑树的插入操作分为两个主要阶段：首先执行标准的二叉搜索树插入，然后进行颜色调整和旋转操作以维持红黑树性质。具体步骤如下：

1. 标准BST插入阶段：

   • 从根节点开始，比较待插入值与当前节点值
   • 根据比较结果向左或向右子树递归查找插入位置
   • 在适当位置创建新节点并建立父子关系

2. 颜色修正阶段：

   • 新插入节点初始着色规则：
     • 空树插入时，新增节点作为根节点必须为黑色（满足规则2）
     • 非空树插入时，新增节点必须为红色（避免立即违反规则4的要求）
   • 检查红黑树性质是否被破坏：
     • 若父节点为黑色：插入完成（所有性质均保持）
     • 若父节点为红色：需要进一步处理（违反了规则3的"无连续红色节点"要求）

处理违反规则3的情况时，需要考察以下家族关系：

• c(cur)：当前新增的红色节点
• p(parent)：c的红色父节点
• g(grandfather)：p的父节点（必然为黑色，否则在插入前就违反了规则）
• u(uncle)：p的兄弟节点

根据叔节点u的不同状态，存在三种主要处理情形：

情形1：u存在且为红色

• 将p和u改为黑色
• 将g改为红色
• 将g视为新的当前节点继续向上调整

情形2：u为黑色或不存在，且c-p-g形成"直线型"（左左或右右）

• 对g执行单旋转（p为左子则右旋，p为右子则左旋）
• 交换p和g的颜色

情形3：u为黑色或不存在，且c-p-g形成"之字形"（左右或右左）

• 先对p执行单旋转（转化为情形2）
• 然后按情形2处理

注：图示约定说明

• 使用标准家族关系标记法： c：当前节点（current） p：父节点（parent） g：祖父节点（grandparent） u：叔节点（uncle）

---

2.3.2 情况1：变色处理

当满足以下条件时：

• c为红色
• p为红色
• g为黑色
• u存在且为红色

处理步骤：

1. 将p和u变为黑色
2. 将g变为红色
3. 将g作为新的c节点继续向上更新

原理分析：

• 由于p和u都是红色，g是黑色，将p和u变黑会增加左侧子树的黑色节点数
• g变红后，整个子树的黑色节点数保持不变
• 这样既解决了c和p连续红色的问题，又保持了平衡
• 需要继续向上更新是因为g变为红色后，如果其父节点也是红色就需要进一步处理

特殊情况：

• 若g的父节点是黑色，处理结束
• 若g是根节点，最后将其变回黑色

说明：

1. 情况1仅涉及变色操作，不进行旋转
2. 无论c是p的左/右子节点，p是g的左/右子节点，处理方式相同
3. 类似AVL树，图0展示了一个具体实例，但实际存在多种类似情况
4. 图1进行了抽象表示：
   • d/e/f表示每条路径含hb个黑色节点的子树
   • a/b表示每条路径含hb-1个黑色节点的红色根子树(hb≥0)
5. 图2/3/4分别展示了hb=0/1/2的具体组合情况
6. 当hb=2时，组合情况可达上百亿种
7. 这些示例说明无论情况多么复杂，处理方式都相同：变色后继续向上处理
8. 因此只需关注抽象图即可理解核心原理

图0

图1

图2

图3

图4

2.3.3 情况2：单旋+变色

当满足以下条件时：

• 结点c为红色
• 父结点p为红色
• 祖父结点g为黑色
• 叔结点u不存在或存在且为黑色

若u不存在，则c必定为新增结点；若u存在且为黑色，则c原本为黑色结点，因其子树中插入新结点导致c变为红色（符合情况1：变色处理的变色规则）。

解决方案分析： 由于存在连续的红色结点（p和c），仅通过变色无法解决问题，需要进行旋转操作。具体处理方式如下：

情况1（LL型）： 当p是g的左孩子且c是p的左孩子时：

1. 以g为旋转点进行右单旋
2. 将p变为黑色，g变为红色 结果：

• p成为新的子树根结点
• 子树黑色结点数量保持不变
• 消除连续红色结点问题
• 无需继续向上调整

情况2（RR型）： 当p是g的右孩子且c是p的右孩子时：

1. 以g为旋转点进行左单旋
2. 将p变为黑色，g变为红色 结果：

• p成为新的子树根结点
• 子树黑色结点数量保持不变
• 消除连续红色结点问题
• 无需继续向上调整

2.3.4 情况3：双旋+变色

条件：

• c为红色，p为红色，g为黑色
• u不存在，或u存在且为黑色
  • 若u不存在，则c必定是新增节点
  • 若u存在且为黑色，则c原本为黑色（因子树插入符合情况1，通过变色将c从黑色变为红色）

分析： 必须将p变为黑色以解决连续红色节点问题。由于u不存在或为黑色，单纯变色无法解决问题，需要执行旋转+变色操作。

操作示例1（p为g的左子节点，c为p的右子节点）：

1. 以p为旋转点进行左单旋
2. 以g为旋转点进行右单旋
3. 将c变为黑色，g变为红色 最终c成为子树的新根，保持：

• 子树黑色节点数量不变
• 消除连续红色节点
• 无需向上更新（c的父节点颜色不影响规则）

操作示例2（p为g的右子节点，c为p的左子节点）：

1. 以p为旋转点进行右单旋
2. 以g为旋转点进行左单旋
3. 将c变为黑色，g变为红色 最终效果同上，c成为新根且满足所有平衡条件。

2.2.4 情况2：双旋+变色

条件：

• c为红色，p为红色，g为黑色
• u不存在，或u存在且为黑色
  • 若u不存在，则c必定是新增节点
  • 若u存在且为黑色，则c原本为黑色（因子树插入符合情况1，通过变色将c从黑色变为红色）

分析： 必须将p变为黑色以解决连续红色节点问题。由于u不存在或为黑色，单纯变色无法解决问题，需要执行旋转+变色操作。

操作示例1（p为g的左子节点，c为p的右子节点）：

1. 以p为旋转点进行左单旋
2. 以g为旋转点进行右单旋
3. 将c变为黑色，g变为红色 最终c成为子树的新根，保持：

• 子树黑色节点数量不变
• 消除连续红色节点
• 无需向上更新（c的父节点颜色不影响规则）

操作示例2（p为g的右子节点，c为p的左子节点）：

1. 以p为旋转点进行右单旋
2. 以g为旋转点进行左单旋
3. 将c变为黑色，g变为红色 最终效果同上，c成为新根且满足所有平衡条件。

---

2.3.5 代码实现和梳理

第一步：初始化与空树处理

if (_root == nullptr) {
    _root = new Node(kv); // 创建根节点（默认颜色为红色）
    _root->_col = BLACK;  // 后续强制修正根为黑色
    return true;
}

• 作用：若树为空，直接创建根节点并设为黑色（虽然构造函数默认红色，但最终会强制修正）。

---

第二步：标准BST插入

1. 查找插入位置：

   while (cur) {
       if (cur->_kv.first < kv.first) { // 向右子树查找
           parent = cur;
           cur = cur->_right;
       } else if (cur->_kv.first > kv.first) { // 向左子树查找
           parent = cur;
           cur = cur->_left;
       } else { // 键已存在，插入失败
           return false;
       }
   }

2. 创建新节点并挂载：

   cur = new Node(kv); // 新节点默认为红色
   if (parent->_kv.first < kv.first) {
       parent->_right = cur; // 挂载到右子树
   } else {
       parent->_left = cur;  // 挂载到左子树
   }
   cur->_parent = parent;    // 维护三叉链

---

第三步：颜色修正（核心逻辑）

循环条件：父节点存在且为红色（若父节点为黑色，无需调整）。

while (parent && parent->_col == RED) {
    Node* grandfather = parent->_parent; // 祖父节点必存在（因父为红，不可能是根）
    // 分父节点是祖父的左/右孩子两种情况处理
}

---

情况1：父节点是祖父的左孩子

1. 获取叔节点：

   Node* uncle = grandfather->_right;

2. Case 1：叔节点存在且为红（变色处理）：

   if (uncle && uncle->_col == RED) {
       parent->_col = uncle->_col = BLACK; // 父、叔变黑
       grandfather->_col = RED;            // 祖父变红
       cur = grandfather;                  // 向上回溯
       parent = cur->_parent;              // 检查新的父节点
   }

   • 结果：红色上移至祖父节点，可能递归处理。

3. Case 2/3：叔节点为黑或不存在（旋转+变色）：

   • Case 2（LL型）：当前节点是父的左孩子（右单旋）：

     if (parent->_left == cur) {
         RotateR(grandfather);     // 右旋祖父
         grandfather->_col = RED;  // 祖父变红
         parent->_col = BLACK;     // 父变黑
     }

   • Case 3（LR型）：当前节点是父的右孩子（左右双旋）：

     else {
         RotateL(parent);          // 先左旋父节点
         RotateR(grandfather);     // 再右旋祖父
         grandfather->_col = RED;  // 祖父变红
         cur->_col = BLACK;        // 当前节点变黑
     }

   • 结果：旋转后子树根节点变为黑色，结束调整。

---

对称情况：父节点是祖父的右孩子

处理逻辑与上述对称：

1. 获取叔节点 ：grandfather->_left。

2. Case 1：叔节点为红，变色后向上回溯。

3. Case 2/3：

   • Case 2（RR型）：当前节点是父的右孩子（左单旋）。

   • Case 3（RL型）：当前节点是父的左孩子（右左双旋）。

---

第四步：强制根节点为黑色

_root->_col = BLACK; // 确保根节点始终为黑

• 必要性：修正过程中祖父可能变为根且为红色，需强制修正。

---

示例流程（Case 3：LR型）

1. 初始状态：

       g(B) 
      /      
     p(R) 
      \  
       c(R) 

2. 左旋父节点：

     g(B) 
      /     
     c(R)   
    /      
   p(R)  

3. 右旋祖父节点：

     c(B)
      /   \
     p(R) g(R)

4. 颜色调整 ：g 变红，c 变黑，结束调整。

具体代码：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
        _root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	//链接父亲节点
	cur->_parent = parent;

	// 父节点为红色，需要颜色修正
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent; // 祖父节点必存在（因父为红，不可能是根）
		// 分父节点是祖父的左/右孩子两种情况处理
		if (grandfather->_left == parent)
		{
			//		g(B)
			//	p(R)	   u(分情况)
			Node* uncle = grandfather->_right;
			if (uncle && uncle->_col == RED) // 情况1：变色处理
			{
				//		g(B)
				//	p(R)	   u（存在且为红色）
				//c(R)
				// 变色
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				// 继续向上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else // 情况2，3：旋转 + 变色
			{
				if (parent->_left == cur) // 右单旋 + 变色
				{
					//		g(B)
					//	p(R)	   u（不存在或为黑色）
					//c(R)
					RotateR(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else // 左右双旋 + 变色
				{
					//		g(B)
					//	p(R)	   u（不存在或为黑色）
					//    c(R)
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				//此时旋转之后的子树根节点为parent或cur，但都变为黑色，更新到黑结束
				break;
			}
		}
		else
		{
			//		      g(B)
			//	u(分情况)		 p(R)
			Node* uncle = grandfather->_left;
			if (uncle && uncle->_col == RED) // 情况1：变色处理
			{
				//			  g(B)
				//	u(存在且为红色)		p(R)
				//							c(R)
				// 变色
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				// 继续向上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else // 情况2，3：旋转 + 变色
			{
				if (parent->_left == cur) // 左单旋 + 变色
				{
					//			  g(B)
					//	u(不存在或为黑色)		p(R)
					//							c(R)
					RotateL(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else // 右左双旋 + 变色
				{
					//			  g(R)
					//	u(不存在或为黑色)		p(R)
					//					c(R)
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				//此时旋转之后的子树根节点为parent或cur，但都变为黑色，更新到黑结束
				break;
			}
		}
	}

	// 暴力处理：无论是否处理到根节点，都直接把根节点变为黑色（符合根节点为黑色规则）
	_root->_col = BLACK;
	return true;
}

---

2.4 红黑树的查找

按二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

---

2.5 红黑树的验证

单纯通过比较最长路径和最短路径的长度（检查最长路径不超过最短路径的2倍）并不能完全验证红黑树的合法性，因为即使满足这个条件，仍可能出现颜色规则不符的情况。当前状态可能暂时没有问题，但后续插入操作仍会导致错误。因此，我们采取直接检查红黑树四大规则的方法，只要满足这四点规则，自然就能保证最长路径不超过最短路径的2倍。

验证方法如下：

1. 规则1：通过枚举颜色类型确保所有节点非红即黑
2. 规则2：直接检查根节点是否为黑色即可
3. 规则3：采用前序遍历时，反向检查父节点颜色比检查子节点颜色更方便（因为红色节点的两个子节点可能存在空值情况）
4. 规则4：在前序遍历过程中，通过形参记录从根到当前节点的黑节点数量（blackNum），遇到黑节点时递增计数。遍历到空节点时即可得到该路径的黑节点数。取任意一条路径的黑节点数作为基准值，与其他路径进行比较验证即可。

1. 入口函数 _IsBalance()

bool _IsBalance() 
{
    if (_root == nullptr) return true;  // 空树视为平衡
    if (_root->_col == RED) return false; // 根必须为黑

    // 计算参考黑节点数（取最左路径）
    int refNum = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_col == BLACK) refNum++;
        cur = cur->_left; // 沿最左路径向下
    }

    // 递归检查所有路径
    return Check(_root, 0, refNum);
}

• 步骤：

  1. 空树处理：直接返回平衡。

  2. 根节点颜色检查：根不为黑则立即失败。

  3. 计算参考黑节点数 ：沿最左路径统计黑节点数 refNum（红黑树要求所有路径黑节点数相同）。

  4. 启动递归检查 ：调用 Check 函数遍历所有路径。

---

2. 递归检查函数 Check()

bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) 
{
    if (root == nullptr) { 
        if (blackNum != refNum) { // 路径黑节点数不匹配
            cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
            return false;
        }
        return true;
    }

    // 检查是否存在连续红节点
    if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {
        cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
        return false;
    }

    // 累计当前路径黑节点数
    if (root->_col == BLACK) blackNum++;

    // 递归检查左右子树
    return Check(root->_left, blackNum, refNum) 
        && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}

• 步骤：

  1. 叶子节点检查 ：到达 nullptr 时，比较当前路径黑节点数 blackNum 与参考值 refNum。

  2. 连续红节点检查：若当前节点和父节点均为红色，则违规。

  3. 黑节点计数：遇到黑色节点时累计数量。

  4. 递归遍历子树：深度优先遍历左右子树。

其他高度检测，节点数量，中序遍历等直接复用AVL树的代码。

具体代码：

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance();
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}
private:
	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		int leftSize = _Size(root->_left);
		int rightSize = _Size(root->_right);
		return leftSize + rightSize + 1;
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		int leftHigh = _Height(root->_left);
		int rightHigh = _Height(root->_right);
		return leftHigh > rightHigh ? leftHigh + 1 : rightHigh + 1;
	}

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}
		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}
	bool _IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		if (_root->_col == RED)
			return false;
		// 参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		return Check(_root, 0, refNum);
	}
	

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

检测红黑树：

普通测试：

void TestRBTTree1()
{
	RBTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

常规测试用例：

带双旋的测试用例：

生成随机数插入测试：

// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
void TestRBTTree2()
{
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand((unsigned int)time(0));
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}
	size_t begin2 = clock();
	RBTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalance() << endl;
	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;
	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}
	// 随机值
	/*for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}*/
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

查找确定在的值：

查找随机值：

全部代码

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;


enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _col(RED)          // 新节点默认红色（符合红黑树插入规则）
    {}

    pair<K, V> _kv;          // 键值对
    RBTreeNode<K, V>* _left; // 左子节点
    RBTreeNode<K, V>* _right;// 右子节点
    RBTreeNode<K, V>* _parent; // 父节点
    Colour _col;             // 节点颜色
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	using Node = RBTreeNode<K, V>;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		//链接父亲节点
		cur->_parent = parent;

		// 父节点为红色，需要颜色修正
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent; // 祖父节点必存在（因父为红，不可能是根）
			// 分父节点是祖父的左/右孩子两种情况处理
			if (grandfather->_left == parent)
			{
				//		g(B)
				//	p(R)	   u(分情况)
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED) // 情况1：变色处理
				{
					//		g(B)
					//	p(R)	   u（存在且为红色）
					//c(R)
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续向上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 情况2，3：旋转 + 变色
				{
					if (parent->_left == cur) // 右单旋 + 变色
					{
						//		g(B)
						//	p(R)	   u（不存在或为黑色）
						//c(R)
						RotateR(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					else // 左右双旋 + 变色
					{
						//		g(B)
						//	p(R)	   u（不存在或为黑色）
						//    c(R)
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					//此时旋转之后的子树根节点为parent或cur，但都变为黑色，更新到黑结束
					break;
				}
			}
			else
			{
				//		      g(B)
				//	u(分情况)		 p(R)
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED) // 情况1：变色处理
				{
					//			  g(B)
					//	u(存在且为红色)		p(R)
					//							c(R)
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续向上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 情况2，3：旋转 + 变色
				{
					if (parent->_right == cur) // 左单旋 + 变色
					{
						//			  g(B)
						//	u(不存在或为黑色)		p(R)
						//							c(R)
						RotateL(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					else // 右左双旋 + 变色
					{
						//			  g(R)
						//	u(不存在或为黑色)		p(R)
						//					c(R)
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					//此时旋转之后的子树根节点为parent或cur，但都变为黑色，更新到黑结束
					break;
				}
			}
		}

		// 暴力处理：无论是否处理到根节点，都直接把根节点变为黑色（符合根节点为黑色规则）
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	// 右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;// parent的左子节点（旋转后的新根）
		Node* subLR = subL->_right;// subL的右子节点（可能为空）

		// 旋转节点
		subL->_right = parent;
		parent->_left = subLR;

		// 维护父指针
		Node* pParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (subLR) //若subLR存在,更新其父指针,避免堆空指针解引用
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_parent = pParent;

		// 维护parent的父节点
		if (parent == _root) // parent为根节点的情况
		{
			_root = subL;
		}
		else // parent是一棵局部子树的情况
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}
		}
	}

	// 左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;// parent的右子节点（旋转后的新根）
		Node* subRL = subR->_left;// subR的左子节点（可能为空）

		// 旋转节点
		subR->_left = parent;
		parent->_right = subRL;

		// 维护父指针
		Node* pParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		if (subRL) //若subRL存在,更新其父指针,避免堆空指针解引用
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_parent = pParent;

		// 维护parent的父节点
		if (parent == _root) // parent为根节点的情况
		{
			_root = subR;
		}
		else // parent是一棵局部子树的情况
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
		}
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance();
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}
private:
	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		int leftSize = _Size(root->_left);
		int rightSize = _Size(root->_right);
		return leftSize + rightSize + 1;
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		int leftHigh = _Height(root->_left);
		int rightHigh = _Height(root->_right);
		return leftHigh > rightHigh ? leftHigh + 1 : rightHigh + 1;
	}

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}
		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}
	bool _IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		if (_root->_col == RED)
			return false;
		// 参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		return Check(_root, 0, refNum);
	}
	

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

测试代码：

// 测试代码
void TestRBTTree1()
{
	RBTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
void TestRBTTree2()
{
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand((unsigned int)time(0));
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}
	size_t begin2 = clock();
	RBTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalance() << endl;
	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;
	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	/*for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}*/
	// 随机值
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}