[蓝桥杯]春晚魔术【算法赛】

问题分析：每次变换，红包金币数量变为其他两个红包金币数量的乘积。经过数学推导，N次变换后的总乘积为 (𝐴×𝐵×𝐶)2𝑁mod (109+7)(A×B×C)2Nmod(109+7)。
关键观察：
- 初始总乘积 𝑆0=𝐴×𝐵×𝐶S0=A×B×C。
- 经过N次变换后，总乘积 𝑆𝑁=𝑆02𝑁SN=S02N。
处理大数：
- 使用模 𝑀=109+7M=109+7（质数），其欧拉函数 𝜙(𝑀)=𝑀−1=109+6ϕ(M)=M−1=109+6。
- 若 𝐴×𝐵×𝐶≡0mod 𝑀A×B×C≡0modM，则结果直接为0（因为后续幂运算仍为0）。
- 否则，计算指数 2𝑁mod 𝜙(𝑀)2Nmodϕ(M)，再计算 𝑆0S0 的该指数次幂模 𝑀M。
高效计算：
- 使用快速幂算法计算模幂，时间复杂度 𝑂(log⁡𝑁)O(logN) 和 𝑂(log⁡exponent)O(logexponent)。
- 使用 __int128 处理大数乘法中的溢出问题（适用于支持该类型的编译器）。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const long long MOD = 1000000007;
const long long PHI = 1000000006;  // MOD-1

// 快速幂函数：计算 (base^exp) % mod
long long fast_pow(long long base, long long exp, long long mod) {
    if (exp == 0) {
        return 1 % mod;  // 任何数的0次幂为1（模mod）
    }
    base %= mod;
    long long result = 1;
    while (exp > 0) {
        if (exp & 1) {
            result = (result * base) % mod;
        }
        base = (base * base) % mod;
        exp >>= 1;
    }
    return result;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        long long A, B, C, N;
        scanf("%lld %lld %lld %lld", &A, &B, &C, &N);
        
        // 计算 base = (A * B * C) % MOD，使用 __int128 避免溢出
        long long a_mod = A % MOD;
        long long b_mod = B % MOD;
        long long c_mod = C % MOD;
        __int128 temp = static_cast<__int128>(a_mod) * b_mod;
        temp %= MOD;
        temp = temp * c_mod;
        temp %= MOD;
        long long base = static_cast<long long>(temp);

        // 若 base 为 0，则结果为 0
        if (base == 0) {
            printf("0\n");
            continue;
        }

        // 计算指数：exponent = 2^N mod PHI
        long long exponent = fast_pow(2, N, PHI);
        
        // 计算结果：result = base^exponent mod MOD
        long long result = fast_pow(base, exponent, MOD);
        printf("%lld\n", result);
    }
    return 0;
}

代码说明

常量定义：
- MOD = 1000000007：取模基数。
- PHI = 1000000006：欧拉函数值（MOD - 1）。
快速幂函数 fast_pow：
- 高效计算 baseexpmod modbaseexpmodmod。
- 使用二进制分解将时间复杂度降至 𝑂(log⁡exp)O(logexp)。
主函数：
- 读取测试用例数 𝑇T。
- 对每个测试用例：
  - 读取 𝐴,𝐵,𝐶,𝑁A,B,C,N。
  - 计算初始乘积模 𝑀𝑂𝐷MOD（使用 __int128 避免中间结果溢出）。
  - 若初始乘积模 𝑀𝑂𝐷MOD 为 0，则输出 0。
  - 否则，计算指数 2𝑁mod PHI2NmodPHI，再计算最终结果 baseexponentmod MODbaseexponentmodMOD。
输入输出：
- 使用 scanf 和 printf 提高效率。

复杂度分析

时间复杂度：每个测试用例执行两次快速幂运算（一次计算指数，一次计算结果），每次 𝑂(log⁡exponent)O(logexponent)。总时间复杂度 𝑂(𝑇log⁡𝑁)O(TlogN)，满足 𝑇≤1000T≤1000 和 𝑁≤109N≤109 的限制。
空间复杂度：𝑂(1)O(1)，仅使用常数空间。