数据结构·数状数组(BIT)

树状数组(Binary Index Tree)

英文名：使用二进制下标的树结构

理解：这个树实际上用数组来存，二进制下标就是将正常的下标拆为二进制来看。

假设x的二进制表示为x= ...10000，其中1是x的最低位1 ，前面的位数我们不关心。则-x=.....01111+1=10000(取反+1)。
x&-x=...10000&..01111+1=000000...10000，因此我们可以得到x的最低位1所对应的那个数。

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int lowbit(int pos) {
	return pos & -pos;
}

t[pos]的含义： t $p o s$ = ∑ { ∀ x ∣ x + l o w b i t ( x ) = p o s } t $x$ + a $p o s$ t $pos$ =\sum_{\{\forall x \mid x+lowbit(x)=pos\}}{t $x$ }+a $pos$ t $pos$ =∑{∀x∣x+lowbit(x)=pos}t $x$ +a $pos$ 。
例如： t $8 = 1000$ = t $4 = 0100$ + t $6 = 0110$ + t $7 = 0111$ + a $8$ t $8=1000$ =t $4=0100$ +t $6=0110$ +t $7=0111$ +a $8$ t $8=1000$ =t $4=0100$ +t $6=0110$ +t $7=0111$ +a $8$ ，其中 a $8$ a $8$ a $8$ 是原始数组第8个数。
注意：不能通过 p o s − l o w b i t ( p o s ) pos-lowbit(pos) pos−lowbit(pos)得到x。

由于不能通过 p o s − l o w b i t ( p o s ) pos-lowbit(pos) pos−lowbit(pos)反过来确定x，所以我们要从x开始累加 lowbit(x)向上更新，这一步相当于前缀和的累积。

cpp 复制代码

void build(int pos,int val) {
	while (pos<=n) {
		t[pos] += val;
		pos += lowbit(pos);
	}
}

由于t[pos]的含义不能很好确定 ，因此只能采取笨方法，不断递减 lowbit(pos)获得a[1] to a[pos]的前缀和，然后再来求某一区间的和。

cpp 复制代码

int query(int pos) {
	int sum = 0;
	while (pos >0) {
		sum += t[pos];
		pos -= lowbit(pos);
	}
	return sum;
}

前缀和数组支持 O ( 1 ) O(1) O(1)的区间和查询，但是不支持动态的区间修改

差分数组支持 O ( 1 ) O(1) O(1)的区间修改，但是不支持动态的单点求值

树状数组相当于是一个折中，区间修改和查询的复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)