平衡二叉树（AVL）的趣味故事：猴王选接班人的智慧

📖 故事背景

森林里的猴王要选接班人，他设计了一个特别的选拔规则：

每只猴子按实力排名（数字代表实力大小）
排名树 必须满足：任意猴子的左子树和右子树高度差 ≤ 1
违反规则时，需要立即通过「旋转」调整

🌳 为什么需要平衡？

普通二叉搜索树可能退化成链表（比如按顺序插入1,2,3,4），查找效率从O(log n)降到O(n)。AVL树通过自平衡确保高效操作！

🧠 AVL核心原理

java

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class AVLNode {
    int value;       // 猴子的实力值
    AVLNode left;    // 左子树（实力小的猴子）
    AVLNode right;   // 右子树（实力强的猴子）
    int height;      // 关键！记录子树高度

    AVLNode(int val) {
        this.value = val;
        this.height = 1;  // 新节点初始高度为1
    }
}

⚖️ 平衡因子（Balance Factor）

java

scss 复制代码

int getBalance(AVLNode node) {
    if (node == null) return 0;
    // 左子树高度 - 右子树高度
    return height(node.left) - height(node.right);
}

平衡规则 ：|BF| ≤ 1

当BF > 1 → 左子树太高

当BF < -1 → 右子树太高

🔄 四大旋转绝招（图解+代码）

场景1：左左失衡（LL）

🐒 问题：新猴子插在左子树的左侧

🛠️ 解法：右旋

java

ini 复制代码

AVLNode rightRotate(AVLNode y) {
    AVLNode x = y.left;
    AVLNode T2 = x.right;

    // 旋转核心操作
    x.right = y;
    y.left = T2;

    // 更新高度（先更新下层节点y）
    y.height = 1 + Math.max(height(y.left), height(y.right));
    x.height = 1 + Math.max(height(x.left), height(x.right));

    return x; // 返回新的根节点
}

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场景2：右右失衡（RR）

🐒 问题：新猴子插在右子树的右侧

🛠️ 解法：左旋

java

ini 复制代码

AVLNode leftRotate(AVLNode x) {
    AVLNode y = x.right;
    AVLNode T2 = y.left;

    // 旋转核心操作
    y.left = x;
    x.right = T2;

    // 更新高度
    x.height = 1 + Math.max(height(x.left), height(x.right));
    y.height = 1 + Math.max(height(y.left), height(y.right));

    return y; // 返回新的根节点
}

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场景3：左右失衡（LR）

🐒 问题：新猴子插在左子树的右侧

🛠️ 解法：先左旋再右旋

java

scss 复制代码

// 1. 对左子树左旋
node.left = leftRotate(node.left);
// 2. 对当前节点右旋
return rightRotate(node);

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场景4：右左失衡（RL）

🐒 问题：新猴子插在右子树的左侧

🛠️ 解法：先右旋再左旋

java

scss 复制代码

// 1. 对右子树右旋
node.right = rightRotate(node.right);
// 2. 对当前节点左旋
return leftRotate(node);

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🚀 完整插入操作（Java实现）

java

scss 复制代码

public class AVLTree {
    AVLNode root;

    // 插入入口
    void insert(int value) {
        root = insertNode(root, value);
    }

    private AVLNode insertNode(AVLNode node, int value) {
        // 1. 标准BST插入
        if (node == null) return new AVLNode(value);
        if (value < node.value) 
            node.left = insertNode(node.left, value);
        else if (value > node.value) 
            node.right = insertNode(node.right, value);
        else 
            return node; // 值相等不插入

        // 2. 更新当前节点高度
        node.height = 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));

        // 3. 检查平衡因子
        int balance = getBalance(node);

        // 4. 处理四种失衡情况
        // 左左失衡
        if (balance > 1 && value < node.left.value) 
            return rightRotate(node);

        // 右右失衡
        if (balance < -1 && value > node.right.value) 
            return leftRotate(node);

        // 左右失衡
        if (balance > 1 && value > node.left.value) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

        // 右左失衡
        if (balance < -1 && value < node.right.value) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }

        return node; // 平衡则直接返回
    }

    // 辅助方法：获取节点高度
    int height(AVLNode node) {
        return node == null ? 0 : node.height;
    }
}

💡 关键总结

特性	说明
平衡定义	任意节点左右子树高度差 ≤ 1
核心优势	保证最坏情况下操作复杂度为O(log n)
旋转操作	LL/RR(单旋), LR/RL(双旋)
时间复杂度	插入/删除/查找均为O(log n)
应用场景	数据库索引、实时系统等需要稳定性能的场景

🌟 猴王的智慧：通过动态平衡，AVL树确保所有猴子（节点）都能被快速找到，避免出现"一支独大"的不公平现象！

通过这个有趣的故事和清晰的代码示例，相信你已经掌握了AVL树的精髓！试着画一画不同旋转场景的树形图，理解会更深刻哦~