【论文阅读39】PINN求边坡内时空变化的地震动响应（位移、速度、加速度）场分布

论文提出了一种基于物理信息神经网络（PINN）和极限分析上界定理相结合的岩体边坡地震稳定性分析框架，重点考虑了边坡中的预存裂缝对稳定性的影响。

PINN用来求解岩质边坡内随时间和空间变化的地震动响应（位移、速度、加速度）场分布。

📌 论文概述

目前岩质边坡地震稳定性分析方法主要有两类：

传统极限分析方法：物理一致性强，但无法考虑地震动时空变化特性，且需假定滑裂面形状。
数值模拟方法（FEM/FDM）：可求解复杂场分布，但计算开销大，网格划分繁琐。

这两者各有优劣，缺少一种同时兼具物理机制解释性与复杂地震动响应能力的高效方法。

📊 本文方法：物理信息神经网络（PINN）-极限分析耦合框架

方法亮点：

将地震动传播偏微分方程 嵌入 PINN，实时求解边坡内地震动时空分布（位移、速度、加速度）。
将 PINN 与基于Hoek--Brown准则线性化的3D多段滑裂面极限分析模型耦合，构建滑裂面形态、地震作用功率和能量耗散率平衡方程。
开发基于MPA群智能优化算法 与二分法 的多变量优化策略，自动确定最危险裂缝位置与临界滑裂面。
边界条件、几何约束、非线性强度准则一并嵌入优化体系。

📈 结果与分析

预测性能：

PINN求得的地震加速度场与理论解高度吻合，位移场误差<0.01 m。
与 FLAC3D 数值模拟结果对比，本文方法得到的安全系数与滑裂面形态完全吻合，且略偏保守（上限解）。
裂隙边坡稳定性结果表明：坡度越陡、地震动越强、GSI越高，裂缝对边坡稳定性的不利影响越显著。

物理一致性：

PINN内嵌偏微分方程，求解结果自动满足地震动传播方程、几何约束与边界条件。
求得的裂隙临界深度、稳定性数、安全系数符合已有理论与数值模拟规律，具备良好物理解释性。

模型泛化性：

模型结构清晰，适用于任意复杂地形、任意复杂地震波形（可用傅里叶级数分解）。
未来可扩展至随机场强度分布、多物理场耦合滑坡触发机制。

📌 论文意义与展望

意义：

首次将PINN嵌入上限极限分析 ，实现3D岩质裂隙边坡地震稳定性分析。
提供了兼顾预测性能、物理一致性与计算效率的方案，突破了传统极限分析与数值法的局限。
具备将历史地震数据集成入稳定性分析框架的潜力。

局限性：

仅考虑Hoek--Brown准则，未涉及多物理过程（地下水、降雨等耦合作用）。
地震动为单向入射面波模型，未来可拓展至三维全波形地震动模拟。
优化计算耗时较长（单模型训练超3小时）。

📌 未来工作

扩展裂隙滑坡破坏机制至非均质岩体

将当前基于均质假设的多段裂隙滑裂面破坏机制，扩展为离散化模型，以适应实际岩体强度空间变异性的复杂情况。
开展不确定性分析

在当前确定性极限分析框架基础上，结合 Monte Carlo 模拟，量化坡体几何、岩性参数与地震动参数等不确定性对稳定性的影响。
应用随机场方法表征岩体强度空间变异性

针对复杂地质条件下岩体强度空间相关性，采用随机场方法刻画其分布特性，并将其引入稳定性分析过程。
融合历史地震数据与复杂地震动工况

利用傅里叶分析方法，将复杂地震波分解为谐波波列，未来可将历史实测地震动数据纳入 PINN 稳定性分析框架，提升地震作用情景的真实性。
拓展至更复杂地质和地震工况及进一步的不确定性分析

将当前方法应用于多裂隙、复杂地形、不同地震动特性条件下的岩质边坡稳定性分析，并完善裂隙边坡的不确定性量化方法。

$1\] Zhang Z, Li Z, Dias D. Seismic stability of cracked rock slopes based on physics-informed neural networks\[J\]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2025, 192: 106147.$

基于物理信息神经网络的裂隙岩质边坡地震稳定性分析

作者信息

Zilong Zhang

Laboratory 3SR, Grenoble Alpes University, CNRS, UMR 5521, Grenoble, 38000, France

法国格勒诺布尔阿尔卑斯大学 3SR 实验室，法国国家科学研究中心（CNRS），UMR 5521，格勒诺布尔，邮编 38000，法国
Zhengwei Li * （通讯作者）

Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan, Hubei, 430074, China

中国地质大学（武汉）工程学院，湖北武汉，邮编 430074，中国
Daniel Dias

Laboratory 3SR, Grenoble Alpes University, CNRS, UMR 5521, Grenoble, 38000, France

法国格勒诺布尔阿尔卑斯大学 3SR 实验室，法国国家科学研究中心（CNRS），UMR 5521，格勒诺布尔，邮编 38000，法国

文章目录
- - 摘要
  - [1. 引言](#1. 引言)
  - [2. Hoek-Brown 强度准则及其线性化](#2. Hoek-Brown 强度准则及其线性化)
  - - [2.1 Hoek-Brown 强度准则](#2.1 Hoek-Brown 强度准则)
    - [2.2 Hoek-Brown 强度准则的线性化](#2.2 Hoek-Brown 强度准则的线性化)
  - [3. 基于 PINN 的地震波求解框架](#3. 基于 PINN 的地震波求解框架)
  - - [3.1 问题定义与控制方程](#3.1 问题定义与控制方程)
    - [3.2 PINN 网络结构](#3.2 PINN 网络结构)
  - [4. 裂隙岩质边坡的改进型三维破坏机制](#4. 裂隙岩质边坡的改进型三维破坏机制)
  - - [4.1 存在预裂缝的多分段破坏机制](#4.1 存在预裂缝的多分段破坏机制)
    - [4.2 片体积分策略与功率计算](#4.2 片体积分策略与功率计算)
    - [4.3 裂缝的边界约束](#4.3 裂缝的边界约束)
  - [5. 安全性指标及优化方法](#5. 安全性指标及优化方法)
  - - [5.1 稳定数与安全因子](#5.1 稳定数与安全因子)
    - [5.2 多变量优化方法](#5.2 多变量优化方法)
  - [6. 对比与验证](#6. 对比与验证)
  - - [6.1 切片数的确定](#6.1 切片数的确定)
    - [6.2 完整边坡安全因子的对比](#6.2 完整边坡安全因子的对比)
    - [6.3 带裂缝边坡稳定解的对比](#6.3 带裂缝边坡稳定解的对比)
    - [6.4. 所提PINN地震分析框架的验证](#6.4. 所提PINN地震分析框架的验证)
  - [7. 数值结果](#7. 数值结果)
  - - [7.1. 岩体边坡内的地震加速度](#7.1. 岩体边坡内的地震加速度)
    - [7.2. 预制裂缝与地震作用对岩体边坡稳定性的影响](#7.2. 预制裂缝与地震作用对岩体边坡稳定性的影响)
    - [7.3 讨论](#7.3 讨论)
  - [8. 结论](#8. 结论)
  - - 符号表

摘要

裂隙已被证实对土质边坡稳定性具有显著影响，但其对岩质边坡稳定性机制的影响尚未得到有效研究。本文在上限定理框架下，将非线性的 Hoek-Brown 屈服准则通过一系列切线分割为多个区段，以建立三维多区段破坏机制，并在首个区段中引入不连续面，以考虑边坡坡顶处存在的预先裂隙。

随后，构建了一种新颖的物理信息神经网络（PINN） ，用于计算地震波诱发的地震加速度。该基于 PINN 的分析框架具备同时描述地震波时空特性并符合边坡几何约束条件的优点。为获取空间相关的地震力功率密度，引入了一种切片积分策略 ，并进一步推导了考虑地震作用下的稳定性数。

确定裂隙岩质边坡的临界稳定性数，需识别一个关键破坏机制，该机制由对边坡稳定性影响最显著的裂隙深度与位置共同决定。该过程属于多变量优化问题，依托新颖的Marine Predators Algorithm（MPA，海洋捕食者算法）实现求解。

研究结果表明，地震激励与裂隙的存在显著收窄了 Hoek-Brown 强度包络线上的应力分布范围，导致岩质边坡稳定性降低。PINN 模型能够在考虑边坡几何形态、岩体特性与地震波特性的基础上，提供更为真实的边坡内部地震荷载分布特性。

鉴于傅里叶分析强大的变换能力，所提出的基于 PINN 的地震稳定性分析框架展现出将更真实地震数据纳入边坡稳定性解析模型的潜力。

关键词**：岩质边坡、物理信息神经网络（PINN）、极限分析、裂隙、地震效应

1. 引言

黏性土边坡与岩质边坡中的裂隙通常由拉伸作用的产生[^1][2]、风化作用[^{3]以及干湿循环[}4]诱发。裂隙的存在会显著影响土质边坡的稳定性，这凸显了在稳定性评价中考虑裂隙因素的重要性[^5][6]。然而，裂隙对岩质边坡稳定性的影响尚缺乏充分关注，尤其是在地震作用下裂隙岩质边坡的稳定性机制仍存在较大不确定性。

关于裂隙边坡的早期研究多基于极限平衡法（Limit Equilibrium Method, LEM）。Spencer[^7] 考虑了填方堤坝顶部土体张拉效应，并进一步提出了确定张裂缝深度的方法。Baker[^8] 基于变分法分析了张裂缝深度及其对土质边坡稳定性的影响。随后，Cousins[^9]、Hoek 和 Bray[^10]、Kaniraj 和 Abdullah[^11]、Baker[8] 以及 Vahedifard 等[^12] 等学者相继开展了基于 LEM 或变分法的裂隙边坡稳定性分析研究。

除 LEM 外，基于运动学的极限分析法（Limit Analysis Method, LAM）是一种能有效考虑边坡中裂隙存在的分析方法。Yang 和 Yin[^13] 基于 LAM 评估了垂直土质边坡在张裂缝存在条件下的稳定性。Utili[^2] 和 Michalowski[^5] 分别发展了更为系统的裂隙土质边坡 LAM 分析方法。其中，Utili[^2] 设定了三种典型工况：裂隙位置已知、裂隙深度已知，以及裂隙位于最不利位置与深度。Michalowski[^5] 则提出了一种随坡体整体破坏机制形成的新型裂隙形式，该裂隙类型随后被 Abd 和 Utili[^14] 定义为"形成裂隙（formation cracks）"。受上述创新性研究启发，近年来裂隙土质边坡的相关研究日趋丰富，涉及地震激励影响[^{15]、三维稳定性分析[}16]以及土工合成材料加固裂隙边坡[^14]等内容。

现有关于裂隙边坡的研究多采用解析方法（如 LEM 或 LAM），有限元法（Finite Element Method, FEM）应用较少。即便采用 FEM，也多用于验证 LAM 等方法在给定裂隙位置与深度情况下的适用性[^14]。这是因为裂隙的存在会在静力与运动学场中引入不连续性，从而使数值方法在准确计算坡体破坏状态方面面临较大挑战。即使在 LEM 中，也需假定裂隙位置与深度。相反，LAM 可在无需先验假设的条件下，自动考虑最不利裂隙深度与位置，因而成为裂隙边坡稳定性初步设计的重要保守参考方法。

尽管如此，现有基于 LAM 的裂隙边坡分析框架大多建立在线性 Mohr-Coulomb（M-C）强度准则 之上，难以适用于岩质边坡稳定性评价。大量试验结果表明，岩体强度特性呈非线性 特征[^17][18]，Hoek-Brown（H-B）准则或广义 Hoek-Brown 准则更适合描述岩石或岩体强度性质。为将 H-B 准则应用于解析框架，学者们提出了多种线性化方法。Hoek[^19] 以及 Hoek 等[^18] 提出了基于 H-B 准则计算等效 M-C 岩体参数的方法，该方法已被广泛应用于岩质边坡稳定性分析[^20]。另一种常用的 H-B 准则线性化方法是由 Yang 等[^21] 提出的广义切线法（Generalized Tangential Technique, GTT） 。GTT 可基于 H-B 准则求解切线线性强度包络，并确保该切线包络对岩体实际荷载提供严格上限估计。该切线法随后被广泛应用于隧道掌子面稳定性分析[^22][23]、三维岩质边坡稳定性分析[^24][25]以及隧道围岩顶板坍塌机制研究[^26]。

近期，Michalowski 和 Park[^27] 将单切线方法拓展为多切线方法，通过多段线性区间替代非线性 H-B 强度包络线，在此基础上构建多区段破坏机制，以描述岩质边坡破坏过程[^28]。多切线方法被认为是对 H-B 准则非线性特性更为精确的近似。

在边坡地震稳定性分析中，伪静力法（pseudo-static method）被广泛采用，将地震力视为惯性力处理。然而，地震力在时空上是变化的，伪静力法因此可能高估或低估边坡稳定性。Qin 和 Chian[^29] 提出了一种伪动力法（pseudo-dynamic framework），用于刻画地震力的时空特性，但该方法难以满足边坡自由面零应力边界条件要求。尽管部分研究尝试改进伪动力法，但大多局限于边界条件简单的竖向挡土墙稳定性分析[^30][31]。

实际上，地震力可通过地震波传播的偏微分方程（PDE）求解获得[^32]。然而，不同岩土工程项目中的多样化边界条件使直接求解 PDE 十分困难。Raissi 等[^33] 提出的物理信息神经网络（Physics-informed Neural Networks, PINNs） ，为复杂 PDE 问题提供了基于深度学习的新型求解手段。PINNs 已在复杂边界条件与非线性 PDE 求解中展现出优异性能，成为岩土工程与计算力学领域的新兴方法[^34--37]。

PINN 的卓越表现为重新求解地震波传播 PDE 并确定坡体内部地震力分布提供了全新契机。本研究旨在提出一种高效方法，用于分析存在预裂隙岩质边坡的地震稳定性。本文基于多切线线性化 Hoek-Brown（H-B）强度准则，在多区段破坏机制中引入不连续面，以刻画裂隙岩质边坡的破坏特征。并开发了一种新型 PINN 模型，求解地震波传播方程，确定岩质边坡内部地震加速度分布。随后，基于多变量优化方法 MPA[^38]，求解并优化裂隙岩质边坡稳定性数与安全系数的临界极限分析解，并利用 FLAC3D 平台结合强度折减法进行有限差分验证。最后，全面分析坡体内地震力分布特性，量化地震激励、三维约束与裂隙存在对岩质边坡稳定性的耦合影响。

2. Hoek-Brown 强度准则及其线性化

2.1 Hoek-Brown 强度准则

1980 年，Hoek 和 Brown[^17] 提出了 Hoek-Brown（H-B）强度准则，这是目前岩石强度计算中最著名且应用最广泛的强度准则。该开创性工作基于对数百组岩石三轴试验数据与大量现场岩体试验结果的统计分析，并结合岩石力学性质的理论研究与工程实测。经过多年发展与完善，H-B 强度准则体系已趋于完善。Hoek 等[^39] 提出了广义 Hoek-Brown 强度准则 ，可同时表征单块岩石与岩体性质。

图 1a 展示了该准则在主应力空间中的屈服面，其最新版本表达式为[^18]：

σ 1 = σ 3 + σ c i ( m b σ 3 σ c i + s ) a \sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_{ci} \left( m_b \frac{\sigma_3}{\sigma_{ci}} + s \right)^a σ1=σ3+σci(mbσciσ3+s)a

其中， σ 1 {\sigma_1} σ1 和 σ 3 \sigma_3 σ3 分别表示最大与最小主应力， σ _ c i \sigma\_{ci} σ_ci 为完整岩石的单轴抗压强度， m _ b m\_b m_b、 s s s 和 a a a 为描述岩体特性的经验参数，其表达式如下：

m b = m i exp ⁡ ( GSI − 100 28 − 14 D ) m_b = m_i \exp \left( \frac{\text{GSI} - 100}{28 - 14D} \right) mb=miexp(28−14DGSI−100)

a = 1 2 + 1 6 [ exp ⁡ ( − GSI 15 ) − exp ⁡ ( − 20 3 ) ] a = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left[ \exp \left( -\frac{\text{GSI}}{15} \right) - \exp \left( -\frac{20}{3} \right) \right] a=21+61[exp(−15GSI)−exp(−320)]

s = exp ⁡ ( GSI − 100 9 − 3 D ) s = \exp \left( \frac{\text{GSI} - 100}{9 - 3D} \right) s=exp(9−3DGSI−100)

其中， m _ i m\_i m_i、 D D D 和 GSI 为无量纲参数，分别表征岩体的坚硬性、扰动程度和地质强度指标， s s s 表示岩体破碎化程度，取值范围为 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲0, 1.0]，当 s = 1.0 s=1.0 s=1.0 表示岩体完整（即岩石）。这些指标可通过室内试验、矿物组成分析与节理面调查获得，详细定义可参考相关研究[^18,40]。

由式 (1) 定义的主应力空间 H-B 强度准则不便直接与现有解析方法（如 LEM 或 LAM）耦合。Kumar[^41] 提出了一种将 H-B 准则从主应力空间转换至 σ _ n \sigma\_n σ_n-- τ \tau τ 空间的方法，如图 1b 所示。在 σ _ n \sigma\_n σ_n-- τ \tau τ 空间中，H-B 强度准则下的剪应力与法向应力可表示为：

τ σ c i = cos ⁡ δ ( m b a ( 1 − sin ⁡ δ ) 2 sin ⁡ δ ) 1 − a ( 1 − a a ) \frac{\tau}{\sigma_{ci}} = \cos \delta \left( \frac{m_b a (1 - \sin \delta)}{2 \sin \delta} \right)^{1-a} \left( \frac{1-a}{a} \right) σciτ=cosδ(2sinδmba(1−sinδ))1−a(a1−a)

σ n σ c i = ( 1 m b + sin ⁡ δ ) ( m b a ( 1 − sin ⁡ δ ) 2 sin ⁡ δ ) 1 − 1 a s 1 m b \frac{\sigma_n}{\sigma_{ci}} = \left( \frac{1}{m_b} + \sin \delta \right) \left( \frac{m_b a (1 - \sin \delta)}{2 \sin \delta} \right)^{1 - \frac{1}{a}} s^{\frac{1}{m_b}} σciσn=(mb1+sinδ)(2sinδmba(1−sinδ))1−a1smb1

其中， δ \delta δ 为破坏面倾角（见图 1b）。

主应力空间中的屈服面可用三条 Mohr 圆表示，最外侧 Mohr 圆由 σ _ 1 \sigma\_1 σ_1 和 σ _ 3 \sigma\_3 σ_3 决定。屈服面顶点 P（图 1a）对应于非线性强度包络线端点 P′（图 1b）。将 σ _ 1 = σ _ 2 = σ _ 3 = σ _ t \sigma\_1 = \sigma\_2 = \sigma\_3 = \sigma\_t σ_1=σ_2=σ_3=σ_t 代入式 (1)，可求得岩体的抗拉强度 σ _ t \sigma\_t σ_t：

σ t = σ c i s 1 m b \sigma_t = \sigma_{ci} s^{\frac{1}{m_b}} σt=σcismb1

2.2 Hoek-Brown 强度准则的线性化

由于多数经典解析解与数值软件均基于线性 Mohr-Coulomb (M-C) 强度准则，H-B 强度包络线的非线性特性限制了其在岩土工程分析中的直接应用。因此，学者们致力于通过将 H-B 准则强度参数等效转化为 M-C 强度参数以便应用。例如，Hoek[^19] 提出了一种基于 H-B 强度参数计算瞬时 M-C 强度参数的方法，即在 H-B 强度准则非线性曲线上某点求切线方程，并将其表达为 M-C 准则。

Yang 等[^21] 基于此发展了广义切线法（Generalized Tangential Technique, GTT） ，用于将 H-B 强度包络线线性化，并在上限定理框架下进行边坡稳定性分析。随后，Park 和 Michalowski[^28] 将 GTT 的单切线方法扩展为多切线方法，通过多条切线拟合非线性强度包络线，在上限极限分析框架下提供更精确的线性化估计。

图 1c 展示了该多切线方法的示意图。

3. 基于 PINN 的地震波求解框架

3.1 问题定义与控制方程

地震波在地球内部的传播通常由三维运动方程描述。然而，地球并非无限体，这意味着地表面上应力必须为零。针对近地表地震工程问题，通常将地球理想化为具有平面自由面的半无限体。自由面上的零应力边界条件限制了地震波运动方程的解，这些解描述了地表波的传播，其运动主要集中在靠近自由表面的浅层区域，例如地震工程中著名的Rayleigh 波 与Love 波 。

在岩土工程特定结构中，边界往往并非平面自由面。例如，如图 2 所示，一个简单的边坡由倾斜坡面与水平坡顶组成，此类近地表结构必须满足自由面零应力边界约束。

地震波分为两种基本类型：纵波（Primary wave）和横波（Shear wave） 。其中，纵波属于膨胀波，不会引起剪切或转动变形，而横波则仅导致材料产生剪切变形。由于边坡破坏主要源于竖直剖面（ x x x-- z z z 平面）内的位移，类似于 Rayleigh 波的传播特性，本文仅考虑 x x x-- z z z 平面内的波动传播情况。

坡体内部某点的应力状态如图 2 所示，坡面与坡顶表面均需满足零应力边界条件。地震波运动方程表示为[^32]：

ρ d ∂ 2 u ∂ t 2 = ∇ ⋅ σ \rho_d \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} ρd∂t2∂2u=∇⋅σ

其中， ρ _ d \rho\_d ρ_d 为介质密度， u \mathbf{u} u 为位移向量， t t t 为时间， ∇ \nabla ∇ 为散度算子， σ \boldsymbol{\sigma} σ 为应力张量，其由下式确定：

σ = λ tr ( ε ) I + 2 μ ε \boldsymbol{\sigma} = \lambda \, \text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) \mathbf{I} + 2\mu \boldsymbol{\varepsilon} σ=λtr(ε)I+2με

其中， ε \boldsymbol{\varepsilon} ε 为应变张量， λ \lambda λ 和 μ \mu μ 为 Lame 常数， tr ( ε ) \text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) tr(ε) 表示应变张量迹， I \mathbf{I} I 为单位张量。

将 σ \boldsymbol{\sigma} σ 表达式代入运动方程，可将地震波平衡方程化为位移形式：

ρ d ∂ 2 u ∂ t 2 = μ ∇ 2 u + ( λ + μ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) \rho_d \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = \mu \nabla^2 \mathbf{u} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) ρd∂t2∂2u=μ∇2u+(λ+μ)∇(∇⋅u)

依据小变形假设，应变张量可表示为：

ε = 1 2 ( ∇ u + ( ∇ u ) T ) \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} \left( \nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^\mathrm{T} \right) ε=21(∇u+(∇u)T)

坡面与坡顶表面的零应力边界条件由以下表达式控制：

σ ⋅ n = 0 \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} = 0 σ⋅n=0

其中， n \mathbf{n} n 为表面外法向量。

上述控制方程表明，地震诱导位移因其时空耦合特性而十分复杂。对于存在不规则几何形状的问题，难以通过解析法获得数学解。长期以来，伪静力法通过将地震作用简化为惯性力，成为边坡稳定性分析的主流方法。近年来，伪动力法[^29,30] 能够描述边坡内地震波的时空变化特性，但因违反零应力边界条件而解算不严谨。

本研究拟采用强大的 PDE 求解器 PINN，直接求解边坡内地震波运动方程，建立更为准确的解析框架。需要指出，实际地震波形复杂，但傅里叶分析方法可将任意复杂波形分解为若干谐波波形[^42]。因此，本文采用谐波运动作为示例，复杂地震波可由多个谐波叠加获得。

3.2 PINN 网络结构

PINN 网络结构由深度神经网络（DNN） 和物理信息损失函数 构成，如图 3 所示。DNN 由输入层、输出层和若干隐藏层组成，信号由输入层逐层传递至输出层，激活函数 σ ( ⋅ ) \sigma(\cdot) σ(⋅) 作用于信号转换过程。

DNN 的数学关系可表示为：

a i = σ i ( W i a i − 1 + b i ) \mathbf{a}_i = \sigma_i ( \mathbf{W}i \mathbf{a}{i-1} + \mathbf{b}_i ) ai=σi(Wiai−1+bi)

其中， W _ i \mathbf{W}\_i W_i 和 b _ i \mathbf{b}\_i b_i 分别表示第 i i i 层权重矩阵与偏置项， a \mathbf{a} a 表示各层输出， i i i 为层索引。

通过输入时间与空间坐标 X ( x , z , t ) X(x, z, t) X(x,z,t)，DNN 可预测目标位移与应力的近似解 ( u ~ , σ ~ ) (\tilde{\mathbf{u}}, \tilde{\boldsymbol{\sigma}}) (u~,σ~)，并利用自动微分技术计算关于 u ~ \tilde{\mathbf{u}} u~ 的偏导项。

基于地震波控制方程残差、自由面零应力边界条件以及坡脚谐波位移条件，构建物理信息损失函数，表达式为：

\\text{Loss} = \\frac{1}{N_p} \\sum_{m=1}\^{N_p} \\left( \\left\| \\rho_d \\frac{\\partial\^2 \\tilde{\\mathbf{u}}}{\\partial t\^2} - \\nabla \\cdot \\tilde{\\boldsymbol{\\sigma}} \\right\|\^2 + \\left\| \\rho_d \\frac{\\partial\^2 \\tilde{\\mathbf{u}}}{\\partial t\^2} - \\mu \\nabla\^2 \\tilde{\\mathbf{u}} - (\\lambda + \\mu) \\nabla ( \\nabla \\cdot \\tilde{\\mathbf{u}} ) \\right\|\^2 \\right) * \\frac{1}{N_b} \\sum_{n=1}\^{N_b} \\left\| \\mathcal{B}(x, z, t) \\right\|\^2

其中， N _ p N\_p N_p 和 N _ b N\_b N_b 分别为目标域与边界上的训练样本数， m m m 和 n n n 为训练集样本索引， B ( x , z , t ) \mathcal{B}(x, z, t) B(x,z,t) 表示坡面、坡脚与坡顶处的 Dirichlet 或 Neumann 边界条件。

与传统 DNN 使用带标签训练集不同，PINN 的训练数据仅需包含目标域 ( x _ p , z _ p , t _ p ) (x\_p, z\_p, t\_p) (x_p,z_p,t_p) 与边界上 ( x _ b , z _ b , t _ b ) (x\_b, z\_b, t\_b) (x_b,z_b,t_b) 的位置坐标[^33]。

本文基于 PyTorch 平台开发 PINN 模型，依托其内置自动微分模块，优化目标为最小化物理信息损失函数残差，使训练后的 PINN 模型满足 PDE 与边界条件表达的物理约束。最终可获得优化后的权重与偏置参数 ( W ∗ , b ∗ ) (\mathbf{W}^*, \mathbf{b}^*) (W∗,b∗)，并由此求得地震波运动方程的近似解。

4. 裂隙岩质边坡的改进型三维破坏机制

4.1 存在预裂缝的多分段破坏机制

本文对 Park 和 Michalowski 提出的最新三维多分段破坏机制进行了修改，以考虑边坡坡顶存在预制垂直裂缝的情况。如图 4 所示，构建了包含多分段破坏面的三维破坏机制，以适应非线性 Hoek-Brown (H-B) 强度包络线。每个曲面锥形破坏面对应一个单独的破坏角 δ \delta δ，且不同分段之间该角度可变，以贴合强度包络线的非线性特性。滑坡发生时，所有分段同时达到极限状态，并围绕通过点 F F F 的轴线旋转。

该多分段破坏机制的上下边界由一系列对数螺旋段组成，其表达式为：

ρ ( α ) = ρ i − 1 exp ⁡ [ ( α − α i − 1 ) tan ⁡ δ i ] , α i − 1 ≤ α ≤ α i \rho(\alpha) = \rho_{i-1} \exp \left[(\alpha - \alpha_{i-1}) \tan \delta_i \right], \quad \alpha_{i-1} \leq \alpha \leq \alpha_i ρ(α)=ρi−1exp[(α−αi−1)tanδi],αi−1≤α≤αi

以及

ρ ′ ( α ) = ρ i − 1 ′ exp ⁡ [ ( α − α i − 1 ) tan ⁡ δ i ] , α i − 1 ≤ α ≤ α i \rho'(\alpha) = \rho'{i-1} \exp \left[(\alpha - \alpha{i-1}) \tan \delta_i \right], \quad \alpha_{i-1} \leq \alpha \leq \alpha_i ρ′(α)=ρi−1′exp[(α−αi−1)tanδi],αi−1≤α≤αi

其中

{ ρ i − 1 = ρ 0 exp ⁡ [ ∑ k = 1 i − 1 ( α k − α k − 1 ) tan ⁡ δ k ] ρ i − 1 ′ = ρ 0 ′ exp ⁡ [ ∑ k = 1 i − 1 ( α k − α k − 1 ) tan ⁡ δ k ] \begin{cases} \rho_{i-1} = \rho_0 \exp \left[\sum_{k=1}^{i-1} (\alpha_k - \alpha_{k-1}) \tan \delta_k \right] \\ \rho'{i-1} = \rho'0 \exp \left[\sum{k=1}^{i-1} (\alpha_k - \alpha{k-1}) \tan \delta_k \right] \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ρi−1=ρ0exp[∑k=1i−1(αk−αk−1)tanδk]ρi−1′=ρ0′exp[∑k=1i−1(αk−αk−1)tanδk]

其中 ρ ′ _ 0 / ρ _ 0 \rho'\_0/\rho\_0 ρ′_0/ρ_0 是确定破坏机制的一个独立变量。

每个旋转块体在径向剖面中的轮廓为圆形，半径 R R R 和圆心到旋转点的距离 ρ _ m \rho\_m ρ_m 分别为：

R ( α ) = ρ ( α ) − ρ ′ ( α ) 2 R(\alpha) = \frac{\rho(\alpha) - \rho'(\alpha)}{2} R(α)=2ρ(α)−ρ′(α)

ρ m ( α ) = ρ ( α ) + ρ ′ ( α ) 2 \rho_m(\alpha) = \frac{\rho(\alpha) + \rho'(\alpha)}{2} ρm(α)=2ρ(α)+ρ′(α)

为考虑裂缝的存在，在靠近坡顶的分段中引入一条不连续面 A _ 1 D A\_1D A_1D，如图 4 所示。完好块体 A _ 0 A _ i A _ n B A\_0A\_iA\_nB A_0A_iA_nB 的剖面变为 D A _ 1 A _ i A _ n B DA\_1A\_iA\_nB DA_1A_iA_nB，裂缝后的岩体 A _ 0 A _ 1 D A\_0A\_1D A_0A_1D 保持稳定。裂缝上端点 A _ 1 D A\_1D A_1D 的位置计算为：

α D = arctan ⁡ ( ρ 0 sin ⁡ α 0 ρ 1 cos ⁡ α 1 ) \alpha_D = \arctan \left(\frac{\rho_0 \sin \alpha_0}{\rho_1 \cos \alpha_1}\right) αD=arctan(ρ1cosα1ρ0sinα0)

裂缝边界表达式为：

ρ ( α ) = ρ 0 sin ⁡ α 0 cos ⁡ α tan ⁡ α D , α D ≤ α ≤ α 1 \rho(\alpha) = \frac{\rho_0 \sin \alpha_0}{\cos \alpha \tan \alpha_D}, \quad \alpha_D \leq \alpha \leq \alpha_1 ρ(α)=cosαtanαDρ0sinα0,αD≤α≤α1

与完整破坏机制不同，修正机制的滑动面包含两部分： α _ D ≤ α ≤ α _ 1 \alpha\_D \leq \alpha \leq \alpha\_1 α_D≤α≤α_1 区段为裂缝面， α _ 1 ≤ α ≤ α _ n \alpha\_1 \leq \alpha \leq \alpha\_n α_1≤α≤α_n 区段为多分段破坏面。修正机制的上边界仍由上式给出，而下边界在 i = 1 i=1 i=1 分段处由上述裂缝边界方程代替。

此外，为便于将三维机制转化为二维机制，沿对称面插入一个宽度为 B _ i n B\_{in} B_in 的平面，如图 5 所示，总宽度为 B B B 时，插入平面的宽度为：

B i n = { B 2 max ⁡ ( R ) , ρ m ≥ ρ s B 2 max ⁡ ( R 2 − ( ρ s − ρ m ) 2 ) , ρ m < ρ s B_{in} = \begin{cases} \frac{B}{2 \max (R)}, & \rho_m \geq \rho_s \\ \frac{B}{2 \max \left( \sqrt{R^2 - (\rho_s - \rho_m)^2} \right)}, & \rho_m < \rho_s \end{cases} Bin=⎩ ⎨ ⎧2max(R)B,2max(R2−(ρs−ρm)2 )B,ρm≥ρsρm<ρs

其中 ρ _ s \rho\_s ρ_s 表示坡面与旋转点间距，计算式为：

ρ s ( α ) = { ρ 0 sin ⁡ α 0 sin ⁡ α , α D < α < α B ρ n sin ⁡ ( α n + β ) sin ⁡ ( α + β ) , α B < α < α n \rho_s(\alpha) = \begin{cases} \frac{\rho_0 \sin \alpha_0}{\sin \alpha}, & \alpha_D < \alpha < \alpha_B \\ \frac{\rho_n \sin (\alpha_n + \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}, & \alpha_B < \alpha < \alpha_n \end{cases} ρs(α)={sinαρ0sinα0,sin(α+β)ρnsin(αn+β),αD<α<αBαB<α<αn

4.2 片体积分策略与功率计算

由于地震波的时空特性，地震波的加速度在不同空间位置存在差异，导致传统积分方法难以直接用于内部和外部功率的计算。为此，引入水平切片方法来计算功率，如图 6 所示。边坡的破坏块体沿垂直方向均匀分为 M M M 条带状体，每条带高度为 Δ z \Delta z Δz。对称面上的每条带左端点记为 k k k，右端点记为 k ′ k' k′， k k k 也代表该带的索引。在旋转系统中，点 k k k 和 k ′ k' k′ 对应旋转角度 θ _ k \theta\k θ_k 和 θ _ k ′ \theta\{k'} θ_k′。水平切片法的优点是可以直接计算裂缝左侧的不稳定块体，避免了传统方法先计算总体功率再减去裂缝右侧稳定块体功率的间接做法。此外，可以通过旋转角度和极径积分，确定不同位置处的速度分量、不稳定块体体积和滑动面的面积。本文所考虑的裂缝为滑坡前已存在的预制裂缝，因此裂缝处无能量耗散。总内耗功率表达式为：

D r = ω ∑ i = 2 n ( τ i σ n i tan ⁡ δ i ) ∫ α i − 1 α i [ ∫ ρ ρ s r 2 2 R R 2 − ( r − ρ m ) 2 d r + B i n r 2 ] d α D_r = \omega \sum_{i=2}^n (\tau_i \sigma_{ni} \tan \delta_i) \int_{\alpha_{i-1}}^{\alpha_i} \left[ \int_{\rho}^{\rho_s} r^2 \sqrt{ \frac{2 R}{R^2 - (r - \rho_m)^2} } \, dr + B_{in} r^2 \right] d\alpha Dr=ωi=2∑n(τiσnitanδi)∫αi−1αi[∫ρρsr2R2−(r−ρm)22R dr+Binr2]dα

其中 r r r 是破坏块体中某点的极径， ρ \rho ρ 和 ρ _ s \rho\_s ρ_s 分别由式 (13) 和 (21) 计算。

每个破坏段体的自重引起的功率为：

W γ = ω γ ∑ i = 1 n ∫ α i − 1 α i ∫ θ k θ k ′ r cos ⁡ α Δ z Δ x [ 2 R 2 ( θ ) [ ρ sin ⁡ α sin ⁡ θ ρ m ( θ ) ] 2 + B i n ] d θ d α W_\gamma = \omega_\gamma \sum_{i=1}^n \int_{\alpha_{i-1}}^{\alpha_i} \int_{\theta_k}^{\theta_{k'}} r \cos \alpha \Delta z \Delta x \left[ 2 \sqrt{ \frac{R^2(\theta)}{ [ \rho \sin \alpha \sin \theta \rho_m(\theta) ]^2 } } + B_{in} \right] d\theta d\alpha Wγ=ωγi=1∑n∫αi−1αi∫θkθk′rcosαΔzΔx[2[ρsinαsinθρm(θ)]2R2(θ) +Bin]dθdα

地震力引起的功率表达为：

W e = ω γ ∑ i = 1 n ∫ α i − 1 α i ∫ θ k θ k ′ a g r sin ⁡ α Δ z Δ x [ 2 R 2 ( θ ) [ ρ sin ⁡ α sin ⁡ θ ρ m ( θ ) ] 2 + B i n ] d θ d α W_e = \omega_\gamma \sum_{i=1}^n \int_{\alpha_{i-1}}^{\alpha_i} \int_{\theta_k}^{\theta_{k'}} a g r \sin \alpha \Delta z \Delta x \left[ 2 \sqrt{ \frac{R^2(\theta)}{ [ \rho \sin \alpha \sin \theta \rho_m(\theta) ]^2 } } + B_{in} \right] d\theta d\alpha We=ωγi=1∑n∫αi−1αi∫θkθk′agrsinαΔzΔx[2[ρsinαsinθρm(θ)]2R2(θ) +Bin]dθdα

其中， γ \gamma γ 是岩体单位重， a a a 是剪切波加速度， Δ z \Delta z Δz 和 Δ x \Delta x Δx 分别定义为：

Δ z = H M \Delta z = \frac{H}{M} Δz=MH

H = ρ n sin ⁡ α n ρ 0 sin ⁡ α 0 H = \frac{\rho_n \sin \alpha_n}{\rho_0 \sin \alpha_0} H=ρ0sinα0ρnsinαn

其中， n n n 是独立破坏段的总数。 Δ x \Delta x Δx 的表达式为：

Δ x = ρ s cos ⁡ θ k ′ ρ cos ⁡ θ k N \Delta x = \frac{\rho_s \cos \theta_{k'}}{\rho \cos \theta_k N} Δx=ρcosθkNρscosθk′

其中 M M M 和 N N N 分别为水平和垂直方向的切片数量。显然， Δ z \Delta z Δz 和 Δ x \Delta x Δx 是 θ \theta θ 和 ρ \rho ρ 的函数，因此式 (23)、(24) 中的外部功率及式 (22) 中的内耗功率均可通过对 θ \theta θ 和 ρ \rho ρ 的积分计算。

基于上界极限分析，功率平衡方程为：

W γ + W e = D r W_\gamma + W_e = D_r Wγ+We=Dr

4.3 裂缝的边界约束

裂缝的引入导致原完整破坏机制产生不连续，因此确定裂缝边界对于确定临界破坏机制至关重要。在可允许的运动学场中，定义 h _ max ⁡ h\{\max} h_max 为最大垂直裂缝深度，意味着只要裂缝深度低于 h _ max ⁡ h\{\max} h_max，裂缝即维持稳定。求解最大裂缝深度即是求解裂缝后方垂直切口的临界深度。

裂缝后方垂直切口的功率平衡方程写为：

W γ ′ + W e ′ = D r ′ W_\gamma' + W_e' = D_r' Wγ′+We′=Dr′

其中， W _ γ ′ W\_\gamma' W_γ′, W _ e ′ W\_e' W_e′ 和 D _ r ′ D\_r' D_r′ 分别为岩体自重、地震力和岩石抗力产生的功率，其表达式为：

D r ′ = ω ( τ 1 σ n 1 tan ⁡ δ 1 ) ∫ α 0 α 1 [ ∫ ρ ρ s r 2 2 R R 2 − ( r − ρ m ) 2 d r + B i n r 2 ] d α D_r' = \omega (\tau_1 \sigma_{n1} \tan \delta_1) \int_{\alpha_0}^{\alpha_1} \left[ \int_{\rho}^{\rho_s} r^2 \sqrt{ \frac{2 R}{R^2 - (r - \rho_m)^2} } \, dr + B_{in} r^2 \right] d\alpha Dr′=ω(τ1σn1tanδ1)∫α0α1[∫ρρsr2R2−(r−ρm)22R dr+Binr2]dα

W γ ′ = ω γ ∫ α 0 α 1 ∫ θ k θ k ′ r cos ⁡ α Δ z Δ x [ 2 R 2 ( θ ) [ r sin ⁡ α sin ⁡ θ ρ m ( θ ) ] 2 + B i n ] d θ d α W_\gamma' = \omega_\gamma \int_{\alpha_0}^{\alpha_1} \int_{\theta_k}^{\theta_{k'}} r \cos \alpha \Delta z \Delta x \left[ 2 \sqrt{ \frac{R^2(\theta)}{ [ r \sin \alpha \sin \theta \rho_m(\theta) ]^2 } } + B_{in} \right] d\theta d\alpha Wγ′=ωγ∫α0α1∫θkθk′rcosαΔzΔx[2[rsinαsinθρm(θ)]2R2(θ) +Bin]dθdα

W e ′ = ω γ ∑ i = 1 n ∫ α 0 α 1 ∫ θ k θ k ′ a g r sin ⁡ α Δ z Δ x [ 2 R 2 ( θ ) [ r sin ⁡ α sin ⁡ θ ρ m ( θ ) ] 2 + B i n ] d θ d α W_e' = \omega_\gamma \sum_{i=1}^n \int_{\alpha_0}^{\alpha_1} \int_{\theta_k}^{\theta_{k'}} a g r \sin \alpha \Delta z \Delta x \left[ 2 \sqrt{ \frac{R^2(\theta)}{ [ r \sin \alpha \sin \theta \rho_m(\theta) ]^2 } } + B_{in} \right] d\theta d\alpha We′=ωγi=1∑n∫α0α1∫θkθk′agrsinαΔzΔx[2[rsinαsinθρm(θ)]2R2(θ) +Bin]dθdα

三维岩体边坡裂缝最大深度边界由下式确定：

h max ⁡ = ( τ 1 σ n 1 tan ⁡ δ 1 ) γ ( W γ ′ + W e ′ ) ω γ ρ 0 4 h 0 D r ′ / ω ( τ 1 σ n 1 tan ⁡ δ 1 ) ρ 0 3 h_{\max} = \frac{ (\tau_1 \sigma_{n1} \tan \delta_1) \gamma (W_\gamma' + W_e') }{ \omega \gamma \rho_0^4 h_0 D_r' / \omega (\tau_1 \sigma_{n1} \tan \delta_1) \rho_0^3 } hmax=ωγρ04h0Dr′/ω(τ1σn1tanδ1)ρ03(τ1σn1tanδ1)γ(Wγ′+We′)

其中

h 0 = sin ⁡ α D exp ⁡ [ ( α D − α 0 ) tan ⁡ δ 1 ] sin ⁡ α 0 h_0 = \frac{\sin \alpha_D \exp \left[ (\alpha_D - \alpha_0) \tan \delta_1 \right]}{\sin \alpha_0} h0=sinα0sinαDexp[(αD−α0)tanδ1]

5. 安全性指标及优化方法

5.1 稳定数与安全因子

给定坡角 β \beta β 和 H-B 准则参数，通过功率平衡方程可确定无量纲组合 σ _ c i / γ H \sigma\_{ci}/\gamma H σ_ci/γH。该无量纲组合的最大上界定义为稳定数 N _ c N\_c N_c，用于评价岩体边坡稳定性：

N c = ( σ c i γ H ) 临界 N_c = \left( \frac{\sigma_{ci}}{\gamma H} \right)_{\text{临界}} Nc=(γHσci)临界

工程设计中更常用的安全指标是安全因子 F F F，定义为：

F = τ τ ′ F = \frac{\tau}{\tau'} F=τ′τ

其中 τ \tau τ 是岩体抗剪强度， τ ′ \tau' τ′ 是维持边坡稳定所需的剪切强度。Hammah 等引入剪切强度折减技术至广义 H-B 准则以确定折减后的强度包络。该方法允许直接利用广义 H-B 准则评价岩体边坡稳定性。归一化法向应力 σ _ n ′ \sigma\_n' σ_n′ 和折减后的剪切应力 τ ′ \tau' τ′ 表达为：

σ n ′ = σ c i { ( 1 m b + sin ⁡ δ i ) m b a [ m b a ( 1 − sin ⁡ δ i ) + 2 sin ⁡ δ i ] ( 1 − a ) s m b } \sigma_n' = \sigma_{ci} \left\{ \left( \frac{1}{m_b} + \sin \delta_i \right) m_b a \left[ m_b a (1 - \sin \delta_i) + 2 \sin \delta_i \right] (1 - a) s m_b \right\} σn′=σci{(mb1+sinδi)mba[mba(1−sinδi)+2sinδi](1−a)smb}

τ ′ = σ c i F { cos ⁡ δ i 2 [ m b a ( 1 − sin ⁡ δ i ) + 2 sin ⁡ δ i ] ( 1 − a ) a } \tau' = \frac{\sigma_{ci}}{F} \left\{ \cos \delta_i \, 2 \left[ m_b a (1 - \sin \delta_i) + 2 \sin \delta_i \right] (1 - a) a \right\} τ′=Fσci{cosδi2[mba(1−sinδi)+2sinδi](1−a)a}

断裂角 δ _ j \delta\_j δ_j 由下式确定：

δ j = arctan ⁡ ( F tan ⁡ δ j ′ ) \delta_j = \arctan \left( F \tan \delta_j' \right) δj=arctan(Ftanδj′)

5.2 多变量优化方法

修正后的三维多分段破坏机制包含 n n n 个独立分段，整个破坏机制由 2 n + 2 2n+2 2n+2 个独立变量描述，分别为： α _ 0 \alpha\_0 α_0、 ρ ′ _ 0 / ρ _ 0 \rho'\_0/\rho\_0 ρ′_0/ρ_0、 n n n 个破坏角 δ \delta δ 和 n n n 个旋转轴倾角 η \eta η。已有研究表明，当 n n n 超过 10 时，继续增大分段数量对计算结果改善有限[^27]。因此，本文取 n = 10 n=10 n=10，对应总计 22 个优化变量以确定修正破坏机制。

依据上限定理下边坡稳定性分析原则，需搜索导致边坡临界失稳的破坏机制。根据稳定数与安全系数定义，临界破坏机制对应于稳定数的下界与安全系数的上界。因此，合理优化这 22 个变量对于确定临界破坏机制至关重要。

由于这 22 个变量相互独立，需采用稳定、准确的优化方法。本文开发了基于 MPA（Marine Predators Algorithm，海洋捕食者算法）的多变量优化方法，对包含 22 个变量的目标函数进行求解，其流程如图 7 所示。MPA 提供的这些变量可确定破坏机制，求解稳定数的目标函数表示为：

目标函数1 = σ c i γ H = W γ + W e ω γ ρ 0 4 ( H ρ 0 ) D r / ( ω ρ 0 3 ) \text{目标函数1} = \frac{\sigma_{ci}}{\gamma H} = \frac{W_\gamma + W_e}{\omega \gamma \rho_0^4 \left(\frac{H}{\rho_0}\right) D_r / \left( \omega \rho_0^3 \right)} 目标函数1=γHσci=ωγρ04(ρ0H)Dr/(ωρ03)Wγ+We

通过 MPA 优化可直接获得临界稳定数及对应的临界破坏机制。然而，考虑强度折减后的安全系数计算较为复杂。为此，将二分法引入 MPA 优化框架，求解安全系数，如图 7 右半部分所示。MPA 给出的优化变量与 H-B 准则强度折减参数共同组成目标函数，表达式为：

目标函数2 = W γ + W e ω γ ρ 0 4 H 0 / σ c i γ H D r / ( ω σ c i ρ 0 3 ) \text{目标函数2} = \frac{W_\gamma + W_e}{\omega \gamma \rho_0^4 H_0 / \sigma_{ci} \gamma H D_r / \left( \omega \sigma_{ci} \rho_0^3 \right)} 目标函数2=ωγρ04H0/σciγHDr/(ωσciρ03)Wγ+We

通过二分法与 MPA 算法联合迭代优化，当目标函数值趋于零时，可确定临界破坏机制与最小安全系数。上述优化方法既可确定临界破坏机制，又可获得最大稳定数与最小安全系数。

在优化过程中，必须严格满足以下边界条件，确保破坏机制合理有效：

{ 0 < α 0 ≤ α 1 ≤ ⋯ ≤ α n < π 0 ≤ δ n ≤ ⋯ ≤ δ 0 < π 2 0 < ρ 0 ′ ρ 0 < 1 h ≤ h max B in ≥ 0 \begin{cases} 0 < \alpha_0 \leq \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_n < \pi \\ 0 \leq \delta_n \leq \cdots \leq \delta_0 < \frac{\pi}{2} \\ 0 < \frac{\rho'0}{\rho_0} < 1 \\ h \leq h{\text{max}} \\ B_{\text{in}} \geq 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0<α0≤α1≤⋯≤αn<π0≤δn≤⋯≤δ0<2π0<ρ0ρ0′<1h≤hmaxBin≥0

如图 7 所示，整个计算框架划分为四个独立模块：

输入模块：用于指定坡体几何、岩体强度与地震波参数；
PINN 模块：求解地震波运动方程；
MPA 模块：计算功率率；
二分法模块：求解安全系数。

各模块结构清晰，互不依赖。用户只需在输入模块设置参数，即可通过该框架求解稳定数与安全系数。

6. 对比与验证

本节通过三个步骤对所提出的方法进行验证。首先，将本研究中完整岩体边坡的稳定性解与已有文献中的解进行对比。其次，将带裂缝岩体边坡的安全因子结果与有限差分法（FDM）结果进行对比，以验证方法对预制裂缝的考虑能力。最后，对基于物理信息神经网络（PINN）的地震稳定性框架进行验证。

6.1 切片数的确定

在进行对比之前，首先分析切片数量对计算精度的影响。选取参数为 β = 6 0 ∘ \beta=60^\circ β=60∘， G S I = 20 GSI=20 GSI=20， m _ i = 7 m\_i=7 m_i=7， B / H = 2 B/H=2 B/H=2 的边坡作为例子计算稳定数。为方便矩阵计算，本研究中将切片数 M M M 和 N N N 设为相同值。采用单块破坏机制来评估结果对切片数的敏感性。首先以 M = N = 100 M=N=100 M=N=100 作为基准计算临界破坏机制的安全因子解及优化变量。随后将不同切片数的结果与该基准进行比较，以计算相对误差。相对误差的计算公式为：

R e = N c M − N c 100 N c 100 Re = \frac{N_c^M - N_c^{100}}{N_c^{100}} Re=Nc100NcM−Nc100

其中， N _ c 100 N\_c^{100} N_c100 表示基准稳定数，右上角的数字代表切片数量。图8的结果表明，随着切片数量的增加，相对误差逐渐减小；当切片数超过50时，相对误差低于0.01%。考虑到计算效率，单块边坡采用切片数50即可获得较准确的结果。

6.2 完整边坡安全因子的对比

表1总结了本文方法与其他方法（包括极限平衡法LEM、极限分析法LAM）及数值模拟方法（如FDM（FLAC）或采用正态流动规则的有限元FEM）计算得到的安全因子 F F F的对比。结果表明，本文方法计算的安全因子与解析方法如LEM和LAM高度一致，尤其是与LAM的解。与FEM和FDM等数值模拟方法相比，数值解与解析解的误差略有增加。可能原因在于数值模拟方法需要网格划分，网格大小和密度直接影响计算精度，从而导致数值与解析解之间存在一定差异。但总体来看，本文方法与数值模拟方法的结果仍然高度一致。

6.3 带裂缝边坡稳定解的对比

针对三维带裂缝岩体边坡，文献中尚无现成的解，尤其是考虑非线性Hoek-Brown准则的情况。在极限分析上界定理框架下，边坡的稳定数或安全因子为裂缝处于最不利位置时的解。因此，本文首先应用改进的三维多段破坏机制计算安全因子及对应的临界破坏机制，同时可识别裂缝位置和相关深度。然后，基于边坡几何形状、裂缝位置及深度和岩石参数，在FLAC3D平台构建数值模型，进一步计算滑动面及安全因子。用于对比的边坡几何及岩石参数采用Hammah等人提供的案例参数：边坡高度10米，倾角45°，岩石参数见表2。为便于将本文三维模型转换为二维模型，建立了二维带裂缝岩体边坡模型用于与本文结果对比。数值模型的网格和边界条件见图9。边界面 x = 0 , m x=0,m x=0,m 和 x = 36 , m x=36,m x=36,m 法向设零位移约束，边界面 z = 0 , m z=0,m z=0,m 既有法向又有切向约束，顶边界设自由边界条件。边坡顶部存在预制裂缝，裂缝位置和深度由本文方法预先计算。

表3和图10分别展示了安全因子和滑动面的对比结果。表3显示，本文方法计算的安全因子与FLAC3D结果高度一致，但略高，主要因本文方法提供了严格的安全因子上界。图10显示，本文方法得到的滑动面与FLAC3D的滑动面总体一致。安全因子和滑动面的良好一致性表明，本文方法能够有效评估带裂缝岩体边坡的稳定性。

表4展示了完整边坡与带裂缝边坡的稳定数对比，并同时列出了Park和Michalowski的完整边坡结果供参考。观察发现，本文方法所得解与Park和Michalowski的结果高度吻合，且本文的解略大于参考解。理论上，较大的稳定数上界解更接近实际解，表明所提框架的准确性。带裂缝边坡的稳定数也用相同框架计算，结果显示裂缝边坡的稳定数大于完整边坡，说明裂缝对边坡稳定性有不利影响。此外，还验证了该模型对裂缝边坡的适用性。需要注意的是，预制裂缝的存在并未影响模型的准确性，模型准确性主要取决于优化算法和切片数设置。

表5给出了裂缝临界高度的计算结果。观察到尽管稳定数与 G S I GSI GSI 或 m _ i m\_i m_i 的变化存在正相关或负相关，但对应的裂缝临界高度 h h h 在边坡内并不呈现严格的正负相关。这一趋势可以理解为，裂缝的临界破坏机制受能量平衡方程控制，由优化变量决定。裂缝临界高度的数值由涉及裂缝的临界破坏状态决定。临界破坏机制决定临界稳定数或安全因子，但不必然对应更深或更浅的裂缝深度。

6.4. 所提PINN地震分析框架的验证

为了验证所提PINN模型，以一维传播波为例，分析其在时间域 0 0 0至 1 , s 1,s 1,s和空间域 0 0 0至 1 , m 1,m 1,m内的传播。杨氏模量 E E E、泊松比 ν \nu ν及密度 ρ _ d \rho\_d ρ_d取表2中的值。对于具有初始谐波约束的一维传播波，位移的解析解易于获得，表示为

u ( x , t ) = κ cos ⁡ [ π ( t x v ) + ϕ ] u(x,t) = \kappa \cos\left[\pi\left(\frac{t x}{v}\right) + \phi\right] u(x,t)=κcos[π(vtx)+ϕ]

其中， κ \kappa κ和 ϕ \phi ϕ分别代表地震波的振幅和相位， v v v为传播速度，计算式为

v = G ρ v = \sqrt{\frac{G}{\rho}} v=ρG

其中 G G G为剪切模量，表示为

G = E 2 ( 1 + ν ) G = \frac{E}{2(1 + \nu)} G=2(1+ν)E

振动周期设为 T = 1.0 , s T=1.0,s T=1.0,s，该例中采用单位振幅和零相位。图3中的三维PINN框架简化为二维模型以完成本验证。PINN模型的控制方程及初始边界条件采用参考模型的相同设置。训练集随机生成了1000个采样点及200个初始和边界点。网络结构为 5 × 30 5 \times 30 5×30，训练时采用结合Adam和L-BFGS算法的混合优化策略。图11展示了地震波的位移与加速度解，图12对数值解与PINN解进行了详细对比。结果表明，地震波的位移和加速度均随时间和空间位置变化，且PINN计算的位移与参考解高度一致，位移场最大绝对误差小于0.01m，验证了所开发PINN框架求解地震波问题的准确性。

7. 数值结果

7.1. 岩体边坡内的地震加速度

传统的伪静态法将边坡内的地震力视为惯性力，剪切波引起的加速度表示为

a = k g a = k g a=kg

其中 k k k为地震强度系数。本文方法考虑了地震波在边坡内的时空特性，认识到加速度随时间和空间位置变化。地震波模拟为谐波，在边坡基底设位移边界条件

u b = u 0 cos ⁡ ( π t ) u_b = u_0 \cos(\pi t) ub=u0cos(πt)

边坡自由面满足零应力边界条件（见3.1节和图2）。其中， u _ 0 u\_0 u_0为放大系数，通过量纲分析得出

π 2 u 0 = k g ⇒ u 0 = k g π 2 \pi^2 u_0 = k g \quad \Rightarrow \quad u_0 = \frac{k g}{\pi^2} π2u0=kg⇒u0=π2kg

波长表达式为

λ = v T \lambda = v T λ=vT

图13展示了不同时刻 t = 0.1 , s t=0.1,s t=0.1,s和 t = 0.06 , s t=0.06,s t=0.06,s下不同无量纲比值 λ / H \lambda/H λ/H的加速度分布。该节案例中，振动周期设为 0.2 , s 0.2,s 0.2,s， k = 0.1 k=0.1 k=0.1。采用拉丁超立方体采样法在边坡内生成4000个点，在边界生成600个点，使用PINN模型计算各点加速度。PINN模型的配置和优化策略与6.4节描述一致。观察到，当 λ / H \lambda/H λ/H较小时，边坡内加速度随高度显著变化；在 λ / H = 0.5 \lambda/H=0.5 λ/H=0.5时，加速度从底部的负值变为顶部的正值。反之，当 λ / H \lambda/H λ/H较大时，加速度几乎不受高度影响，接近伪静态条件下的值，即 9.8 , m / s 2 9.8,m/s^2 9.8,m/s2。图13a、b显示时间变化对地震加速度分布也有显著影响，但不同时间点下 λ / H \lambda/H λ/H变化对加速度分布的影响规律一致。即大波长地震波产生近似均匀的地震加速度，约等于惯性加速度。表明基于PINN的地震稳定性分析框架可通过与传统伪静态法对比验证。

表6列出了稳定数的对比组。本文伪静态分析结果与Yang和Long54及Xu和Du46的伪静态解进行了对比。通过所提模型计算的振动周期内最临界稳定数与参考解高度一致，且在上界框架下精度更高。PINN解与伪静态解的良好一致性表明所开发的地震稳定性分析框架有效。

图13还表明边坡几何形状对地震加速度分布影响有限，但显著影响加速度数值。坡度越陡，加速度绝对值越大。

综上分析，受剪切波时空特性影响，边坡内地震加速度由坡度、岩体力学性质和地震参数（振动周期、波速、波持续时间等）共同决定，但地震参数对地震波分布起决定作用。因此，简单的伪静态法难以准确反映地震波真实分布，而本文方法能更真实描述边坡内地震加速度的分布特性。

7.2. 预制裂缝与地震作用对岩体边坡稳定性的影响

土坡中的裂缝对稳定性影响显著，但裂缝对岩体边坡，尤其是考虑三维特性和地震作用时的影响尚不明确。本节聚焦岩体边坡中的裂缝，完整与裂缝岩体边坡的稳定数见图14。相关参数如下：（a） G S I = 40 , k _ h = 0 , B / H = ∞ GSI=40, k\_h=0, B/H=\infty GSI=40,k_h=0,B/H=∞；（b） m _ i = 5 , k _ h = 0 , B / H = ∞ m\_i=5, k\_h=0, B/H=\infty m_i=5,k_h=0,B/H=∞；（c） G S I = 70 , m _ i = 5 , B / H = ∞ , T = 0.2 , s , λ / H = 50 GSI=70, m\_i=5, B/H=\infty, T=0.2,s, \lambda/H=50 GSI=70,m_i=5,B/H=∞,T=0.2,s,λ/H=50；（d） G S I = 50 , m _ i = 5 , k _ h = 0 GSI=50, m\_i=5, k\_h=0 GSI=50,m_i=5,k_h=0。扰动因子 D D D设为0。观察到裂缝对岩体边坡稳定性的影响最敏感于坡角。对于缓坡（ β ≤ 6 0 ∘ \beta \leq 60^\circ β≤60∘），完整与裂缝边坡稳定数差异微小。陡坡（ β > 6 0 ∘ \beta > 60^\circ β>60∘）裂缝显著影响稳定性。此外，裂缝影响随岩石参数不同而变化。以 β = 6 5 ∘ \beta=65^\circ β=65∘岩体边坡为例， m _ i m\_i m_i下降导致完整与裂缝边坡稳定数差异增大。具体地， m _ i = 5 m\_i=5 m_i=5时差异为 3.72 3.72% 3.72，而 m _ i = 20 m\_i=20 m_i=20时仅 0.44 0.44% 0.44（见图14a）。此趋势表明， m _ i m\_i m_i较大的岩体边坡更稳定且对裂缝不敏感。相反，随着 G S I GSI GSI增加，岩体边坡稳定性降低，而裂缝对稳定性的影响增强（图14b）。图14c评估了地震作用对边坡稳定性的影响。较大地震强度放大裂缝影响。例如， k _ h = 0.3 k\_h=0.3 k_h=0.3时，完整与裂缝岩体边坡稳定数差异显著，即使坡度较缓。但较小地震系数（如 k _ h = 0.1 k\_h=0.1 k_h=0.1和 0.2 0.2 0.2）下差异增加不明显。图14d展示不同宽高比下的稳定数，显示 B / H B/H B/H较小时裂缝对岩体边坡稳定性的影响更明显，表明裂缝存在时必须考虑三维特性。

根据破坏角优化结果，可计算Hoek-Brown准则的强度包络（图1c）。由于上界极限分析假设破坏体处于运动学许可状态，而非应力平衡状态，故利用该方法计算的应力不能代表材料真实应力状态。虽然此应力对应临界破坏时的岩体应力，但有助于理解所得结果。

图15显示完整与裂缝岩体边坡在归一化Hoek-Brown强度包络上的应力分布。观察到，45°完整边坡的归一化压应力范围略大于裂缝边坡，而75°完整边坡的归一化压应力范围明显大于裂缝边坡。岩体剪切强度依赖于压力分布，这解释了为何陡坡对裂缝更敏感。另一个有趣的现象是裂缝存在消除了拉应力，强度包络上仅存在压应力（图15b）。图15c、d展示地震条件（ k _ h = 0.3 k\_h=0.3 k_h=0.3）与静态条件（ k _ h = 0 k\_h=0 k_h=0）下的归一化应力分布。结果显示，静态条件下的归一化压应力在强度包络上的分布范围大于地震条件，解释了考虑地震作用显著降低岩体边坡稳定性的原因。

7.3 讨论

本研究构建了一个集成极限分析定理与物理信息神经网络（PINN）的带裂缝岩体边坡地震稳定性分析框架。为考虑Hoek-Brown（H-B）准则的非线性特征，采用多切线线性化策略构建了适用于带裂缝岩体边坡的三维多段破坏机制。所建立的破坏机制严格遵循极限上界定理的原理。基于PINN的地震分析框架能够描述地震行为的时空依赖特性，同时满足边坡的几何约束。相比传统的伪静态和伪动力学方法，所开发的PINN框架是一项重要的进步。

然而，需要指出的是，训练一个鲁棒的PINN模型在计算成本上远高于传统方法。例如，第7.1节中复杂模型的训练时间超过3小时。该PINN模型在配备24GB显存的NVIDIA RTX 3090 GPU上进行训练，采用双精度浮点格式（float64）以提高精度。计算效率尚可通过优化超参数、改进训练策略、降低浮点精度及优化网络结构进一步提升。此外，GPU技术的进步亦有助于降低计算资源需求。

气候变化驱动环境与地质过程演变。预先存在的裂缝作为脆性特征，可能源自风化、干燥及湿干循环等环境因素。极限分析框架侧重于确定带裂缝岩体边坡的临界状态，而非裂缝形成原因。假设边坡包含多个裂缝，其中至少有一个裂缝接近由边坡破坏机制决定的最不利位置。本研究旨在识别对应于预制裂缝最不利位置的临界破坏机制。所提出的裂缝破坏机制基于均质假设，未来可进一步扩展为离散化模型以涵盖非均质岩体。

结果显示，所建立的三维多段裂缝破坏机制相比以往单连续破坏机制，能获得更临界的上界解。一个稳健的确定性模型是开展不确定性分析的基础。事实上，边坡几何形态、岩石强度参数及地震波参数均为带裂缝岩体边坡地震稳定性分析引入潜在不确定性。基于确定性模型与蒙特卡罗模拟，相关参数引入的稳定性不确定性可用统计特征（均值和方差）评估。对于更复杂的地质场景，如岩体强度空间变异性，可采用随机场方法表征岩体强度分布。此外，本文破坏机制可进一步离散化以适应随机分布的岩体强度。

此外，正如前文所述，复杂地震波可通过傅里叶分析分解为一系列谐波。所开发的基于PINN的框架展现了将历史地震数据整合入边坡稳定性分析的潜力。未来研究将聚焦于扩展至更复杂的地质与地震场景，并深入开展带裂缝岩体边坡不确定性量化分析。

8. 结论

本研究评估了具有预制裂缝的三维岩体边坡地震稳定性。基于线性化H-B强度准则，推导了包含不连续面的多段破坏机制，用以描述带裂缝岩体边坡破坏。采用PINN框架，获得了岩体边坡内时空相关的地震加速度分布。通过MPA多变量优化方法，优化了裂缝岩体边坡的关键安全指标。验证及大量解算结果总结如下：

所提出的PINN模型更真实地描述了岩体边坡内地震加速度的分布。边坡几何形状、岩体力学性质及地震特性对地震加速度分布影响程度不同。边坡几何对加速度分布影响有限，但对加速度数值有明显影响。坡度越陡，加速度绝对值越大。地震参数在地震波分布中起决定性作用。傅里叶分析方法使得几乎任意复杂波均可表示为谐波叠加，突显了基于PINN的地震分析框架在整合历史地震数据进行边坡稳定性分析上的巨大潜力。
所建立的改进三维多段破坏机制能够有效描述带预制裂缝岩体边坡的破坏，获得的安全因子与有限差分法结果高度一致。相比其他解析与数值方法，本文方法独特优势在于无需假设即可确定裂缝的最不利位置。
裂缝对岩体边坡稳定性的影响对坡角敏感。缓坡（ β ≤ 6 0 ∘ \beta \leq 60^\circ β≤60∘）对裂缝不敏感，而陡坡（ β > 6 0 ∘ \beta > 60^\circ β>60∘）完整与裂缝边坡稳定性差异显著。 m _ i m\_i m_i降低、 G S I GSI GSI升高及地震作用均增强裂缝对稳定性的影响。此外，宽高比 B / H B/H B/H的变化也影响完整与裂缝岩体边坡稳定性的差异，表明三维特性考虑对裂缝边坡稳定性评估至关重要。
完整边坡强度包络上的归一化压应力范围大于裂缝边坡，尤其是陡坡，表明陡坡对裂缝更为敏感。裂缝存在时，拉应力消失，强度包络仅剩压应力。地震激励显著缩小强度包络上的应力分布范围，导致地震作用下岩体边坡稳定性下降。

符号表

符号	含义
a a a	岩体经验参数
a _ i a\_i a_i	神经网络每层输出
B B B	岩体边坡宽度
B _ i n B\_{in} B_in	面内嵌入宽度
b _ i b\_i b_i	神经网络偏置
D D D	岩体扰动因子
D _ r D\_r D_r	能量耗散率
D _ r ′ D\_r' D_r′	裂缝后方能量耗散率
F F F	安全系数
G S I GSI GSI	地质强度指数
g g g	重力加速度
h _ m a x h\_{max} h_max	最大裂缝深度
H H H	岩体边坡高度
I I I	单位张量
k k k	地震系数
m _ b m\_b m_b	岩体经验参数
m _ i m\_i m_i	Hoek--Brown 岩体硬度常数
n n n	独立段数
n \mathbf{n} n	面的外法向量
N _ c N\_c N_c	稳定性数
r r r	破坏体内某点的极半径
s s s	岩体经验参数
u \mathbf{u} u	位移矢量
v _ i v\_i v_i	屈服面上的速度矢量
W _ γ W\_{\gamma} W_γ	由自重引起的功率
W _ γ ′ W\_{\gamma}' W_γ′	裂缝后方由自重引起的功率
W _ e W\_e W_e	由地震作用引起的功率
W _ e ′ W\_e' W_e′	裂缝后方由地震作用引起的功率
w _ i w\_i w_i	神经网络权重
η \eta η	指定每个锥体的单独角度
ρ \rho ρ	对数螺旋段
ρ _ d \rho\_d ρ_d	介质密度
ρ _ s \rho\_s ρ_s	边坡表面与旋转点间距
ρ _ m \rho\_m ρ_m	圆心到旋转点距离
B B B	狄利克雷或诺伊曼边界条件
β \beta β	岩体边坡倾角
γ \gamma γ	岩体单位重
ε \varepsilon ε	应变张量
λ \lambda λ	Lamé第一参数
μ \mu μ	Lamé第二参数
τ \tau τ	岩体抗剪强度
τ ′ \tau' τ′	维持稳定所需剪切强度
σ \sigma σ	应力张量
σ _ 1 \sigma\_1 σ_1	最大主应力
σ _ 3 \sigma\_3 σ_3	最小主应力
σ _ t \sigma\_t σ_t	单轴拉伸强度
σ _ n \sigma\_n σ_n	有效法向应力
σ _ c i \sigma\_{ci} σ_ci	单轴压缩强度
θ _ k , θ _ k ′ \theta\_k, \theta\_k' θ_k,θ_k′	切片边界的极角
ω \omega ω	角速度
δ \delta δ	破裂角