前言
- 最近刚学二元一次方程，想写一篇专栏熟悉一下
- 本文写给初一的同学看，学过的就划了吧
二元一次方程
- 两个未知数
- 最高项次数为 111 次
- 为整式方程
- 二元一次方程的解不唯一，但是二元一次方程可以用一个未知数来表达另一个未知数
eg:eg:eg:
x+y=1x + y = 1x+y=1 --->--->---> 用 xxx 表示 yyy : y=1−xy = 1 - xy=1−x
2x+3y=22x +3y = 22x+3y=2 --->--->---> 用 yyy 表示 xxx : x=2−3y2=1−32yx = \frac{2 - 3y}{2} = 1 - \frac{3}{2}yx=22−3y=1−23y
二元一次方程组
- 由两个二元一次方程组成
eg:eg:eg:
{x+y=1x−2y=3\begin{cases} x + y = 1\\ x - 2y = 3\\ \end{cases} {x+y=1x−2y=3 - 当 nnn 元 111 次方程只有 n−1n - 1n−1 等量关系， nnn 元不被唯一确定，但是可以用一个未知数表达其他未知数
二元一次方程组的解法
- 代入消元法
eg:eg:eg:
{2x+3y=453x−2y=15\begin{cases} 2x + 3y = 45\\ 3x - 2y = 15\\ \end{cases} {2x+3y=453x−2y=15
令：2x+3y=45为①，3x−2y=15为②，由①得：y=15−23x......③，将③带入①得：令：2x + 3y = 45 为①，3x - 2y = 15 为②，由①得：y = 15 - \frac{2}{3}x......③，将③带入①得： 令：2x+3y=45为①，3x−2y=15为②，由①得：y=15−32x......③，将③带入①得：
3x−2(15−23x)=153x−30+43=15133=45x=13513\begin{aligned} 3x - 2(15 - \frac{2}{3}x) = 15\\ 3x - 30 + \frac{4}{3} = 15\\ \frac{13}{3} = 45\\ x = \frac{135}{13}\\ \end{aligned} 3x−2(15−32x)=153x−30+34=15313=45x=13135
x=13513带入③得：x = \frac{135}{13} 带入③得：x=13135带入③得：
y=15−23×13513=10513\begin{aligned} y = 15 - \frac{2}{3} \times \frac{135}{13} = \frac{105}{13} \end{aligned} y=15−32×13135=13105
- 加减消元法
eg:eg:eg:
{3(x+y)−4(x−y)=4x+y2+x−y6=1\begin{cases} 3(x + y) - 4(x - y) = 4\\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1 \end{cases} {3(x+y)−4(x−y)=42x+y+6x−y=1
令：3(x+y)−4(x−y)=4为①，x+y2+x−y6=1为②令：3(x + y) - 4(x - y) = 4 为①，\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1 为②令：3(x+y)−4(x−y)=4为①，2x+y+6x−y=1为②
将①×3得：6x+9y=135......③将②×2得：6x−4y=30将① \times 3得：6x + 9y = 135......③ 将② \times 2 得：6x - 4y = 30将①×3得：6x+9y=135......③将②×2得：6x−4y=30
③−④得：③ - ④得：③−④得：
13y=105y=10513\begin{aligned} 13y = 105\\ y = \frac{105}{13}\\ \end{aligned} 13y=105y=13105
将①×2得：4x+6y=90......⑤将① \times 2 得：4x + 6y = 90......⑤将①×2得：4x+6y=90......⑤
将②×3得：9x−6y=45......⑥将② \times 3 得：9x - 6y = 45......⑥将②×3得：9x−6y=45......⑥
⑤+⑥：⑤ + ⑥：⑤+⑥：
13x=135x=13513\begin{aligned} 13x = 135\\ x = \frac{135}{13}\\ \end{aligned} 13x=135x=13135
∴{x=13513y=10513\begin{aligned} \therefore\begin{cases} x = \frac{135}{13}\\ y = \frac{105}{13} \end{cases} \end{aligned} ∴{x=13135y=13105
发现了吗？两个方程解一样
含参二元一次方程
大概长这样：
关于x,y得二元一次方程组：{ax+by=cmx+ny=p\begin{aligned} 关于x,y得二元一次方程组：\\ \begin{cases} ax + by = c\\ mx + ny = p\\ \end{cases} \end{aligned} 关于x,y得二元一次方程组：{ax+by=cmx+ny=p
其实只要把参数(上面的a,b,m,n)当成已知数来解就OK了其实只要把参数(上面的a,b,m,n)当成已知数来解就OK了其实只要把参数(上面的a,b,m,n)当成已知数来解就OK了
二元一次不定方程
-
不定方程:不定方程:不定方程: ax+by=c(关于x,y的方程)，研究这个多元方程的整数解问题ax + by = c(关于x,y的方程)，研究这个多元方程的整数解问题ax+by=c(关于x,y的方程)，研究这个多元方程的整数解问题
eg:eg:eg:
xn+yn=zn,当n≥3时，xn+yn=zn不存在整数解(费马大定理)\begin{aligned} x^{n} + y^{n} = z^{n},当n \ge 3时，x^n + y^n = z^n 不存在整数解(费马大定理) \end{aligned}xn+yn=zn,当n≥3时，xn+yn=zn不存在整数解(费马大定理)
x3+y3=z3不存在整数解x^3 + y^3 = z^3 不存在整数解x3+y3=z3不存在整数解 -
二元一次不定方程:二元一次不定方程:二元一次不定方程:
eg:eg:eg:解法1.
2x+5y=175y=17−2ky=17−2x5设17−2x=5k{x=17−5k2y=k(k为整数)\begin{aligned} 2x + 5y = 17\\ 5y = 17 - 2k\\ y = \frac{17 - 2x}{5}\\ 设17 - 2x = 5k\\ \begin{cases} x = \frac{17 - 5k}{2} \\ y = k\\ \end{cases} (k为整数) \end{aligned} 2x+5y=175y=17−2ky=517−2x设17−2x=5k{x=217−5ky=k(k为整数)
然后带入k求出即可然后带入 k 求出即可然后带入k求出即可解法2.
前提：a,b互质前提：a,b互质前提：a,b互质
2x+5y=17{x=1y=3是该方程的一组特殊姐(其实就是凑个解)\begin{aligned} 2x + 5y = 17\\ \begin{cases} x = 1\\ y = 3 \end{cases} 是该方程的一组特殊姐(其实就是凑个解) \end{aligned} 2x+5y=17{x=1y=3是该方程的一组特殊姐(其实就是凑个解){x=1+5ty=3−2tt为整数\begin{cases} x = 1 + 5t\\ y = 3 - 2t\\ \end{cases} t为整数 {x=1+5ty=3−2tt为整数
然后带入t，若t为11......；若t为−7......然后带入t，若t为11......；若t为-7......然后带入t，若t为11......；若t为−7......
尾声
- 二元一次方程也差不多说完了，这是本人第一篇要全站推送的专栏(前面一篇题解被打回了，再交时关通道了QAQ)，求管理员高抬贵手，众看客多多关照！二元一次方程也差不多说完了，这是本人第一篇要全站推送的专栏(前面一篇题解被打回了，再交时关通道了QAQ)，求管理员高抬贵手，众看客多多关照！二元一次方程也差不多说完了，这是本人第一篇要全站推送的专栏(前面一篇题解被打回了，再交时关通道了QAQ)，求管理员高抬贵手，众看客多多关照！