亚当·斯密思想精髓的数学建模与形式化表征
**摘要：**本文运用数学建模方法对亚当·斯密的经济与伦理思想进行形式化表征。通过分工的规模经济模型和市场均衡条件展现《国富论》中"看不见的手"原理；采用扩展效用函数与合作博弈均衡解释《道德情操论》的同情心理论；最终建立混合动机均衡模型，统一自利与道德行为。研究表明，数学融智学框架能够量化分析市场效率与伦理约束的协同作用，为政策制定和企业决策提供可计算的理论基础。
亚当·斯密的两部经典著作《国富论》与《道德情操论》分别从经济效率与道德伦理的角度揭示了人类社会运行的底层逻辑。通过数学融智学的视角，我们可以将其核心思想提炼为以下公式框架，并结合实例阐释"看不见的手"如何驱动市场均衡。
一、《国富论》的核心思想：分工与市场均衡
斯密认为，分工提升效率 ，而自利行为 通过"看不见的手"实现社会总福利最大化。这一过程可形式化为以下模型：
1. 分工的规模经济模型
设经济系统中有n 种商品，生产商品i 的劳动生产率随分工细化提升：
L _ i=a _ i⋅d _ i ^ α(0<α<1)
L _ i ：生产商品i的劳动投入
d _ i ：商品 i的分工程度
a _ i ：技术系数，α：分工弹性
实例 ：制针工厂的分工
若未分工时每人每天生产10 根针，分工后（d _ i=10 ， α=0.5 ， a _ i=1）：
L _ i=1⋅10 ^ 0.5≈3.16⇒每人每天生产10 / 3.16≈3.16倍效率提升
2. "看不见的手"的均衡条件
个体追求效用最大化，市场通过价格调节实现供需均衡：
max _ xiU(x _ 1,x _ 2,...,x _ n)s.t.∑ _ i=1 ^ n p _ i x _ i≤I
U：个体效用函数
p _ i ：商品价格，I：收入
市场均衡时，满足瓦尔拉斯均衡 条件：
∑ _ i=1 ^ n(D _ i(p)−S _ i(p))=0
D _ i(p) ：需求函数，S _ i(p)：供给函数
实例：小麦市场的均衡
需求函数：D(p)=100−2p
供给函数：S(p)=20+3p
均衡价格：100−2p=20+3p⇒p ^ ∗=16
均衡数量：Q ^ ∗=100−2×16=68
解释 ：
生产者追求利润最大化（提高供给），消费者追求效用最大化（压低价格），最终通过价格机制达成均衡，体现"看不见的手"的协调作用。
二、《道德情操论》的核心思想：同情心的社会协调
斯密提出，同情心（Sympathy）是 社会秩序的伦理基础，可通过博弈论中的合作均衡建模：
1. 道德情感的 效用函数 扩展
个体效用不仅依赖自身利益，还包含对他人的关切：
U _ i=u _ i(x _ i)+β∑ _ j≠i θ _ ij⋅u _ j(x _ j)
β ：道德偏好强度（β>0表示利他）
θ _ ij ：个体 i 对 j 的同情系数
合作博弈的 帕累托均衡
社会最优状态需满足：
∀ _ i, ∂U _ i / ∂x _ i=∂U _ j / ∂x _ j（边际效用相等）
实例：公共品捐赠博弈
两人各拥有 10 元，可捐赠g _ i元建设公共设施，总效用为：
U _ i=(10−g _ i)+0.5×(10−g _ j)+2 √ g _ i+g _ j
均衡解：通过求导得g _ i ^ ∗=g _ j ^ ∗=4 ，总捐赠 8 元，高于纯自利模型（g _ i=0）。
解释 ：同情心（β=0.5）促使个体合作，提升社会总福利。
三、"看不见的手"的数学综合： 自利与同情的统一
斯密的两大思想可通过混合动机 均衡模型统一：
max _ xi[u _ i(x _ i)+β∑ _ j≠i θ _ ij u _ j(x _ j)]s.t.市场均衡条件
实例：碳排放权交易市场
自利行为：企业购买碳排放权以最小化成本。
道德约束 ：公众压力（β）促使企业超额减排。
均衡结果：市场价格反映环境成本，同时社会同情心推动实际排放低于纯经济均衡水平。
四、数学融智学的整合框架
将斯密思想抽象为以下系统方程：
经济系统：dW / dt=∑ _ i=1 ^ n(∂U _ i / ∂x _ i⋅dx _ i / dt)（财富增长动力）
伦理系统：β⋅∇θ _ ij≥γ（道德约束条件）
W：社会总福利
γ：社会容忍阈值
动态解释：
当经济效率驱动（dW / dt>0 ）与道德约束（β≥γ）同时满足时，社会实现斯密式的"自然自由体系"。
总结
通过数学建模，亚当·斯密的思想可被形式化为：
分工的幂律函数 与市场均衡方程体现"看不见的手"的效率逻辑；
同情心扩展的效用函数 与合作博弈均衡揭示道德伦理的社会协调；
混合动机均衡模型 统一自利与同情 ，解释现代市场中的复杂行为（如ESG投资、社会责任消费）。
现实意义：
政策制定者可利用 此类模型 量化评估市场干预 （如税收）与道德倡导 （如公益宣传）的协同效应。
企业可通过 调整β值（如发布社会责任报告）提升长期竞争力。
数学融智学为经济学与伦理学的跨学科研究 提供了可计算、可预测的框架。