从代数到几何：向量点乘与叉乘的定义、推导及几何意义

注：本文为"向量点乘与叉乘"相关文章合辑。

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向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

-牧野- 于 2016-09-02 20:50:34 发布

一、向量基础概念

向量是由 n n n 个实数组成的一个 n n n 行 1 列（ n × 1 n \times 1 n×1）或一个 1 行 n n n 列（ 1 × n 1 \times n 1×n）的有序数组。

二、向量点乘（内积、数量积）

2.1 点乘定义

对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

2.2 点乘公式

对于向量 a = [ a 1 , a 2 , ... , a n ] \mathbf{a} = [a_1, a_2, \dots, a_n] a=[a1,a2,...,an] 和向量 b = [ b 1 , b 2 , ... , b n ] \mathbf{b} = [b_1, b_2, \dots, b_n] b=[b1,b2,...,bn]，

点积公式为：
a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn
要求：一维向量 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 的行列数相同。

2.3 点乘几何意义

点乘的几何意义是表征或计算两个向量之间的夹角，以及向量 b \mathbf{b} b 在向量 a \mathbf{a} a 方向上的投影。

公式为：
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

推导过程

定义向量 c = a − b \mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b} c=a−b，根据三角形余弦定理：
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{c}^2 = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta c2=a2+b2−2∣a∣∣b∣cosθ
由向量运算 c = a − b \mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b} c=a−b，可得：
( a − b ) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + b ⋅ b − 2 a ⋅ b = a 2 + b 2 − 2 a ⋅ b (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} (a−b)⋅(a−b)=a⋅a+b⋅b−2a⋅b=a2+b2−2a⋅b
结合上述两式得：
a 2 + b 2 − 2 a ⋅ b = a 2 + b 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta a2+b2−2a⋅b=a2+b2−2∣a∣∣b∣cosθ
化简后即得：
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
向量 a \mathbf{a} a， b \mathbf{b} b 的长度都是可以计算的已知量，从而有 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 间的夹角 θ \theta θ：
利用公式
θ = arccos ⁡ ( a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) \theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right) θ=arccos(∣a∣∣b∣a⋅b)
可确定向量 a \mathbf{a} a 与 b \mathbf{b} b 的夹角 θ \theta θ（其中 0 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ 0∘≤θ≤180∘）及方向关系：

a ⋅ b > 0 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0 a⋅b>0：夹角 0 ∘ ≤ θ < 90 ∘ 0^\circ \leq \theta < 90^\circ 0∘≤θ<90∘（或 0 ≤ θ < π 2 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2} 0≤θ<2π），方向具有正相关性；
a ⋅ b = 0 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 a⋅b=0：夹角 90 ∘ 90^\circ 90∘（或 π 2 \frac{\pi}{2} 2π），两向量正交（垂直）；
a ⋅ b < 0 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 a⋅b<0：夹角 90 ∘ < θ ≤ 180 ∘ 90^\circ < \theta \leq 180^\circ 90∘<θ≤180∘（或 π 2 < θ ≤ π \frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi 2π<θ≤π），方向具有负相关性。

补充说明：如果 a \mathbf{a} a 或 b \mathbf{b} b 中至少有一个是零向量，则该公式不适用。通常约定，零向量与任何向量的夹角都是任意的。

三、向量叉乘（外积、向量积）

3.1 叉乘定义

两个向量的叉乘运算结果是一个向量，且该向量与这两个向量组成的坐标平面垂直。

3.2 叉乘公式

对于三维向量 a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1) a=(x1,y1,z1) 和 b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2) b=(x2,y2,z2)，

叉乘公式为：
a × b = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - y_2z_1)\mathbf{i} - (x_1z_2 - x_2z_1)\mathbf{j} + (x_1y_2 - x_2y_1)\mathbf{k} a×b= ix1x2jy1y2kz1z2 =(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k

其中， i = ( 1 , 0 , 0 ) \mathbf{i} = (1, 0, 0) i=(1,0,0)， j = ( 0 , 1 , 0 ) \mathbf{j} = (0, 1, 0) j=(0,1,0)， k = ( 0 , 0 , 1 ) \mathbf{k} = (0, 0, 1) k=(0,0,1) 为单位向量。

叉乘结果也可表示为坐标形式：
a × b = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (y_1z_2 - y_2z_1, -(x_1z_2 - x_2z_1), x_1y_2 - x_2y_1) a×b=(y1z2−y2z1,−(x1z2−x2z1),x1y2−x2y1)

3.3 叉乘几何意义

三维空间 ：

叉乘结果是垂直于 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 构成平面的法向量，常用于构建三维坐标系（如 X、Y、Z 轴）。
- 性质： b × a = − a × b \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{b} b×a=−a×b（叉乘结果方向相反）。
二维空间 ：

叉乘的绝对值等于由向量 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 构成的平行四边形的面积，即：
∣ a × b ∣ = 平行四边形面积 |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \text{平行四边形面积} ∣a×b∣=平行四边形面积

向量叉乘

Sunomg 于 2017-04-19 15:00:02 发布

一、向量叉乘公式及推导

对于三维向量 a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1) a=(x1,y1,z1) 和 b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2) b=(x2,y2,z2)，
i = ( 1 , 0 , 0 ) \mathbf{i} = (1, 0, 0) i=(1,0,0)、 j = ( 0 , 1 , 0 ) \mathbf{j} = (0, 1, 0) j=(0,1,0)、 k = ( 0 , 0 , 1 ) \mathbf{k} = (0, 0, 1) k=(0,0,1) 为三维空间的标准正交基向量；

叉乘公式通过行列式展开计算：
a × b = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = i ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) − j ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) + k ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) \begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \\[1em] &= \mathbf{i}(y_1 z_2 - y_2 z_1) - \mathbf{j}(x_1 z_2 - x_2 z_1) + \mathbf{k}(x_1 y_2 - x_2 y_1) \\[1em] &= (y_1 z_2 - y_2 z_1, -(x_1 z_2 - x_2 z_1), x_1 y_2 - x_2 y_1) \end{aligned} a×b= ix1x2jy1y2kz1z2 =i(y1z2−y2z1)−j(x1z2−x2z1)+k(x1y2−x2y1)=(y1z2−y2z1,−(x1z2−x2z1),x1y2−x2y1)

说明：

行列式展开时遵循"对角线法则"，符号由基向量的排列顺序决定（如 j \mathbf{j} j 分量前带负号）。

二、向量叉乘的几何意义

三维空间特性
叉乘结果 a × b \mathbf{a} \times \mathbf{b} a×b 是一个法向量 ，满足：
- 垂直于 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 构成的平面；
- 方向由右手定则 确定：右手四指从 a \mathbf{a} a 转向 b \mathbf{b} b（小于 180 ∘ 180^\circ 180∘ 的夹角），拇指方向即为叉乘向量方向。
- 反交换律： b × a = − a × b \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{b} b×a=−a×b（方向相反）。

模长的几何含义
叉乘向量的模长等于以 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 为邻边的平行四边形面积：
∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ ⋅ sin ⁡ θ ( θ 为两向量夹角 ) |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin\theta \quad (\theta \text{ 为两向量夹角}) ∣a×b∣=∣a∣⋅∣b∣⋅sinθ(θ 为两向量夹角)

三、向量叉乘的应用

3.1 三维模型中法向量计算

通过三角面的两条邻边向量（如 A B → \overrightarrow{AB} AB 和 A C → \overrightarrow{AC} AC ）叉乘，可得到垂直于该三角面的法向量，用于光照计算、网格渲染等场景。

3.2 判断向量顺逆关系（二维场景）

设向量 P = ( x p , y p ) \mathbf{P} = (x_p, y_p) P=(xp,yp)， Q = ( x q , y q ) \mathbf{Q} = (x_q, y_q) Q=(xq,yq)，计算叉积（二维可视为三维 z z z 分量为 0 的特例）：
P × Q = x p y q − x q y p \mathbf{P} \times \mathbf{Q} = x_p y_q - x_q y_p P×Q=xpyq−xqyp

若 P × Q > 0 \mathbf{P} \times \mathbf{Q} > 0 P×Q>0： P \mathbf{P} P 在 Q \mathbf{Q} Q 的逆时针方向（绕原点）；
若 P × Q < 0 \mathbf{P} \times \mathbf{Q} < 0 P×Q<0： P \mathbf{P} P 在 Q \mathbf{Q} Q 的顺时针方向；
若 P × Q = 0 \mathbf{P} \times \mathbf{Q} = 0 P×Q=0： P \mathbf{P} P 与 Q \mathbf{Q} Q 共线。

3.3 凸多边形与凹多边形判断

对多边形的每条边 e i \mathbf{e}i ei 和 e i + 1 \mathbf{e}{i+1} ei+1 构成的向量进行叉积计算：

若所有叉积结果同号（均 > 0 或均 < 0） ：多边形为凸多边形；
若存在叉积结果异号：多边形为凹多边形；
若所有叉积结果均为 0 ：多边形顶点共线（退化为线段）。

3.4 判断点与直线的位置关系

在直线上取两点 A ( x 1 , y 1 ) A(x_1, y_1) A(x1,y1)、 B ( x 2 , y 2 ) B(x_2, y_2) B(x2,y2)，待判断点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0)，构造向量：
A B → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) , A P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1), \quad \overrightarrow{AP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1) AB =(x2−x1,y2−y1),AP =(x0−x1,y0−y1)

计算叉积：
A B → × A P → = ( x 2 − x 1 ) ( y 0 − y 1 ) − ( y 2 − y 1 ) ( x 0 − x 1 ) \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} = (x_2 - x_1)(y_0 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_0 - x_1) AB ×AP =(x2−x1)(y0−y1)−(y2−y1)(x0−x1)

若结果 = 0：点 P P P 在直线 A B AB AB 上；
若结果 > 0：点 P P P 在直线 A B AB AB 的一侧（由叉积符号决定具体方向）；
若结果 < 0：点 P P P 在直线 A B AB AB 的另一侧。

3.5 点与矩形的位置关系判断（需结合坐标范围）

通过叉乘判断点是否在矩形各边的内侧，或直接比较点坐标与矩形边界的范围（更高效）。

说明：

原文中"叉积和"表述易混淆，已修正为"叉积的标量结果"或"叉积分量"；
公式中的排版错误（如 y 1 z 2 − y_{1} z_{2-} y1z2−）已修正为标准下标格式 y 1 z 2 − y 2 z 1 y_1 z_2 - y_2 z_1 y1z2−y2z1；
二维场景下的叉乘可视为三维叉乘在 z = 0 z=0 z=0 平面的投影，结果的符号反映旋转方向。

向量点乘与叉乘的概念及几何意义

作者：Plane 老师编辑时间：2022-07-08 23:23

一、向量点乘（内积）

1.1 定义与公式

点乘（Dot Product） ，又称数量积 或标量积（Scalar Product），其结果为标量。

代数定义：

对于空间向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a} = (x_1, y_1, z_1) a =(x1,y1,z1) 和 b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b} = (x_2, y_2, z_2) b =(x2,y2,z2)，点乘运算为对应分量乘积之和：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 a ⋅b =x1x2+y1y2+z1z2

几何定义：

点乘等于两向量的模长与夹角余弦值的乘积：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta a ⋅b =∣a ∣∣b ∣cosθ

其中 θ \theta θ 为 a ⃗ \vec{a} a 与 b ⃗ \vec{b} b 的夹角。

1.2 几何意义

点乘结果表示 a ⃗ \vec{a} a 在 b ⃗ \vec{b} b 方向上的投影与 ∣ b ⃗ ∣ |\vec{b}| ∣b ∣ 的乘积，反映两向量的方向相似度。根据结果符号可判断向量关系：

a ⃗ ⋅ b ⃗ > 0 \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 a ⋅b >0：方向基本相同，夹角 0 ∘ < θ < 90 ∘ 0^\circ < \theta < 90^\circ 0∘<θ<90∘；
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 a ⋅b =0：两向量正交（垂直）；
a ⃗ ⋅ b ⃗ < 0 \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 a ⋅b <0：方向基本相反，夹角 90 ∘ < θ < 180 ∘ 90^\circ < \theta < 180^\circ 90∘<θ<180∘。

示意图 ：

1.3 代数定义推导几何定义（夹角公式推导）

设定：

向量 a ⃗ \vec{a} a 终点为 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) A(x_1, y_1, z_1) A(x1,y1,z1)， b ⃗ \vec{b} b 终点为 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) B(x_2, y_2, z_2) B(x2,y2,z2)，原点为 O O O；
向量 A B ⃗ = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) AB =(x2−x1,y2−y1,z2−z1)。

推导过程：

在 △ O A B \triangle OAB △OAB 中，由余弦定理：
∣ A B ⃗ ∣ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 + ∣ b ⃗ ∣ 2 − 2 ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ |\vec{AB}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta ∣AB ∣2=∣a ∣2+∣b ∣2−2∣a ∣∣b ∣cosθ
代入距离公式 ∣ A B ⃗ ∣ 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 |\vec{AB}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 ∣AB ∣2=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2，展开并整理得：
∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 − [ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 ] 2 |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \frac{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - [(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2]}{2} ∣a ∣∣b ∣cosθ=2x12+y12+z12+x22+y22+z22−[(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2]
去括号化简后：
∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = a ⃗ ⋅ b ⃗ |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = \vec{a} \cdot \vec{b} ∣a ∣∣b ∣cosθ=x1x2+y1y2+z1z2=a ⋅b
夹角公式 ：
θ = arccos ⁡ ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ) \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right) θ=arccos(∣a ∣∣b ∣a ⋅b )

二、向量叉乘（外积）

2.1 定义与公式

叉乘（Cross Product） ，又称向量积（Vector Product），其结果为向量，且与原向量所在平面垂直。

代数定义（三维向量） ：

对于向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a} = (x_1, y_1, z_1) a =(x1,y1,z1) 和 b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b} = (x_2, y_2, z_2) b =(x2,y2,z2)，叉乘可通过行列式计算：
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 , z 1 x 2 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − y 1 x 2 ) \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2, \ z_1x_2 - x_1z_2, \ x_1y_2 - y_1x_2) a ×b = i x1x2j y1y2k z1z2 =(y1z2−z1y2, z1x2−x1z2, x1y2−y1x2)

其中 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} i ,j ,k 为三维单位正交基向量。

几何定义 ：

叉乘结果为垂直于 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的法向量，其模长与方向满足：
a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin ⁡ θ ⋅ n ⃗ \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \cdot \vec{n} a ×b =∣a ∣∣b ∣sinθ⋅n

n ⃗ \vec{n} n 为 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 所在平面的单位法向量；
方向由右手定则 确定：右手四指从 a ⃗ \vec{a} a 转向 b ⃗ \vec{b} b （夹角 < 180 ∘ < 180^\circ <180∘），拇指方向即为叉乘向量方向。

示意图：

2.2 几何意义

模长的几何含义 ：
叉乘向量的模长等于以 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 为邻边的平行四边形面积：
∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin ⁡ θ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta ∣a ×b ∣=∣a ∣∣b ∣sinθ
方向的几何含义 ：
结果向量是 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 所在平面的法线向量，常用于三维空间中法向量的计算（如平面方程、光照模型等）。