滑膜观测器学习笔记（2）滑模观测器SMO的理论分析与推导

第一章节链接滑膜观测器学习笔记（1）dq坐标系下永磁同步电机（PMSM）电压方程的推导与简化-CSDN博客

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滑膜观测器框架

由图可知转速和角度信息可有α和β轴电流获得

滑膜观测器内部可分为两部分：参数预测部分+锁相环部分。

参数预测部分：先将位置信息和转速信息大致估算出来和真实值进行比较，通过不断地迭代，让预期值不断接近真实值

锁相跟随部分：将解算的数据放入锁相环进行优化

定理声明

这里我们着重说一下3定理

先理解"系统、平衡点 "

系统：可以是任何动态变化的东西（比如电机转速随电压变化、生态中种群数量随时间变化），用"状态变量,（或更多）"描述，状态随时间的变化轨迹叫"解"。
平衡点：系统"不变化"的状态（比如电机稳定在某转速、种群数量不再增减），是我们关心的"目标状态"。

（1）李雅普诺夫意义下的稳定（"不发散"）

通俗说：只要初始状态离足够近（距离），系统运行后，状态永远不会跑太远（距离始终）。
图示对应：上右图中，橙色轨迹在"小圈内出发，永远不跑出大圈"，像"被限制在一个范围内晃悠"，但不一定回到（比如钟摆有摩擦时，可能在平衡点附近震荡，但幅度不扩大，也不收敛）。

（2）渐进稳定（"能回来"）

通俗说：不仅"不发散"（满足李雅普诺夫稳定），而且随着时间推移，系统状态会收敛到（不管初始差多少，最终回归平衡点）。
图示对应：下右图中，橙色轨迹不仅没跑出，还"逐渐缩回到 "，像"有一股力把系统拉回平衡点"（比如带阻尼的弹簧振子，最终会停在原长位置）。

（3）全局渐进稳定（"任你咋晃，都能回来"）

通俗说：不管初始状态在哪里（全局任意点），系统最终都能收敛到。
关键区别：前两种稳定可能只在 "附近区域"有效（局部稳定），而全局稳定是"无论从哪出发，都能回来"（比如某些简单的生态模型，不管初始种群多少，最终都会稳定在一个数量）。
李雅普诺夫稳定："别乱跑太远"（有界）；
渐进稳定："别乱跑，还得回家"（有界+收敛）；
全局渐进稳定："不管从哪出发，最终都回家"（全局收敛）。

这些定义是判断系统稳定性的基础。

先理解"李雅普诺夫函数 "

把想象成系统的**"能量"** ：

是系统的状态（比如电机转速、位置，生态中种群数量），描述"当前状态的能量大小"。
目标：找一个这样的，通过它的"能量特性"判断系统是否稳定。

条件一：（正定，仅原点取等号）

人话："能量不能为负，只有在平衡点（原点 =(0,0,...) ）时能量为 0"。
类比：弹簧振子的弹性势能，位移 x 越大（偏离平衡点越远），势能越大；只有 x=0 （平衡点）时，势能为 0 。这就是"正定"------能量非负，仅平衡点为 0 。

条件二：（导数负定，非平衡点时能量减小）

人话："系统运行时，能量一直在减少（除了平衡点，能量变化率为负）"。
类比：带阻尼的弹簧振子，振动时会因摩擦损失能量（动能、势能转化为热能），所以能量 U(t) 随时间减小（ U' < 0 ），最终会停在平衡点（能量为 0 ）。
关键：这保证系统"有回到平衡点的趋势"，因为能量越减越小，最终只能到 U=0 的原点。

条件三：时，（全局能量无界）

人话："如果系统状态跑到无穷远（偏离平衡点极远），能量会无限增大"。
作用：排除"局部稳定但全局不稳定"的情况。比如有些系统，在平衡点附近能量减小（满足前两个条件），但如果初始状态太远，能量反而会爆炸（不满足条件三），这样的系统不是全局稳定的。
类比：如果弹簧振子的"能量函数"是（动能+势能），当 x 或无穷大时，能量也无穷大，说明"再怎么晃，能量也不会失控到别处"，保证全局稳定。

结论：满足条件 = 系统渐进稳定（甚至全局）

若满足条件一+条件二：系统在原点（平衡点）附近渐进稳定（从附近出发，最终会回到平衡点）。
若再满足条件三：系统是全局渐进稳定（不管从哪出发，最终都能回到平衡点）。

根据滑膜观测器学习笔记（1）dq坐标系下永磁同步电机（PMSM）电压方程的推导与简化-CSDN博客

参数预测

我们已经推算出DQ轴下电压方程

如果想解算电机速度，角度等信息，需要将其转换到α和β轴上

在PMSM电机中Ld≈Lq，所以最左边为0R矩阵（对角元素相等，非对角元素为R）；将加号后面部分概括为反电动势Eα和Eβ

将α和β轴变为电流微分表达式，方便后面设计参数和式子所用

Uα和Uβ可以确定（属于已知输入量，Ud和Uq已知后，经过rev_park获得），通过下图可知，认为控制反电动势便可获得一个人为估计的电流。

反电动势可通过下图来给定，其中h为符号函数，如果h内的值>0，则sign为1，反之则为-1，根据括号内正负值为正负1，sign内部为预期值与观测值的误差称为观测误差，越接近0则与实际值越接近

下图为实际电流（1）和观测电流（2）。

其中，下图横轴为实际值，纵轴为预测值

其中s1和s2分别为α和β轴观测电流和真实电流的误差，并设函数U（s1）和U（s2），该函数满足李雅普诺夫稳定性判据

所以h取值范围为下图四个参数中最大值，就可以保证U（s1）和U（s2）的观测误差最终会趋近于0

所以我们可以知道

上图模型为

其中模型上半部分（如上图）

部分解释为下图。

而模型下半部分同理推导

锁相跟随

锁相环分为三部分：PD（鉴相器），LPF（环路滤波器），VCO（压控振荡器）

模块	功能（通用 + 电机控制场景）
PD（鉴相器）	比输入输出相位差 → 输出误差电压；SMO 里对比反电势相位，找角度偏差
LPF（环路滤波器）	滤除高频噪声，让控制更平滑；给 SMO 稳定的调节信号
VCO（压控振荡器）	用电压调频率 / 相位；SMO 里实时调整电角度，让观测值跟上实际值

可以参考FOC学习笔记（7）锁相环(PLL)原理及其在电机控制中的应用-CSDN博客

（上面图片右边实际模型为）

将下图式子

带入到

中,(上图式子定为系数K)

这里着重讲一下

为何

经过PI控制器后可以获得角速度，再积分可以获得角度？