题目
问题 10. 考虑以下问题：
{ u t t − c 2 u x x = f ( x , t ) , x > 0 , t > 0 , u ∣ t = 0 = g ( x ) , u t ∣ t = 0 = h ( x ) , u ∣ x = 0 = p ( t ) . \begin{cases} u_{tt} - c^2 u_{xx} = f(x,t), & x > 0, t > 0, \\ u|{t=0} = g(x), \\ u_t|{t=0} = h(x), \\ u|_{x=0} = p(t). \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧utt−c2uxx=f(x,t),u∣t=0=g(x),ut∣t=0=h(x),u∣x=0=p(t).x>0,t>0,
和另一个问题：
{ u t t − c 2 u x x = f ( x , t ) , x > 0 , t > 0 , u ∣ t = 0 = g ( x ) , u t ∣ t = 0 = h ( x ) , u x ∣ x = 0 = q ( t ) . \begin{cases} u_{tt} - c^2 u_{xx} = f(x,t), & x > 0, t > 0, \\ u|{t=0} = g(x), \\ u_t|{t=0} = h(x), \\ u_x|_{x=0} = q(t). \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧utt−c2uxx=f(x,t),u∣t=0=g(x),ut∣t=0=h(x),ux∣x=0=q(t).x>0,t>0,
假设所有函数 g , h g, h g,h 以及 p p p 或 q q q 均充分光滑，且需要满足兼容性条件，使解 u u u 在区域 { x > 0 , t > 0 } \{x > 0, t > 0\} {x>0,t>0} 内是：
(a) C C C 类（连续函数）（讲座中已讨论）；
(b) C 1 C^1 C1 类（一阶连续可微）；
© C 2 C^2 C2 类（二阶连续可微）；
(d) C 3 C^3 C3 类（三阶连续可微），
其中 C n C^n Cn 表示 n n n 次连续可微函数的类。
提示： 这些兼容性条件 涉及 f , g , h f, g, h f,g,h 以及 p p p 或 q q q 在点 x = t = 0 x = t = 0 x=t=0 处的值及其导数。每增加一个平滑度级别，就需要添加一个条件。不需要求解问题，只需代入并可能求导。
解决题目：兼容性条件
兼容性条件确保解 u u u 在角点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 处光滑，从而在指定区域内达到所需的平滑度。这些条件通过匹配初始条件、边界条件及波动方程在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 处的值和高阶导数得到。以下分别对两个问题（Dirichlet 边界条件 u ( 0 , t ) = p ( t ) u(0,t) = p(t) u(0,t)=p(t) 和 Neumann 边界条件 u x ( 0 , t ) = q ( t ) u_x(0,t) = q(t) ux(0,t)=q(t)) 列出条件。所有条件均在 x = 0 , t = 0 x = 0, t = 0 x=0,t=0 处评估。
问题 1: Dirichlet 边界条件 u ( 0 , t ) = p ( t ) u(0,t) = p(t) u(0,t)=p(t)
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(a) C C C 平滑度（连续） :
g ( 0 ) = p ( 0 ) g(0) = p(0) g(0)=p(0)理由：确保 u u u 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 连续，初始位置与边界位置一致。
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(b) C 1 C^1 C1 平滑度（一阶连续可微） :
g ( 0 ) = p ( 0 ) , h ( 0 ) = p ′ ( 0 ) g(0) = p(0), \quad h(0) = p'(0) g(0)=p(0),h(0)=p′(0)理由：添加 u t u_t ut 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的连续性，初始速度与边界速度一致。
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© C 2 C^2 C2 平滑度（二阶连续可微） :
g ( 0 ) = p ( 0 ) , h ( 0 ) = p ′ ( 0 ) , h ′ ( 0 ) = 0 , p ′ ′ ( 0 ) = f ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ( 0 ) g(0) = p(0), \quad h(0) = p'(0), \quad h'(0) = 0, \quad p''(0) = f(0,0) + c^2 g''(0) g(0)=p(0),h(0)=p′(0),h′(0)=0,p′′(0)=f(0,0)+c2g′′(0)理由：
- h ′ ( 0 ) = 0 h'(0) = 0 h′(0)=0 确保混合导数 u t x u_{tx} utx 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 连续（边界要求 u t x ( 0 , t ) = 0 u_{tx}(0,t) = 0 utx(0,t)=0，初始要求 u t x ( x , 0 ) = h ′ ( x ) u_{tx}(x,0) = h'(x) utx(x,0)=h′(x))。
- p ′ ′ ( 0 ) = f ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ( 0 ) p''(0) = f(0,0) + c^2 g''(0) p′′(0)=f(0,0)+c2g′′(0) 来自波动方程在 t = 0 t=0 t=0 的表达式 u t t ( x , 0 ) = f ( x , 0 ) + c 2 u x x ( x , 0 ) u_{tt}(x,0) = f(x,0) + c^2 u_{xx}(x,0) utt(x,0)=f(x,0)+c2uxx(x,0)，并匹配边界二阶导数。
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(d) C 3 C^3 C3 平滑度（三阶连续可微） :
g ( 0 ) = p ( 0 ) , h ( 0 ) = p ′ ( 0 ) , h ′ ( 0 ) = 0 , p ′ ′ ( 0 ) = f ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ( 0 ) , f x ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 , p ′ ′ ′ ( 0 ) = f t ( 0 , 0 ) + c 2 h ′ ′ ( 0 ) , h ′ ′ ( 0 ) = 0 g(0) = p(0), \quad h(0) = p'(0), \quad h'(0) = 0, \quad p''(0) = f(0,0) + c^2 g''(0), \\ f_x(0,0) + c^2 g'''(0) = 0, \quad p'''(0) = f_t(0,0) + c^2 h''(0), \quad h''(0) = 0 g(0)=p(0),h(0)=p′(0),h′(0)=0,p′′(0)=f(0,0)+c2g′′(0),fx(0,0)+c2g′′′(0)=0,p′′′(0)=ft(0,0)+c2h′′(0),h′′(0)=0理由：
- f x ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 f_x(0,0) + c^2 g'''(0) = 0 fx(0,0)+c2g′′′(0)=0 确保 u t t x u_{ttx} uttx 连续（边界要求 u t t x ( 0 , t ) = 0 u_{ttx}(0,t) = 0 uttx(0,t)=0，初始要求 u t t x ( x , 0 ) = f x ( x , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( x ) u_{ttx}(x,0) = f_x(x,0) + c^2 g'''(x) uttx(x,0)=fx(x,0)+c2g′′′(x))。
- p ′ ′ ′ ( 0 ) = f t ( 0 , 0 ) + c 2 h ′ ′ ( 0 ) p'''(0) = f_t(0,0) + c^2 h''(0) p′′′(0)=ft(0,0)+c2h′′(0) 来自波动方程对 t t t 求导后的表达式 u t t t ( x , 0 ) = f t ( x , 0 ) + c 2 h ′ ′ ( x ) u_{ttt}(x,0) = f_t(x,0) + c^2 h''(x) uttt(x,0)=ft(x,0)+c2h′′(x)，并匹配边界三阶导数。
- h ′ ′ ( 0 ) = 0 h''(0) = 0 h′′(0)=0 确保 u t x x u_{txx} utxx 连续（边界要求 u t x x ( 0 , t ) = 0 u_{txx}(0,t) = 0 utxx(0,t)=0，初始要求 u t x x ( x , 0 ) = h ′ ′ ( x ) u_{txx}(x,0) = h''(x) utxx(x,0)=h′′(x))。
问题 2: Neumann 边界条件 u x ( 0 , t ) = q ( t ) u_x(0,t) = q(t) ux(0,t)=q(t)
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(a) C C C 平滑度（连续） :
g ′ ( 0 ) = q ( 0 ) g'(0) = q(0) g′(0)=q(0)理由：确保 u x u_x ux 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 连续，初始斜率与边界斜率一致。
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(b) C 1 C^1 C1 平滑度（一阶连续可微） :
g ′ ( 0 ) = q ( 0 ) , h ′ ( 0 ) = q ′ ( 0 ) g'(0) = q(0), \quad h'(0) = q'(0) g′(0)=q(0),h′(0)=q′(0)理由：添加 u t x u_{tx} utx 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的连续性（因为 u t x = u x t u_{tx} = u_{xt} utx=uxt，边界要求 u x t ( 0 , t ) = q ′ ( t ) u_{xt}(0,t) = q'(t) uxt(0,t)=q′(t)，初始要求 u t x ( x , 0 ) = h ′ ( x ) u_{tx}(x,0) = h'(x) utx(x,0)=h′(x))。
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© C 2 C^2 C2 平滑度（二阶连续可微） :
g ′ ( 0 ) = q ( 0 ) , h ′ ( 0 ) = q ′ ( 0 ) , q ′ ′ ( 0 ) = f x ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( 0 ) g'(0) = q(0), \quad h'(0) = q'(0), \quad q''(0) = f_x(0,0) + c^2 g'''(0) g′(0)=q(0),h′(0)=q′(0),q′′(0)=fx(0,0)+c2g′′′(0)理由：
- q ′ ′ ( 0 ) = f x ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( 0 ) q''(0) = f_x(0,0) + c^2 g'''(0) q′′(0)=fx(0,0)+c2g′′′(0) 确保 u t t x u_{ttx} uttx 连续（边界要求 u x t t ( 0 , t ) = q ′ ′ ( t ) u_{xtt}(0,t) = q''(t) uxtt(0,t)=q′′(t)，初始要求 u t t x ( x , 0 ) = f x ( x , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( x ) u_{ttx}(x,0) = f_x(x,0) + c^2 g'''(x) uttx(x,0)=fx(x,0)+c2g′′′(x)，且 u t t x = u x t t u_{ttx} = u_{xtt} uttx=uxtt)。
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(d) C 3 C^3 C3 平滑度（三阶连续可微） :
g ′ ( 0 ) = q ( 0 ) , h ′ ( 0 ) = q ′ ( 0 ) , q ′ ′ ( 0 ) = f x ( 0 , 0 ) + c 2 g ′ ′ ′ ( 0 ) , q ′ ′ ′ ( 0 ) = f t x ( 0 , 0 ) + c 2 h ′ ′ ′ ( 0 ) g'(0) = q(0), \quad h'(0) = q'(0), \quad q''(0) = f_x(0,0) + c^2 g'''(0), \\ q'''(0) = f_{tx}(0,0) + c^2 h'''(0) g′(0)=q(0),h′(0)=q′(0),q′′(0)=fx(0,0)+c2g′′′(0),q′′′(0)=ftx(0,0)+c2h′′′(0)理由：
- q ′ ′ ′ ( 0 ) = f t x ( 0 , 0 ) + c 2 h ′ ′ ′ ( 0 ) q'''(0) = f_{tx}(0,0) + c^2 h'''(0) q′′′(0)=ftx(0,0)+c2h′′′(0) 确保 u t t t x u_{tttx} utttx 连续（边界要求 u x t t t ( 0 , t ) = q ′ ′ ′ ( t ) u_{xttt}(0,t) = q'''(t) uxttt(0,t)=q′′′(t)，初始要求 u t t t x ( x , 0 ) = f t x ( x , 0 ) + c 2 h ′ ′ ′ ( x ) u_{tttx}(x,0) = f_{tx}(x,0) + c^2 h'''(x) utttx(x,0)=ftx(x,0)+c2h′′′(x)，且 u t t t x = u x t t t u_{tttx} = u_{xttt} utttx=uxttt)。
说明
- 这些条件是通过将初始条件、边界条件和波动方程在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 处代入，并对时间或空间变量求导得到（如提示所述）。
- 函数 f , g , h , p , q f, g, h, p, q f,g,h,p,q 需充分光滑（例如， C k C^k Ck 类），以确保导数存在。
- 在 Dirichlet 问题中，高阶条件要求 h h h 的某些导数为零，这是因为固定边界 u ( 0 , t ) = p ( t ) u(0,t) = p(t) u(0,t)=p(t) 限制了混合导数的自由度。
- 这些条件是最低要求；满足它们可保证解在区域内部达到指定平滑度，但可能不足以保证全局唯一性或存在性（需额外分析）。